Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. В работе должны быть поля для замечаний проверяющего преподавателя. Во время сессии студент должен быть готов (по требованию преподавателя) давать пояснения к предъявленным решениям контрольной работы. Контрольная работа сда¼тся по прибытии на сессию. Незачтенная работа возвращается для внесения исправлений. Оформить исправленные задания нужно в той же тетради и сдать на повторную проверку. Если есть затруднения при решении какого-либо задания, то, приехав на сессию, обратитесь для получения консультации к преподавателям, ведущим занятия по дисциплине.

Последние 2 цифры	Вариант	Номера заданий
вашего шифра
01, 21, 41, 61, 81	1	1, 21, 41, 61, 81, 101, 121
02, 22, 42, 62, 82	2	2, 22, 42, 62, 82, 102, 122
03, 23, 43, 63, 83	3	3, 23, 43, 63, 83, 103, 123
04, 24, 44, 64, 84	4	4, 24, 44, 64, 84, 104, 124
05, 25, 45, 65, 85	5	5, 25, 45, 65, 85, 105, 125
06, 26, 46, 66, 86	6	6, 26, 46, 66, 86, 106, 126
07, 27, 47, 67, 87	7	7, 27, 47, 67, 87, 107, 127
08, 28, 48, 68, 88	8	8, 28, 48, 68, 88, 108, 128
09, 29, 49, 69, 89	9	9, 29, 49, 69, 89, 109, 129
10, 30, 50, 70, 90	10	10, 30, 50, 70, 90, 110, 130
11, 31, 51, 71, 91	11	11, 31, 51, 71, 91, 111, 131
12, 32, 52, 72, 92	12	12, 32, 52, 72, 92, 112, 132
13, 33, 53, 73, 93	13	13, 33, 53, 73, 93, 113, 133
14, 34, 54, 74, 94	14	14, 34, 54, 74, 94, 114, 134
15, 35, 55, 75, 95	15	15, 35, 55, 75, 95, 115, 135
16, 36, 56, 76, 96	16	16, 36, 56, 76, 96, 116, 136
17, 37, 57, 77, 97	17	17, 37, 57, 77, 97, 117, 137
18, 38, 58, 78, 98	18	18, 38, 58, 78, 98, 118, 138
19, 39, 59, 79, 99	19	19, 39, 59, 79, 99, 119, 139
20, 40, 60, 80, 100	20	20, 40, 60, 80, 100, 120, 140

4. Задачи для контрольной работы

4.1.Действия над матрицами. В заданиях 1 20 даны матрицы A, B,

C. Вычислите 4A · B − C2.

1. A =	3 2 4 0 ,					B =	−4			3 , C = 0 6 .
	−1 2 5				2			1		0			3		4
				−				−1		2				−
	−						−5			6
	−1		2 , B = 3				−					1 −2 −7 .
2. A =						4 7				, C =
	−4		1		0	6		2				3	2		4
	−	1	3									0	3		0
						−		−

33

					0							0	2							−		−
								, B =				5			2
3. A = 3 4												3 0							, C = −3 0 .
	1	−	2		−	75						−	−								1		5
												0	4
4. A =											−6		1					, C =
	0 −2 3 , B =											3		5						−3 0 .
	10	−		12		5					−		−							−	1	0
			8									5	6
	1				4						−1		0							20		6
5. A =	−5 2				−	2	, B =				10 −2						, C =			4		−4 .
6. A =	−									−												−		−1 .
	−7 2 , B =								9		−4 0				, C = 10 −12
	−5		1					10				5 12								3		−2		−8
	1		8								−									0		7		0
								−
7. A =	1			11 , B = 5 4									−2 , C =							−1 0 4 .
	−3			8						0 11				2						−3		0		4
	0		−1										−							3		1		0

	A =			10 5					6			B =			0			4			C =			−1 6 .
															−7 1
8.			0				12		3		,				3			8		,					−	2	1
9. A =		−											−
				6 0 4 2 , B =														4 9					, C = −1 6 .
	−11 0 5											3					0				−1							2 4
										−							−1 0
		−														−3					6
													3			−					7								−
																	1
10.	A =		−5				12							1		10				2			, C =				3	2	4
						1	0																				1	0	3
				0			2		, B = −							−			−								1	5	3		.
		−
					3		11			4						8		−2								4		4
11.	A =			1			0		6							5		−2				, C =			−1 −9
			−						−			, B =				3			1										.
																		−

				0				9					5				1											−7
	A =													7			1					, C =
12.		−3								, B =			2				5												6 .
			0	−	2		15					−				−												9	0
13.	A =	−2		3			−4				1 , B = −4												3		, C =				−11				−6 .
		0 −2 7 −5															1					−4							1				1
																	0 −5
																		5					6
	A =		0	−2 , B =							9		−5		−												0	−2 7				.
14.																0	, C =
			−3	10							5		1			2											3	1		−7
			8	8																						10		0			4
											6		−		9		0													−
		−		−8
			3									9 1 0															−3 7 −1
15.	A =		0			4		, B =												, C =								3		4		3
				−									−													−			−
			10	1				3					−2				14											2	3
16.	A =														3		1
		−						−		, B =				3					5				, C =						−		.
		−		15					7				−				−											5		6
			10

34

0−1

−1		0	5	3	1		0		1	2
17. A =	5	8	4	0 , B =	1		−8	, C =	−3	6 .
−						3	9
				−

			5 0					3			1					7			1 8			−3
	A =	−5 11					, B =		−	1 8				2			, C =			3	−2	−4
18.		4		2							−		−							1	0	3		.
	A =	−		1				0													−1	−
19.		−4				−4			, B = 3					−1 , C =								4 .
		1 0 6 10										5		−3					−1 −9
											5 −1
												5				0
				0			9				15		0
	A =										−4		1				, C =
20.		−3						, B =			2		5						−1 8 .
		2		−	3		1			−		−							9		10

4.2. Ранг матрицы и его нахождение. В заданиях 21 40 найдите ранг матрицы.

21.		4		3	9		−3 .		22.			3	8		.
		−	2	3	−	1	0				9		−4
											2		5
							−				5			3
		2		6	8		3				−		−
23.	3			2	−1		4	.	24.	0			−2		5 .
		4		−3	0		1				5		3		9
	1		−5 1 −3							1		1			1

		−3			4			8					26.		1		2		5	8
25.		1			0			−1			.				2	−4		7		0 .
		4			6			−1							2		3		2	0
														−				−
27.					8			−			5	.		1		8		−3		5	.
	0							−3					28.
		1		−3				5			−2				1	8		5		−5
	1 −11 8 −7													3 −11 4 −7
29.	−2					3		.					30.	3		1	.
		−8				5									3	−5
	−8						5							4		1
			10			8									0
					−										2		8
31.		0			−	2		−		3 .			32.		4	−4 .
		3													−2		4
					7			8							6		0
	−
			9		0			9							−
33.	−1					2		.					34.	−3			1	.
		−9				5									13		5
		0					5								10		6
		−10				7									0	−8
					−

35

35.		1		2					3 .				36.		−5	−	.
		3		−	7			9								8
								−							1	4
															4		4
				−											3	1
		2			9			12							−
37.		1			3 .								38.		6	1		.
		−2			5										3	−5
		5			6										6		5
		−1			8										0	4
39.		0									3 .			−		−
							2						40.	−		−	.
		−	2		7				8						−3	1
					−				−						7	3
	−		2		5				5						6	0

4.3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. В заданиях 41 60 найти общее решение системы линейных уравнений методом

Гаусса и произвольное частное решение этой системы.

4x1 − 2x2 + x3 − x4 = 2,

41.x1 − x3 + 4x4 = 7,

3x1 + 2x3 − x4 = 2.

x1 + x2 + x3 + x4 = 0,

43.2x1 − 2x2 + 3x3 + 4x4 = −1,

3x1 − x2 + 4x3 + 5x4 = −1.

−x1 + 2x2 + 3x3 = 5,

45.x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 5,

3x1 + x2 − x3 − x4 = 2.

x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 1,

47.x1 + x2 − x3 + 4x4 = 0,

3x1 + x3 − x4 = 3.

x1 + 2x2 + x4 = 7,

49.x1 − 2x2 − x3 + 4x4 = 0,

4x2 + x3 − 3x4 = 7.

4x1 + x2 − x3 − x4 = −2,

51.x1 − x2 + 4x4 = 1,

3x1 + x2 − 2x3 = 3.

x1 + 2x2 + x3 − x4 = −4,

53.x1 + 3x2 − x3 + 4x4 = 2,

3x1 + 2x3 − x3 = 7.

x1 − 2x2 + x3 − x4 = 0,

55.4x1 − 2x2 + 3x3 − 2x4 = 2,

3x1 + 2x3 − x4 = 2.

x1 − 3x2 − x3 + 2x4 = 0,

42.x1 − x3 − 4x4 = 3,

2x1 − 2x2 − x4 = −1.

x1 − 5x2 + x3 = 3,

44.x1 + x2 − 4x3 − 3x4 = 5,

3x1 + 2x3 − x4 = 0.

x1 + 6x3 − x4 = 0,

46.x1 + x2 − x3 + x4 = 1,

5x1 + 2x3 − 3x4 = 2.

x1 − 2x2 + x3 − x4 = 6,

48.x1 − x3 + 4x4 = 0,

3x1 + 2x2 − x4 = 2.

4x1 − x2 + x3 + x4 = 1,

50.x1 − x3 + 4x4 = −5,

3x1 − x2 − x4 = 0.

2x1 + x3 − x4 = 1,

52.x2 − x3 + 4x4 = −1,

3x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0.

7x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = 5,

54.x1 − x3 + 4x4 = 0,

2x1 + x3 − x4 = −2.

2x1 − 3x2 + x3 + x4 = 1,

56.x1 − x2 + 3x4 = 2,

3x1 + 2x2 − x4 = −1.

36

b. Разложение осуществить, решая систему линей-

57.

2x1

−

x2

+ 4x4

= 0,

= −3,

58.

2x1

4x3

+ 4x4 = 3,

4x1

2x2 − 4x3

− x4

2x1

+ x2 + x3 − x4 = 5,

−

x4 =

2.

−

x4 = 2.

x1 + 2x3

−

−

3x1

+ 2x2

−

59.

x1 − 2x2

x4 = 0,

60.

2x1

2x2 + x3 = 6,

x1 + 3x2

− x3 + 4x4 = 1,

x1

−x3 + 4x4 = 1,

x2

−

x4 = 0.

−

5x4 = 1.

3x1

−

+ 2x3

−

5x1

+ 2x3

−

4.4. Векторные пространства. Базис. Разложение вектора по базису. Решение невырожденных систем линейных уравнений метода-

ми Крамера и обратной матрицы. В заданиях 61 80 в трехмерном про-

− − − −

странстве заданы своими координатами векторы a1, a2, a3, b. Докажите,

− − −

что векторы a1, a2, a3 образуют базис в этом пространстве и разложите

−

по этому базису вектор ных уравнений, сделав это двумя способами: методом обратной матрицы и методом Крамера.

61.	−	= {3; −4; 1},	−	= {2; −3; 6},		−	=	{0; 5; −2},			−
	a1		a2			a3					b= {8; −11; 8}.
62.	−	= {4; −2; 1},	−	= {3; 2; −1},		−	=	{3; −5; 2},			−
	a1		a2			a3					b= {0; −14; 5}.
63.	−	= {7; 8; −1},	−	= {2; 0; −3},		−	=	{3; 6; 1},		−
	a1		a2			a3				b= {8; 14; 3}.
64.	−	−			−				−
	a1	= {3; 2; 2}, a2= {2; −1; 1},			a3= {4; 3; 3},				b= {−12; −10; −8}.
65.	−	= {2; −1; 1},	−	= {3; 2; 2},	−					−
	a1		a2		a3= {1; −1; 4},					b= {9; 3; 2}.
66.	−	= {1; −1; 7},	−	= {2; 3; −3},		−	=	{3; 2; 5},		−
	a1		a2			a3				b= {7; 8; 1}.
67.	−		−			−	=	{1; 1; 1},		−
	a1	= {2; −3; −1}, a2= {3; 4; 3},				a3				b= {3; 9; 6}.
68.	−	= {2; −2; 1},	−	= {1; 3; −1},		−	=				−
	a1		a2			a3		{2; −1; −2}, b= {9; 20; −9}.
69.	−	−			−				−
	a1	= {1; 4; 6}, a2= {−2; 7; 4},			a3= {3; 2; 2},				b= {5; 5; −2}.
70.	−	−		−		= {1; 2; 2},			−
	a1	= {10; 1; 3}, a2= {3; 4; 9}, a3							b= {−3; −15; −38}.
71.	−	= {2; −1; 2},	−	= {1; 1; 2},	−				−
	a1		a2		a3= {4; 1; 4},				b= {2; −7; 2}.
72.	−	−			−				−
	a1	= {2; 3; 2}, a2= {7; 1; −7},			a3= {3; 8; 4},				b= {13; −16; −31}.
73.	−	= {2; 3; −2},	−	= {1; 2; 1},	−				−
	a1		a2		a3= {3; 4; 2},				b= {3; 3; 12}.
74.	−	−		−				−
	a1	= {1; 3; 4}, a2= {7; 4; 8}, a3= {3; 2; 5}, b= {9; 3; 9}.
75.	−	= {4; 1; −3},	−	= {8; 3; −6},		−	=	{1; 1; −1},			−
	a1		a2			a3					b= {−16; −7; 12}.
76.	−	−			−				−
	a1	= {2; 1; 1}, a2= {1; −1; 1},			a3= {1; 1; 2},				b= {−5; −3; 1}.
77.	−	−			−				−
	a1	= {8; 4; 3}, a2= {2; 6; −2},			a3= {3; 10; 1}, b= {17; −8; 20}.
78.	−	−				−	=	{−3; 5; 6},			−
	a1	= {3; 1; 1}, a2= {1; −4; −2},				a3					b= {−4; 8; 15}.

37

79.	−	= {1; −2; 2},	−	= {2; 1; −1},		−	= {1;		−
	a1		a2			a3		−5; 2}, b= {7; 6; −6}.
80.	−	−			−				−
	a1	= {4; 9; 2}, a2= {7; 1;			−4}, a3= {8; 3; 1},				b= {−20; 0; −1}.

4.5. Элементы аналитической геометрии на плоскости. В заданиях

81 100 даны координаты вершин треугольника ABC. Найти:

1)длины сторон треугольника ABC;

2)уравнения сторон треугольника ABC и угловые коэффициенты этих сторон ;

3)доказать, что угол C треугольника ABC прямой;

4)уравнение медианы AM;

5)уравнение высоты CH;

6)координаты точки H основания высоты CH;

7)уравнение окружности с центром в точке M, проходящей через вершины B и C треугольника;

8)построить на чертеже треугольник ABC, медиану AM, высоту CH и окружность из пункта 7).

81.A(−9; 10), B(15; 17), C(3; 1).

82.A(−10; 12), B(14; 19), C(2; 3).

83.A(−13; 4), B(11; 11), C(−1; −5).

84.A(−11; 5), B(13; 12), C(1; −4).

85.A(−13; 8), B(11; 15), C(−1; −1).

86.A(−11; 8), B(13; 15), C(1; −1).

87.A(−13; 5), B(11; 12), C(−1; −4).

88.A(−10; 10), B(14; 17), C(2; 1).

89.A(−12; 11), B(12; 18), C(0; 2).

90.A(−9; 7), B(15; 14), C(3; −2).

91.A(−11; 11), B(13; 18), C(1; 2).

92.A(−15; 8), B(9; 15), C(−3; −1).

93.A(−17; 7), B(7; 14), C(−5; −2).

94.A(−18; 6), B(6; 13), C(−6; −3).

95.A(−8; 8), B(16; 15), C(4; −1).

96.A(−12; 9), B(12; 16), C(0; 0).

97.A(−11; 7), B(13; 14), C(1; −2).

98.A(−9; 8), B(15; 15), C(3; −1).

99.A(−10; 11), B(14; 18), C(2; 2).

100.A(−9; 5), B(15; 12), C(3; −4).

4.6. Системы линейных неравенств. В заданиях 101 120 постройте множество точек на плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют указанным системам неравенств.

38

x > 0,

101.y > 0,

y + 3x − 3 6 0.

x > 0,

y > 0,

103.y − 2x + 2 > 0,

2y − x − 2 6 0.

x > 1,

105.y 6 3,

3y − x − 3 > 0.

y > 3,

107.y − x + 1 > 0,

5y − 2x − 13 6 0.

x > 0,

109.y > 0,

3x + 2y − 6 6 0.

x > 0,

111.3x + y − 5 6 0,

2y − x − 2 > 0.

x > 1,

113.3y − x − 6 > 0,

x + y − 6 6 0.

x > 0,

115.3y > x,

2x + y − 4 6 0.

y > 0,

117.5x > 2y,

5x − y − 5 6 0.

y > 4,

119.2x − y + 3 > 0,

x + y − 7 6 0.

x > 0,

y > 0,

102.2y − x − 6 6 0,

y + 4x − 12 6 0.

y > 0,

x + y − 2 > 0,

104.y − x + 4 > 0,

y 6 1.

y > 0,

106.y + 3x − 9 6 0,

y − 3x + 3 6 0.

x 6 y,

108.y 6 4,

y − 2x + 2 6 0.

x 6 5y,

110.y 6 2,

y + 2x − 4 > 0.

x > 0,

112.y > 0,

4x + y − 4 6 0.

x + y − 7 > 0,

114.y 6 6,

2y − x − 5 > 0.

x > 0,

y > 0,

116.x − y + 1 > 0,

3x + y − 9 6 0.

x > 0,

118.y > x,

3x + 2y − 6 6 0.

x > 0,

y > 0,

120.x − 2y + 5 > 0,

x 6 4.

39