Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы системы.

			º	º
Из (2.14) следует, что если			F внеш	= 0, то d v C ⁄ dt = 0, а значит,
	º			º
что	v C	= const. Кроме того, в этом случае и импульс системы pсист			=

= const.

Таким образом, если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, то импульс системы сохраняется в процессе движения. Справедливо и обратное утверждение.

Уравнение (2.14) является обобщением основного уравнения динамики материальной точки на систему частиц: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы.

Рассмотрим движение центра масс системы тел на следующем примере. Снаряд, выпущенный под углом к горизонту, разорвался на некоторой высоте на осколки. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то снаряд и его осколки движутся только под действием единственной силы — силы тяжести. Поэтому траектория центра масс осколков представляет собой траекторию полета снаряда — параболу — до тех пор, пока хотя бы один из осколков не упадет на землю.

2.6. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

Как указывалось ранее, основное уравнение динамики (2.2) справедливо только в инерциальных системах отсчета. Между тем имеется много случаев, когда решение интересующей нас задачи необходимо получить в неинерциальных системах (например, движение математического маятника в ускоренно движущемся лифте).

Рассмотрим достаточно общий случай, когда неинерциальная система отсчета движется относительно инерциальной с постоянным

º

ускорением a 0 . Воспользуемся формулой преобразования ускоре-

º	′ =	º	º		º	′ — уско-
ний (1.19), в соответствии с которой a		a	– a	0	, где a

º

рение точки в неинерциальной системе, a — ускорение той же точки в инерциальной системе. Тогда выражение второго закона Ньютона для материальной точки в неинерциальной системе отсчета будет выглядеть следующим образом:

º	º	º		.	(2.15)
m a	′ = F	– m a	0

31

Это и есть основное уравнение динамики в неинерциальной сис-

º

теме отсчета. Из него видно, что даже при F = 0 тело будет двигаться в этой системе с ускорением, в общем случае отличным от нуля. При этом на тело в неинерциальной системе отсчета как бы действует сила

º	º
F	ин = – m a 0	,	(2.16)

называемая силой инерции. Направление силы инерции противопо-

º

ложно направлению a 0 . Вспомним, как при резком торможении

вагона сила инерции бросает нас вперед, т.е. в сторону, противоположную направлению ускорения поезда.

Следует заметить, что понятие «сила инерции» не попадает под определение понятия «сила», так как сила инерции не является мерой взаимодействия тел. Уравнение (2.15) показывает, что введение сил инерции позволяет сохранить по форме основное уравнение динамики и для неинерциальных систем: слева — произведение массы тела на его ускорение (но уже в неинерциальной системе отсчета), справа — сумма сил. Отметим основные особенности сил инерции:

1.Силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а свойствами самих неинерциальных систем отсчета, поэтому на силы инерции третий закон Ньютона не распространяется.

2.Силы инерции существуют только в неинерциальных системах отсчета.

3.Все силы инерции, подобно силам тяготения, пропорциональны массе тела. Поэтому в однородном поле сил инерции, как и в поле тяготения, все тела движутся с одним и тем же ускорением независимо от их масс.

Ранее было отмечено, что система отсчета, связанная с земной поверхностью, во многих случаях может считаться практически инерциальной. Однако существует ряд явлений, объяснение которых в этой системе отсчета невозможно без учета ее неинерциальности. Известно, например, что ускорение свободного падения тел на поверхности Земли имеет наибольшее значение у полюсов. Уменьшение этого ускорения при приближении к экватору объясняется не только несферичностью Земли, но и возрастающим действием центробежной силы инерции, которая возникает вследствие наличия у Земли нормального ускорения при ее вращении вокруг оси. Центробежная сила инерции в соответствии с (2.16) направлена противоположно нормальному ускорению точек земной поверхности — перпендикулярно оси вращения Земли.

32

Г л а в а 3

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ В МЕХАНИКЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Понятие энергии является одним из основных понятий в физике. Хотя с различными видами энергии мы встречаемся на каждом шагу, дать точное определение энергии довольно трудно. Более того, в своих лекциях крупный американский физик Р. Фейнман пишет, что «физике сегодняшнего дня неизвестно, что такое «энергия». В этом смысле понятие энергии относится к числу первичных понятий физики. Однако можно сказать, что энергия — это общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Различным формам движения материи соответствуют и различные виды энергии: механическая, внутренняя, электромагнитная, ядерная и т.д. Каждый раздел физики оперирует со своим видом энергии. Фундаментальным законом природы является общефизический закон сохранения энергии: в изолированной системе энергия может переходить из одной формы в другую, но ее количество остается постоянным.

Этот закон относится к числу строгих законов (применимых как в макромире, так и в микромире), не имеющих в настоящее время никаких отступлений. Закон является обобщением опыта человечества за всю его историю изучения природы. Он связан с однородностью времени, т.е. с тем фактом, что все моменты времени эквивалентны, и физические законы не меняются со временем. Окончательно закон был сформулирован в середине XIX в. трудами выдающихся физиков Р. Майера, Д. Джоуля и Г. Гельмгольца.

3.1.Механическая работа

Вкурсе механики нас будет интересовать механическая энергия тела Wмех , которая определяется как сумма потенциальной Wп и

кинетической Wк энергий:

Wмех = Wп + Wк .

(3.1)

Механическая энергия системы может меняться под действием сил, действующих как внутри системы, так и на нее. Для количественного описания изменения механической энергии вводится понятие работы силы. Подчеркнем, что энергия и работа это разные физи-

33

ческие понятия (хотя и имеющие, как мы увидим в дальнейшем, одинаковую размерность). Энергия характеризует состояние системы, а работа — количественная характеристика преобразования энергии в физических процессах.

Рассмотрим прямолинейное движение тела из положения 1 в

º

положение 2 под действием постоянной силы F (рис. 3.1). Если

тело совершило перемещение ºr , то механической работой постоянной силы называется скалярное произведение силы на перемещение:

º	º	º			º	cos α .	(3.2)
A(F) = F	r =	F			r
		º			º
Если известны проекции векторов F
					и r , то (3.2) можно пере-

писать в виде

A(F) = Fx x + Fy y + Fz z .

Рассмотрим теперь перемещение тела вдоль произвольной траек-

º

тории, если к телу приложена сила F , изменяющаяся во времени (рис. 3.2). Разобьем траекторию на такие малые участки, чтобы на каждом участке силу можно было считать постоянной. Тогда на i-м

º

участке малая работа силы Fi (обозначим ее δAi ) может быть

º º
вычислена по формуле δAi = Fi	r i	. Вся работа силы по перемеще-

нию тела из положения 1 в положение 2 будет равна сумме работ на

º º		) . Совпадение вычислен-
отдельных участках: A = ∑δAi = ∑( Fi	r i

ii

ного результата с истинным будет тем более полным, чем меньшие

векторы ºr i будем рассматривать. Поэтому определение механи-

2

F

F

1

2

α

ri

r

1

Fi

Рис. 3. 1

Рис. 3. 2

34

ческой работы произвольной силы при движении тела можно представить следующим образом:

	º º		2	º	º
A = lim	∑( Fi	r i	) = ∫ F		d r .	(3.3)
ri → 0	i		1

Такой интеграл носит название криволинейного интеграла вдоль траектории. Если выбрана система координат и начальному 1 и

конечному 2 положениям тела соответствуют радиусы-векторы ºr 1

и ºr 2 , то можно записать, что

	r	2 º	º
	A = ∫ F
			d r .
	r	1

Единицей измерения работы в СИ является джоуль (Дж). Джоуль — это работа, совершаемая силой 1 Н по перемещению тела на 1 м в направлении действия силы. Работа — величина алгебраическая, ее знак определяется знаком косинуса угла между направлением силы и направлением перемещения тела.

º

Пусть на материальную точку действуют несколько сил Fi , где

º

i = 1, 2, ... N. Тогда равнодействующая R этих сил определяется как

º		N	º			º
		∑	Fi .
R	=				Умножим это равенство скалярно на	dr :
		i = 1
º	º		N	º º
R dr		=	∑	Fi	dr . Если точка перемещается из положения, опреде-

i = 1

ленного радиусом-вектором ºr 1 , в положение, определенное радиу-

сом-вектором ºr 2 , то полученное соотношение ровать:

r2 º

º

r2

N º

º

N

r2 º

º

∫

= ∫ ∑

= ∑ ∫

R d r

Fi dr

Fi dr

=

r

1

r

1

i = 1

i = 1

r

1

можно проинтегри-

N º

∑ A( Fi) .

i = 1

Это выражение доказывает следующую теорему: работа равнодействующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершаемой каждой из сил в отдельности.

35

3.2. Силовое поле. Потенциальные и непотенциальные силы. Критерий потенциальности поля сил

Силовым полем называется часть пространства (ограниченная или неограниченная), в каждой точке которой на помещенное туда материальное тело действует сила, модуль и направление которой зависят либо только от координат этого тела, либо от координат и времени. В первом случае силовое поле называется стационарным, во втором — нестационарным. Если же сила во всех точках силового поля имеет одно и то же значение и направление, то силовое поле называется однородным. Понятие поля было введено в физику английским ученым М. Фарадеем (1791—1867), что, по мнению А. Эйнштейна, было «самым важным открытием со времен Ньютона». В нашем курсе будем рассматривать гравитационное поле, электромагнитное поле, поле ядерных сил и т.д.

Существует особый класс полей, называемых потенциальными.

Сила поля, действующая на тело, называется потенциальной, если работа этой силы зависит только от начального и конечного положения тела и не зависит ни от вида траектории, ни от закона движения тела.

Пусть материальная точка перемещается в потенциальном поле

из положения 1	в положение 2	º
		(рис. 3.3). Работа силы поля F	на
		º
траектории а равна работе силы поля F на траектории b по опреде-
лению: A(F) =	A(F) .
1-a-2	1-b-2

Но, поскольку cos α = – cos β , то A(F) = – A(F). Тогда нетрудно

		1-b-2	2-b-1
получить, что A(F) +	A(F) = 0 ,	т.е. A(F)	= 0 . Таким образом,
1-a-2	2-b-1	1-a-2-b-1

работа потенциальной силы по замкнутой траектории 1-a-2-b-1 равна нулю. Так как траектории а и b были произвольными, то можно сказать, что работа потенциальной силы на любой замкнутой траекто-

		a	2
			dl
1	b				α
		β
					F

Рис. 3. 3

36

рии L всегда равна нулю. Эту фразу можно коротко записать следующим образом:

º º	(3.4)
F dr = 0 .

L

º

Такой интеграл носит название циркуляции вектора F по замкнутому контуру L, а полученное выражение дает критерий потенциальности поля сил.

Существует особый класс сил, линия действия которых проходит всегда через одну и ту же точку (центр), а модуль этих сил зависит только от расстояния до этой точки. Такие силы называются центральными. Примеры таких сил — сила тяжести, кулоновская, сила упругости и др. Центральные силы являются потенциальными.

º

Пусть на материальную точку действует центральная сила F , линия действия которой проходит через точку О (рис. 3.4). Материальная точка перемещается по траектории а из положения 1 в положение 2,

определяемые соответствующими радиусами-векторами ºr 1 и ºr 2

º

(начало координат поместим в точку О). Тогда работа силы F будет определяться по формуле (3.3). Если существует первообразная f подинтегральной функции F, то, согласно формуле Ньютона—Лейб- ница можно написать A(F ) = f (r2 ) – f (r1 ). Откуда видно, что работа

º

силы F определяется только координатами точек 1 и 2. Для любой другой траектории b, проходящей через эти же точки, получается такое же выражение для работы, т.е. работа не зависит от вида траектории, а определяется начальным и конечным положением точки приложения силы. Следовательно, так как гравитационная, упругая и кулоновская силы центральные, то соответствующие им поля являются потенциальными.

1

1

v

b

Fтр

a

β

2

r

1

2

r

r1

L

F

r

2

r2

O

Рис. 3. 4	O

Рис. 3. 5

37

Рассмотрим работу силы		трения	скольжения (рис. 3.5). Если
º		t, то работа силы трения скольжения
r — перемещение за время
находится по формуле
º		º	Fтр r cos β .
A(Fтр ) = F	тр r =

Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени d t. Модуль перемещения тела за этот промежуток стремится к пройденному пути, в то время как направление силы трения противоположно

направлению вектора перемещения.
Тогда получаем δA(Fтр ) = – FтрdS . Полная работа на	пути S
будет вычислена следующим образом:
S
A(Fтр ) = – ∫ Fтр dS .	(3.5)
0

Видно, что работа силы трения скольжения зависит от пути интегрирования и является отрицательной. Как будет показано далее, сила трения скольжения всегда приводит к убыли механической энергии тела, поэтому эту силу называют диссипативной.

3.3. Кинетическая энергия материальной точки. Теорема об изменении кинетической энергии

Пусть материальная точка движется из положения 1, где она

º º

имела скорость v 1 , в положение 2, где скорость стала равной v 2 . Обозначим равнодействующую всех сил, приложенных к точке,

º

через R и найдем ее работу по перемещению тела. Учтем соотношение (2.10) и получим

º	2 º			2	º		2	º
A( R ) = ∫			º	= ∫	d--------p	º		º -------d r
		R d r			dt	d r	= ∫d p
	1			1			1	dt

2

= v d p .

∫ º º

1

Напомним, что скалярное произведение вектора самого на себя

равно квадрату модуля этого вектора:					º º		2	. Поэтому
					v v	= v
º	2 º	º	2	2	⁄ 2) = mv		2	2	⁄ 2 .
A( R ) = ∫ v		d(m v	) = ∫d(mv				2	⁄ 2 – mv1
	1		1

В приведенном выводе рассмотрен нерелятивистский случай движения (v << c), поэтому т = const.

38

Величина	mv	2	называется кинетической энергией Wк матери-
	-----------
	2

альной точки. Так как работа равнодействующей силы равна сумме работ сил, то можно записать, что

N	º
Wк = Wк2 – Wк1 = ∑ A( Fi) .		(3.6)

i = 1

Таким образом, доказана теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии материальной точки равно алгебраической сумме работ всех приложенных к ней сил.

Рассмотрим теперь систему материальных точек. Кинетической энергией системы тел называется сумма кинетических энергий всех

mv 2

тел, входящих в эту систему: Wк.сист = ∑ ----------- . Запишем теорему об

2

изменении кинетической энергии для каждой точки, входящей в эту систему. Тогда для j-й точки получаем уравнение

	N	º	N	º
	Wк j = ∑ A( Fi) +		∑ A( f i) ,
	i = 1		i = 1
º					º
в котором F	— внешние силы, действующие на эту точку;				f —
внутренние силы. Сложив все уравнения, получим:
		º		º
	Wк.сист = ∑A( F ) + ∑A( f ) .				(3.7)

Изменение кинетической энергии системы материальных точек определяется работой как внутренних, так и внешних сил. Напомним, что изменение импульса системы материальных точек определяется импульсом только внешних сил (2.10).

3.4. Потенциальная энергия взаимодействия

Пусть задана система материальных точек, между которыми действуют только потенциальные силы. Если система под действием этих сил перешла из одного состояния в другое (изменились положения тел, их скорости и т.п.), то потенциальные силы совершили работу, которая не зависит от того, каким образом осуществилось изменение состояния системы. Работа потенциальных сил зависит только от начального и конечного состояний системы. Поэтому эту работу можно взять в качестве характеристики изменения состояния системы тел.

39

Введем потенциальную энергию системы тел Wп, которая связана с работой потенциальных сил по следующему правилу:

Wп1 – Wп2 = A1 → 2( fп ) ,		(3.8)
где Wп 1 — потенциальная энергия системы	тел в состоянии 1;
Wп 2 — потенциальная энергия системы тел		в состоянии 2;

A1 → 2( fп ) — работа потенциальных сил взаимодействия при пере-

ходе системы из состояния 1 в состояние 2. Это правило можно переписать в виде:

Wп = – A1 → 2( fп ) или dWп = – δA1 → 2( fп ).

Из последнего выражения видно, что работа потенциальных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии системы. Изменение потенциальной энергии системы тел, между которыми действуют потенциальные силы, равно взятой с обратным знаком работе этих сил при переходе системы из одного состояния в другое.

Физический смысл имеет только изменение потенциальной энергии, однако часто говорят о потенциальной энергии системы в данном состоянии. В этом случае потенциальная энергия в одном из состояний условно принимается за нуль (нулевой потенциальный уровень). Пусть Wп 1 = 0, тогда Wп2 = – A1 → 2( fп ) = A2 → 1( fп ) . Таким образом, можно сказать, что потенциальная энергия системы в некотором состоянии равна работе потенциальных сил при переходе системы из этого состояния в состояние, в котором значение потенциальной энергии условно принято за нулевое.

В качестве примера рассмотрим изменение потенциальной энергии гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами М и т при удалении одной от другой, когда расстояние между ними увеличивается от r1 до r2 (рис. 3.6). Допустим, что тело массой

М создает гравитационное поле, а тело массой т перемещается в этом поле из точки 1 в точку 2. Точки находятся на расстояниях r1 и

r2 соответственно от массы, создающей поле. Поскольку гравитацион-

ная сила — центральная, то перемещение массы т может осуществляться по любой траектории. Работа гравитационной силы не зависит от формы траектории движения тела, а рассчитывать ее удобнее

M	1	F m dr 2

r

Рис. 3. 6

40