Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

обусловлено только его взаимодействием с другими телами. Свободная материальная точка, не подверженная действию других тел, движется относительно такой системы отсчета без ускорения, т.е. равномерно и прямолинейно (или покоится). Утверждение, что такие системы отсчета существуют, составляет содержание первого закона динамики — закона инерции.

Первый закон Ньютона: существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, в которых материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.

Данный закон не очевиден. Со времен Аристотеля (384—322 гг. до н.э.) до Галилея считалось, что для поддержания неизменной скорости тела необходимо воздействие других тел на него. Существование инерциальных систем отсчета подтверждается опытом. Астрономические наблюдения показали инерциальность гелиоцентрической системы отсчета, связанной с центром Солнца. Любая другая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной, также является инерциальной. Действительно, если в инерциальной системе отсчета ускорение тела равно нулю, то оно равно нулю и в любой из таких систем (1.19). Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальных систем, называют неинерциальными.

Для инерциальных систем отсчета справедлив принцип относительности Галилея, согласно которому все инерциальные системы отсчета по своим механическим свойствам эквивалентны одна другой. Это означает, что никакими механическими опытами, проводимыми в данных системах, нельзя установить, покоится эта система отсчета или движется. Основные законы механики, которыми определяются изменения характера движения тел, во всех инерциальных системах отсчета одни и те же.

Изучая на опыте различные движения, можно обнаружить, что в инерциальных системах отсчета любое ускорение тела вызывается действием на него каких-либо других тел. Мера механического взаимодействия тел называется силой. Сила — векторная физическая величина, характеризующаяся модулем, направлением и точкой приложения к телу. Действие силы на тело выражается в сообщении телу ускорения и (или) деформации тела.

2.2. Второй и третий законы Ньютона

Опыт показывает, что любое тело «оказывает сопротивление» попыткам изменить его скорость — как по модулю, так и по направлению. Свойство материальных тел сохранять свою скорость неиз-

21

менной при отсутствии действующих на тело сил и постепенно изменять скорость, когда на тело начинают действовать силы, называется инертностью. Мера инертности тела называется

массой тела. Тело с большей массой более инертно, и наоборот. При действии одинаковых сил на два различных тела отношение масс тел обратно отношению модулей ускорений, сообщаемых телам равными силами:

m1 / m2 = a2 / a1.

(2.1)

Таким образом, сравнение масс двух тел, на которые действует одна и та же сила, сводится к сравнению ускорений этих тел. Взяв некоторое тело за эталон массы, можно сравнить массу любого тела с этим эталоном. В рамках классической механики масса обладает двумя важнейшими свойствами:

1)масса — величина аддитивная, т.е. масса тела равна сумме масс его частей;

2)масса — величина постоянная, не изменяющаяся при движении

тела.

Второй закон Ньютона утверждает, что в инерциальных системах отсчета ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на тело, и обратно пропорционально массе тела:

º	º	⁄ m.
a	= F

Если рассматриваемое тело взаимодействует с несколькими телами, то суммарный результат действия отдельных тел можно представить как действие на данное тело векторной суммы сил:

N º

∑ Fi

º	i = 1	,	(2.2)
a =	--------------m

º

где Fi — сила взаимодействия i-го тела с данным.

Единицей силы в СИ является ньютон (Н). 1 ньютон — это такая

сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м / с2.

Опыт показывает, что взаимодействие тел в природе осуществляется парным образом, т.е. если тело I сообщает ускорение телу II, то и тело II сообщает ускорение телу I (рис. 2.1). Общее свойство всех

F12	F21
I	II

Рис. 2. 1

22

сил взаимодействия постулируется третьим законом Ньютона:

силы, с которыми две материальные точки действуют одна на другую в инерциальной системе отсчета, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки, т.е.

º	º
F 21	= – F 12.	(2.3)

Эти силы приложены к разным телам и являются силами одной природы.

2.3. Силы

Современный взгляд на природу возникновения сил устанавливает три типа взаимодействий: 1) гравитационное; 2) электрослабое (электромагнитное и слабое); 3) сильное (или ядерное). Эти взаимодействия будут изучаться в соответствующих разделах курса.

Взаимодействие тел может происходить при «контактном» действии (силы трения, сила упругости, сила натяжения нити, реакция опоры, вес и т.д.) и при действии на расстоянии, посредством поля (сила тяжести, сила Кулона, сила Лоренца и т.д.).

Однако такое разделение сил имеет условный характер: и при непосредственном контакте силы взаимодействия обусловлены наличием тех или иных полей, создаваемых атомами или молекулами тел. Под полем мы будем понимать объективную реальность, посредством которой осуществляются взаимодействия.

Понятие поля, так же как понятия силы и массы, относится к числу «первоначальных» понятий в физике. Поэтому дать логически четкие определения этим понятиям, т.е. выразить их через более «первичные», нельзя. Можно описать некоторые свойства поля.

Поле — форма существования материи, которая в отличие от вещества не локализована в пространстве. Можно говорить о массе единицы объема поля, об энергии некоторого объема поля. Строгой границы между полем и веществом провести нельзя, так как при определенных условиях они могут взаимно превращаться, т.е. вещество переходит в поле и наоборот. Поле распространяется в

пространстве с определенной скоростью (не более с = 3æ108 м / с), поэтому не может быть мгновенных взаимодействий.

Рассмотрим некоторые виды сил, которые встретятся нам при изучении задач механики.

1. Гравитационное взаимодействие — универсальное взаимодействие между любыми видами материи. Если две материальные точки движутся со скоростями v << c , то справедлив закон всемир-

23

ного тяготения Ньютона, согласно которому эти точки притягиваются одна к другой с силой, вычисляемой по формуле

	m1m2
F = G	--------------	,	(2.4)
	r 2

где r — расстояние между точками. Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной, и был впервые экспериментально определен английским ученым Г. Кавендишем в 1798 г. По сов-

ременным данным G = 6,67259(85)æ10– 11 м3æкг– 1æс– 2. Фигурирующие в этом законе массы называют гравитационными в отличие от инертной массы, входящей во второй закон Ньютона. Из опыта, однако, установлено, что гравитационная и инертная массы любого тела пропорциональны одна другой. Поэтому можно считать их равными (т.е. выбрать один и тот же эталон для измерения обеих масс) и говорить просто о массе, которая выступает как мера инертности тела или как мера гравитационного воздействия.

Теория тяготения Ньютона явилась большим достижением своего времени. На основании этой теории можно описать движение естественных и искусственных тел в Солнечной системе, провести гравиметрическую разведку полезных ископаемых и т.д. Блестящим подтверждением теории Ньютона явилось открытие планеты Нептун английским астрономом Дж. Адамсом в 1846 г. по расчетам возмущений орбиты Урана, которые выполнил французский математик У. Леверье. Однако в некоторых случаях тяготение не может быть описано законом Ньютона. Так, эта теория неприменима для расчета траектории светового луча в гравитационном поле. Обобщение теории тяготения на основе специальной теории относительности было сделано А. Эйнштейном в 1916 г. и получило название общей теории относительности, которая подтвердилась в ряде экспериментов.

При рассмотрении движения тела массой т в поле тяготения Земли, если высота тела над поверхностью планеты меняется незначительно по сравнению с радиусом Земли, выражение силы тяготения (2.4) удобно заменить выражением однородной силы тяжести

	º	º
	F
		= m g ,

где º — ускорение свободного падения тела в поле тяжести. g

º

2. Вес тела P — сила, с которой тело действует на опору (или подвес), неподвижную относительно данного тела.

3. Внешнее трение, которое обычно называют просто трением в отличие от внутреннего трения, о котором будет сказано в разд. , — механическое сопротивление, возникающее в плоскости касания

24

Fтр

C B

A

Ovотн

A'

B' C'

Рис. 2. 2

двух прижатых одно к другому тел при их относительном перемещении или попытке к перемещению. В первом случае говорят о наличии силы трения скольжения, во втором — о наличии силы трения покоя.

Направление силы трения противоположно относительному перемещению трущихся поверхностей или возможному перемещению. По наличию прослойки между телами различают сухое и жидкое трение. При наличии трения скольжения происходит электризация тел, выделение теплоты и разрушение трущихся частиц. Зависимость силы сухого трения от относительной скорости трущихся поверхностей приведена на рис. 2.2. Участки графика ОАВ и ОА′В ′ соответствуют силе трения покоя, а АС и А′С ′ — силе трения скольжения. Участки графика АВ и А′В ′ соответствуют явлению застоя.

Возникновение силы трения объясняется, во-первых, изменением поверхностного слоя (разрушением), а во-вторых, преодолением молекулярных связей. В дальнейшем будем рассматривать силу трения скольжения, действующую на тело, движущееся по шероховатой поверхности. Ее модуль определяется выражением

Fтр.ск = μN ,

(2.5)

где N — модуль силы нормальной реакции, приложенной к телу со стороны опоры; μ — коэффициент трения.

Модуль силы трения покоя не превышает модуля силы трения скольжения и определяется внешней силой.

4. Упругость — свойство тел изменять свою форму и размеры под действием нагрузок и самопроизвольно восстанавливать исходную конфигурацию при снятии внешних воздействий. Упругость тел обусловлена электрическими силами взаимодействия атомов и молекул, из которых они построены. Упругие деформации (возникающие,

25

Fx

Fупр

F

0

X

0	x	X
а)		б)

Рис. 2. 3

например, при растяжении или сжатии пружин) подчиняются закону Гука, который гласит, что

º	º
		(2.6)
F	упр = – k r ,

где ºr — радиус-вектор, характеризующий смещение частицы из положения равновесия; k — коэффициент жесткости, численно равный модулю силы, вызывающей единичное удлинение.

Знак « – » в законе Гука показывает, что упругая сила и перемещение пружины (ее деформация) имеют противоположные направления. На рис. 2.3 а, б показаны направление силы упругости при одномерном растяжении пружины и зависимость проекции силы упругости на направление деформации пружины от деформации.

2.4. Импульс материальной точки и системы материальных точек. Закон сохранения импульса

Рассмотрим выражение второго закона Ньютона (2.2) для материальной точки, на которую действуют несколько сил. Если учесть

				º
				dv
	определение ускорения, то из формулы m			--------
				dt
	чить, что
	º	) =	N º
			∑ Fi dt .
	d(m v

i = 1

N º

= ∑ Fi можно полу-

i = 1

(2.7)

Данное соотношение представляет собой иную форму записи второго закона Ньютона. В правой его части находится произведение суммы всех сил, действующих на материальную точку, на временной интервал их действия. Эта величина носит название импульса сил.

26

В левой части (2.7) стоит изменение векторной физической величины, равной произведению массы тела на его скорость. Эта величина называется импульсом тела:

º	º	(2.8)
p	= m v .

Таким образом, второй закон Ньютона можно сформулировать следующим образом: изменение импульса материальной точки равно суммарному импульсу всех сил, к ней приложенных.

Рассмотрим теперь систему N материальных точек массами m1, m2, …, mN, которые могут взаимодействовать одна с другой и с внешними телами, не входящими в данную систему (рис. 2.4). Положение каждой материальной точки в системе задается радиусом-вектором

º
r i	в выбранной системе отсчета. Пусть на i-ю точку со стороны k-й

º

действует сила f ik . Тогда по третьему закону Ньютона на k-ю точку

º		º	º
со стороны i-й действует сила f ki	, причем	f ik = –	f ki .	Силы, с

которыми тела, входящие в рассматриваемую систему тел, взаимодействуют одно с другим называются внутренними силами. Силы, с которыми тела, не входящие в рассматриваемую систему тел, действуют на материальные точки рассматриваемой системы называются внешними силами (на рис. 2.4 такие силы обозначены

º

Fi ). В общем случае на любую материальную точку системы могут

Z
			mi	Fi
				Fk
m1		ri	fik	fki
			rk	mk
O				X
	m	2	mN
				FN
Y
			Рис. 2. 4

27

действовать как внутренние, так и внешние силы. Запишем второй закон Ньютона для каждой точки:

	º	º	º	º	º
		= ( F 1 +	f 12 +	f 13 + … + f 1N)dt;
	d p1
	º	º	º	º	º
		= ( F 2 +	f 21 +	f 23 + … + f 2N)dt;
	d p2
		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	º	º	º	º	º
		= ( F N +	f N2 +	f N3 + … + f NN)dt;
	d pN

º

где Fi — равнодействующая всех внешних сил, действующих на i-ю

точку.

Сложив эти уравнения, получим:

N	º		N	º	N N	º
∑ d pi		=	∑	F i	+ ∑ ∑	f	ik dt ,
i = 1		i = 1			i = 1 k = 1

причем во втором слагаемом правой части полученного выражения отсутствуют члены с индексами i = k. Импульсом системы материальных точек называется геометрическая сумма импульсов всех ее тел:

	º			N	º
	p	сист =		∑ mi v i .				(2.9)
				i = 1
N º		N º
Тогда, поскольку ∑ d pi	= d ∑ pi , то
i = 1		i = 1
º		N	º	N	N	º
d pсист =		∑	F i	+ ∑ ∑		f ik dt .
	i = 1			i = 1 k = 1
						N N	º
В соответствии с третьим законом Ньютона ∑ ∑							f ik	= 0 ,

i = 1 k = 1

поэтому

dº =

pсист

N º
∑ F i	dt .	(2.10)

i = 1

Из (2.10) следует, что импульс системы материальных точек могут изменить только внешние силы, если их геометрическая сумма не равна нулю. Система называется замкнутой, если на систему не

28

действуют внешние силы. Сформулируем закон сохранения импульса системы материальных точек: в замкнутой системе и в случае, когда внешние силы, действующие на систему, скомпенсированы, импульс системы материальных точек сохраняется:

º		º		º
pсист	= const , или	pсист 1	=	pсист 2	,	(2.11)

где º — импульс системы тел до начала рассматриваемого вза-

pсист 1

имодействия; º — импульс системы тел после окончания рас-

pсист 2

сматриваемого взаимодействия.

Часто внешние силы не скомпенсированы, но сумма их проекций на какое-либо направление равна нулю. Такая система тел называется условно замкнутой в данном направлении, и справедлив закон сохранения проекции импульса на это направление. В некоторых задачах взаимодействие тел происходит за очень малое время (удар, взрыв), причем внешние силы малы. Тогда начальный импульс системы примерно равен конечному импульсу системы.

Таким образом, импульс системы тел сохраняется со временем при любых процессах взаимодействия тел внутри замкнутой системы или в определенном классе процессов. Законы сохранения в физике позволяют предсказать поведение системы тел после некоторых сложных процессов в ней, когда для нас не важны детали этих процессов.

Существуют строгие законы сохранения (например, общефизический закон сохранения энергии, законы сохранения импульса, момента импульса, заряда и т.п.) и законы сохранения, справедливые только для ограниченного класса явлений и систем (например, законы сохранения в физике элементарных частиц). Как показала в 1918 г. немецкий математик Э. Нетер, законы сохранения связаны со свойствами симметрии физических систем, которая понимается как инвариантность каких-либо величин по отношению к некоторым математическим преобразованиям.

Следовательно, если известны свойства симметрии физической системы, значит, для нее можно указать закон сохранения. Так, закон сохранения импульса связан с симметрией пространства, в котором движутся тела. Это пространство однородно, а значит, инвариантно относительно переноса начала отсчета. Закон сохранения импульса относится к числу строгих законов, которые справедливы как в макромире, так и в микромире.

29

2.5. Центр масс системы материальных точек. Уравнение движения центра масс системы материальных точек

В любой системе тел (рис. 2.4) имеется одна замечательная точка, называемая центром масс, которая обладает рядом интересных и важных свойств. Положение центра масс относительно начала О

координатной системы определяется радиусом-вектором ºr C :

	º	1 N		º
	r C =	----	∑ mi r i		,	(2.12)
		M

i = 1

где mi и ºr i — масса и радиус-вектор i-й материальной точки; М —

масса всей системы тел.

Центр масс системы совпадает с ее центром тяжести, если поле сил тяжести в пределах данной системы тел можно считать однородным.

Найдем скорость центра масс, продифференцировав (2.12) по времени:

	º	1 N		º
	v C =	----	∑ mi v i .
		M

i = 1

Если скорость центра масс равна нулю, то говорят, что система в целом покоится. Сама же скорость центра масс имеет смысл скорости движения всей системы как целого. Из последней формулы следует, что

º	º
pсист	= M v C	,	(2.13)

т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Понятие центра масс позволяет придать уравнению (2.10) иную форму, которая часто бывает более удобной. Для этого достаточно подставить (2.13) в (2.10) и учесть, что масса системы тел — постоянная величина. Тогда получим

º
d v C	=	º		,	(2.14)
M -----------		F	внеш
dt

º

где F внеш — результирующая всех внешних сил, действующих на

систему.

Выражение (2.14) называется уравнением движения центра масс системы тел. Согласно этому уравнению центр масс любой системы тел движется так, как если бы вся масса системы была

30