4.7. Собственные значения и векторы матрицы. В заданиях 121 140

найдите собственные значения и собственные векторы матрицы.

−1		4	−5		3
121.	2	−3 .	122.	2	0 .
−1		3		1	−3
123.	9	−7 .	124.	−3	4 .
	7	4		5	−5
125.	−9	−6 .	126.	−7	3 .
−5 −2				8	3
127.	6	3 .	128.	−7	−3 .
−12 7				5	8
129.	−9 5 .		130.	−6	−9 .
−1		3		4	6
131.	3	−4 .	132.	−1	−3 .
	3	−1	−2		−8
133.	13	−11 .	134.	2	12 .
5 −7			3 −14
135.	2	−4 .	136.	2	−16 .
−4 5			−4		5
137.	−1	2 .	138.	−9	12 .
2		−9	−4		5
139.	7	−30 .	140.	−3	3 .

5. Примеры решения задач

5.1.Действия над матрицами.

Пример 1. Даны матрицы

A =	1	−10	, B =	5	4	−4	, C =	−1	0	6 .
	−3	8		0	11	2		−3	0	4
	0	2				−		3	1	0

Найдите 4AB − C2.

Решение. Сначала найдем произведение матриц A è B. Одну матрицу мож-

но умножить на другую тогда и только тогда, когда матрицы являются согласованными, то есть число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Так как матрица A имеет размер 3 × 2, а матрица B 2 × 3, то произведение AB имеет смысл (2 = 2), причем при умножении получится матрица размера 3 × 3. В результате умножения A íà B получим:

AB =	1 −0 +·(−10)·· 5	1 · 11 + (−10) · 4	1	−· (−2)· + (−10) · (−4)		=
	( 3) 0 + 8 5	(−3) · 11 + 8 · 4	( 3) (−2) + 8 · (−4)
	·0 · 0 + 2 · 5	0 · 11 + 2 · 4		0 · (−2) + 2 · (−4)

40

		40	−1	−26
=		−50	−29	38		.
		10	8	−8

Теперь матрицу AB умножим на 4. При этом каждый элемент нужно умножить на 4. Заметим, что размер получившейся матрицы будет тем же, что

и у матрицы AB, òî åñòü			3 × 3. В результате умножения матрицы					AB íà 4
получим:	4 (·−50)		··(−29)	4 · 38	= −200	−116		.
4AB =		4					152
	4 40	4 (−1)		4 · (−26)	160	−4	−104
	·4 · 10		4 · 8	4 · (−8) 40		32	−32

Следующим действием найдем C2, то есть произведение матрицы C на саму себя. Так как матрица C имеет размер 3 Ч 3, то выражение C2 имеет смысл (3 = 3), причем матрица C2 имеет размер 3 Ч 3. В результате получим:

	C2 = −1 0 6 −1					0	6 =
		−3 0		4	−3	0	4
		3	1	0	3	1	0
=	(−1) · (−3) + 0 · (−1) + 6 · 3		(−1) · 0 + 0 · 0 + 6 · 1					(−1) · 4 + 0 · 6 + 6 · 0		=
	(−3) · (−3) + 0 · (−1) + 4 ·	3	(−3)	· 0 + 0 · 0 + 4			· 1	(−3) · 4 + 0 · 6 + 4 · 0
	3 · (−3) + 1 · (−1) + 0 · 3		3 · 0 + 1 · 0 + 0 · 1					3 · 4 + 1 · 6 + 0 · 0

	21	4	−12
=	21	6	−4		.
	−10	0	18

Наконец, вычтем из матрицы 4AB матрицу C2. Матрицы можно склады-

вать или вычитать, если размер их одинаков. При сложении и вычитании двух матриц их соответствующие элементы складываются или вычитаются, соот-

ветственно. Так как матрицы 4AB и C2 имеют одинаковый размер 3 Ч 3, их разность имеет смысл. Производя вычитание, получим:

4AB C2 =	−200			116	152		21	6	−4		=	−221		−122	156	.
		160		−4	−104		21	4	−12				139	−8	−92
−		40		−32	−32	− −10		0	18				50	32	−50
ОТВЕТ: 4AB				C2 =	221	122	156	.
					139	−8	−92
			−	−50		−32	−50

5.2. Ранг матрицы и его нахождение.

Пример 2. Вычислить ранг матрицы

A =	4		2	0	−1
		0	3	−1	4
	1		4	7	−2
		5	6	7	3
					−

6

−3

.

7 −10

41

Решение. Выполним элементарные преобразования. Необходимо переставить местами строки или столбцы, чтобы добиться того, чтобы a11 6= 0. Åñëè

это возможно, удобно переставить их так, чтобы a11 = ±1. Поменяем местами первую и четвертую строки:

4 2 0 −1					3		4 2 0					−1	3
	0	3	−1 4		6			1	4	7		−2	−10
1 4 7				−2	10		0 3				1 4		6
												−
	5	6	7	3	7			5	6 7			3	7
				−	−					−

Обнулим все элементы первого столбца, кроме первого элемента. Для этого последовательно умножим первую строку на (−4) и (−5), затем прибавим ее ко второй и третьей строке, соответственно:

	0		−14	−28	7	43
		1	4	7	−2	−10
	0		−3	− 1	4	6
		0	14	28	7	43
				−

Обнулим все элементы второго столбца, кроме первых двух элементов. Для этого сначала умножим вторую строку на 3, третью на (−3), а четвертую

íà 14. Затем последовательно сложим вторую строку с третьей и четвертой:

		1	4	7		−2 −10					1	4	7		−2 −10
	0		−42	−84		21	129			0		−42	−84		21	129
		0	−42	−84		21	129				0	0	0		0	0
			42	−	14	56	84					0	−	96	77	213
	0									0

Вычеркнем третью строку, все элементы которой нулевые:

1	4	7	−2	−10	.
0	42	−84	21	129
0	−0	−96	77	213

Полученная матрица является ступенчатой. Число ее строк равняется рангу исходной матрицы: r(A) = 3.

ОТВЕТ: r(A) = 3.

Пример 3. Вычислить ранг матрицы

2 4

5 −3

A =		82	7		.
	−		1

Решение. Выполним необходимые элементарные преобразования. Чтобы сократить вычисления, транспонируем матрицу:

24

	5		−3			2	5	8	−2
		2	7				−3	1	7
	8		1			4
−

42

Обнулим нижний элемент первого столбца, для чего ко второй строке прибавим первую, умноженную на (−2):

2	5	8		−2
0	−	−	15	11
	13

Полученная матрица является ступенчатой. Число ее строк равняется рангу исходной матрицы: r(A) = 2.

ОТВЕТ: r(A) = 2.

5.3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Пример 4. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса и произвольное частное решение этой системы.

4x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0,

x1 − 3x3 + 4x4 = 6,

7x1 + 2x2 − x3 + 6x4 = 2.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

		4	−2	1	1	0
Að =		1	0	−3	4	6		.
		7	2	−1	6	2

Выполним необходимые элементарные преобразования над матрицей. Сна- чала для удобства вычислений поменяем местами первую и вторую строки:

1	0	−3	4	6	4	−2 1		1	0
4	−2 1 1			0	1	0	−3	4	6
7	2	−1	6	2 7		2	−1	6	2

Обнулим все элементы первого столбца, кроме первого элемента. Для этого последовательно умножим первую строку на (−4) и (−7), потом прибавим ее ко второй и третьей строке, соответственно:

	0	−2	13	−15	−24
	1	0	−3	4	6
0		2	20	−22	−40

Обнулим третий элемент второго столбца. Для этого сложим вторую строку с третьей:

0		−2 13		−15	−24 .
	1	0	−3	4	6
	0	0	33	−37	−64

Матрица приведена к ступенчатому виду. Этой матрице, эквивалентной матрице Aр, соответствует следующая система, равносильная исходной:

	x1	2x2	+ 13x3		15x4	=	24,	(23)
			− 3x3	+ 4x4		= 6,
	−		33x3	−	37x4	=	−
				−			64.
							−

43

Эта система из трех уравнений с четырьмя неизвестными имеет бесконеч- ное множество решений, зависящее от одного ( 4 − 3 = 1) параметра. Для их нахождения разделим переменные на основные и свободные. Число основных переменных должно совпадать с числом уравнений в системе (23), в нашем случае их три. За основные переменные возьмем те, что стоят "на ступень-

ках" системы (23), òî åñòü ýòî x1, x2 è x3. Переменная x4 в этом случае будет свободной (параметром):

x4 = C, C произвольное действительное число .

Двигаясь по системе (23) "снизу вверх", последовательно находим неизвестные

x3, x2 è x1:							37x4 − 64				= 37C − 64												= 37 C						64 ;
			x		=
		+−2		3			33								33										33				−		33
x2 = −13x3			4 −		24	=			3 −		2			4			=						2 13 · 33 C − 33 − 15C + 24															=
		15x						13x			15x				+ 24							1							37					64
	= 2	33 C −		33 − 15C + 24 =											2		33					C − 33							− 33					C + 33			=
1		481	832												1		481					832							495					792
									14		40						7					20
							= −			C	−					= −						C −						;
									66			66								33						33

	37		64				37		64		44		66				7		2
x1 = 3x3−4x4+6 = 3·		C −				−4C+6 =		C−		−		C+			= −			C +		.
	33			33			11		11		11		11				11		11

Èòàê,

x1 = −	7		C +	2	;	x2 = −	7	C −	20		;	x3 =	37			C −	64	; x4	= C (24)
	11			11			33			33				33			33

(C произвольная постоянная) общее решение исходной системы. Для нахождения какого-нибудь частного решения возьмем произвольное значение C и подставим его в формулы (24). Полагая, например, C = 0, получим:

x1 =	2	; x2	= −	20	; x3	= −	64	; x4	= 0
	11			33			33

частное (базисное) решение исходной системы.

ОТВЕТ: x1 = −117 C + 112 , x2 = −337 C − 2033 , x3 = 3733 C −

произвольная постоянная) общее решение системы; x1 = x3 = −6433 , x4 = 0 частное решение системы.

6433 , x4 = C (C 112 , x2 = −2033 ,

Пример 5. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса и произвольное частное решение этой системы.

−2x1 − 3x2 − 2x3 + 7x4 = 5,

x1 + 2x2 + 4x3 − 9x4 = 1,

3x1 + 7x2 + 18x3 − 38x4 = 10.

44

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

Að =	1	2	4		9	1	.
	−2	−3	−2	7		5
				−
	3	7	18	−38		10

Выполним элементарные преобразования. Для удобства вычислений поменяем местами первую и вторую строки:

1		2	4	−9	1		−2 −3 −2			7	5
	−2	−3	−2	7	5		1	2	4	−9	1
	3	7	18	−38	10		3	7	18	−38	10

Обнулим все элементы первого столбца, кроме первого элемента. Для этого последовательно умножим первую строку на 2 è (−3), затем прибавим ее ко второй и третьей строке, соответственно:

	1	2	4	−9	1
	0	1	6	−11	7
	0	1	6	−11	7

Обнулим третий элемент второго столбца. Для этого сложим вторую строку, умноженную на (−1) с третьей:

	1	2	4	−9	1
	0	1	6	11	7
	0	0	0	−0	0

Вычеркнем третью строку, все элементы которой нулевые:

1	2	4	−9		1 .
0	1	6	−	11	7

Матрица приведена к ступенчатому виду. Этой матрице, эквивалентной матрице Aр соответствует следующая система, равносильная исходной:

(

x1 + 2x2 + 4x3 − 9x4	= 1,	(25)
x2 + 6x3 − 11x4 = 7.

Система (25) состоит из двух уравнений с четырьмя неизвестными и имеет

бесконечное множество решений, зависящее от двух ( 4 − 2 = 2) параметров. Для их нахождения разделим переменные на основные и свободные. Возьмем переменные x1 è x2, стоящие "на ступеньках" системы (25), в качестве основ- ных. Тогда переменные x3 è x4 будут свободными (параметрами):

x3 = C1, x4 = C2 C1, C2 произвольные действительные числа .

Двигаясь по системе (25) "снизу вверх", последовательно находим переменные x2 è x1:

x2 = −6x3 + 11x4 + 7 = −6C1 + 11C2 + 7;

x1 = −2x2 − 4x3 + 9x4 + 1 = −2(−6C1 + 11C2 + 7) − 4C1 + 9C2 + 1 =

45

= 12C1 − 22C2 − 14 − 4C1 + 9C2 + 1 = 8C1 − 13C2 − 13.

Èòàê,

x1 = 8C1 − 13C2 − 13; x2 = −6C1 + 11C2 + 7; x3 = C1; x4 = C2 (26)

(C1, C2 не зависящие друг от друга произвольные постоянные) общее решение исходной системы. Для нахождения какого-нибудь частного решения

выберем произвольным образом значения C1 è C2 и подставим их в формулы (26). Полагая, например, C1 = C2 = 0, получим:

x1 = −13; x2 = 7; x3 = x4 = 0

частное (базисное) решение исходной системы.

ОТВЕТ: x1 = 8C1 − 13C2 − 13, x2 = −6C1 + 11C2 + 7, x3 = C1, x4 = C2 (C1,

C2 не зависимые друг от друга произвольные постоянные) общее решение системы; x1 = −13, x2 = 7, x3 = x4 = 0 частное решение системы.

Пример 6. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса и произвольное частное решение этой системы.

x1

+ 2x2 + 4x3

9x4 = 1,

−2x1

− 3x2

− 2x3

+ 7x4

= 5,

−

38x4 = 11

3x1 + 7x2 + 18x3

−

(сравните эту систему с системой из примера

5).

Решение.

Запишем расширенную матрицу системы:

1

2

4

9

1

.

−2

−3

−2

7

5

−

3

7

18

−38

11

Выполняя элементарные преобразования над матрицей подобно тому, как это делалось в примере 5, получим:

1	2	4	−9	1	0	1	6	−11	7 .
−2	−3	−2	7	5	1	2	4	−9	1
3	7	18 −38		11 0		0	0	0	1

Последняя строка матрицы справа может быть записана как уравнение

0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 1,

которое не имеет решений, так как при любых x1, x2, x3 è x4 его левая часть

равна нулю, а правая единице. Это означает, что исходная система не имеет решений.

ОТВЕТ: система не имеет решений.

46

5.4. Векторные пространства. Базис. Разложение вектора по базису. Решение невырожденных систем линейных уравнений методами Крамера и обратной матрицы.

−

=

{2, 4, −3},

−

Пример 7. В трехмерном пространстве заданы векторы

a1

= {0, 8, 1}

−

3= {−1, 5, −2}

−

= {5, 3, −4}

−

−

a

, a

,

b

. Докажите, что векторы

a

, a

è

−2

1

2

a3 образуют базис в этом пространстве и разложите по этому базису вектор

−

b. Разложение осуществить, решая систему линейных уравнений, сделав это двумя способами: методом обратной матрицы и методом Крамера.

Решение. 1) Три вектора образуют базис в трехмерном пространстве тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, не равен нулю. Составим определитель и вычислим его разложением по первой строке:

2

0

−1

1+1

8

5

+0·(−1)

1+2

4

5

+(−1)·(−1)

1+3

4

8

3 1

2 = 2·(−1)

1

−

2

3

−

2

3 1 =

4

8

−

−

5

−

−

= 2 · (8 · (−2) − 5 · 1) + 0 − 1 · (4 · 1 − 8 · (−3)) = 2 · (−21) − 28 = −70 6= 0,

(27)

−

−

−

следовательно, векторы a1,

a2 è

a3 образуют базис.

−

−

2) Разложим вектор b по этому базису, то есть представим b в виде линейной

комбинации векторов

−

−

−

a1,

a2 è

a3:

−

−

−

−

x1, x2

, x3 const.

b= x1 a1

+x2 a2

+x3 a3,

(28)

Найдем x1, x2 è x3. Для этого запишем равенство (28) в кординатной форме, а затем преобразуем его в систему линейных уравнений:

3	= x1	4	+ x2	8	+ x3	5	3	=	4x1	+ 8x2	+ 5x3
5		2		0		−1	5		2x1	+ 0x2	− 1x3

−4 −3 1 −2 −4 −3x1 + 1x2 − 2x3

2x1

− x3 = 5,

.

4x1 + 8x2 + 5x3 = 3,

(29)

2x3

=

4

3x1 + x2

−

−

−

3) Решим систему

методом обратной матрицы. Запишем систему в мат-

(29)

ричной форме:

AX = B,

(30)

ãäå

2

0

−1

4

8

5

матрица системы,

A = −3

1

−2

X =

x1

матрица-столбец неизвестных,

x2

x3

47

5

B = 3 матрица-столбец свободных коэффициентов . (31)

−4

Òàê êàê = |A| = −70 6= 0 (см. формулу (27)), поэтому система (29) имеет единственное решение, находящееся по формуле

X = A−1B.

(32)

Здесь A−1 матрица, обратная матрице A, которая находится так:

	A−1 =	1	A11	A21	A31
			A12	A22	A32		,
			A13	A23	A33

ãäå Aij (i, j = 1, 2, 3) алгебраические дополнения к элементам матрицы A. Найдем Aij:

A11 = (−1)1+1 8 5 = 8 · (−2) − 5 · 1 = −21;

1 −2

A21 = (−1)2+1 0 −1 = −(0 · (−2) − (−1) · 1) = −1;

1 −2

A31

= (

−

1)3+1

0

−1

= 0

·

5

−

(

−

1)

·

8 = 8;

8

5

A12 = (−1)1+2 4 5 = −(4 · (−2) − 5 · (−3)) = −7;

−3 −2

A22 = (−1)2+2 2 −1 = 2 · (−2) − (−1) · (−3) = −7;

−3 −2

A32

= (

1)3+2

2

−1

=

(2

5

−

(

−

1)

·

4) =

14;

−

4 5

− ·

−

43

8

A13 = (−1)1+3

1

= 4 · 1

− 8 · (−3) = 28;

−

A23 = (−1)2+3 2 0 = −(2 · 1 − 0 · (−3)) = −2;

−3 1

A33 = (−1)3+3 2 0 = 2 · 8 − 0 · 4 = 16.

4 8

Таким образом,

	1					−21		−1		8
A−1	=					−	7	−	7	14		,
			70
	−									−
						28		−2		16

и, подставляя найденную матрицу A−1 в формулу (32), получаем:

				−21	−1
	1					8	5
X =				−7	−7	−14	3		=
	−	70
				28 −2		16	−4

48

	70		7 5 + (−7) · 3 + (−14) · (−4) =		70	−	0	=	0	.
	1		−21 · 5 + (−1) · 3 + 8 · (−4)		1		140		2
−		−28· · 5 + (−2) · 3 + 16 · (−4)		−		70		−1

Èòàê, x1 = 2, x2 = 0, x3 = −1 решение системы (29).
4) Решим систему (29) другим способом методом Крамера. Òàê êàê							=
|A| = −70 6= 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти
по следующим формулам Крамера:
x1 =	1	, x2 =	2	, x3 =	3	.	(33)

Здесь i (i = 1, 2, 3) определитель матрицы, полученной из матрицы A заменой i-ого столбца столбцом свободных коэффициентов B (см. формулу (31)).

Найдем i (i = 1, 2, 3):

5 0 −1

1 = 3 8 5 =

−4 1 −2

= 5 · (−1)1+1							1			52		+ 0 · (−1)1+2							34					2 + (−1) · (−1)1+3								4	1	=
								8		−								−					5								3		8
= 5		(8		(					5			+ 0		1		(3				8		−				= 5		( 21)		−
	·		·		−	2)				·	1)		−		·		1		−		·	(	−		4))		·		35		=		140;
							−										·											− −					−

2 5 −1

																				2 =				4				3				5				=
																												−4 −2
																							−3													+ (
= 2		(	1)1+1					3					5			+ 5			·	(	−	1)		1+2				4				5						1)			(	−	1)1+3					4				3				=
	· −									4			−	2															3		−			2			− ·												3			−		4
= 2		(3		(		2)	−					(						5			(4			(			−			5								1		(4			(		4)		−				(					=
	·		·		−				5		·		−	4))			−			·			·		−	2)					·	(			3))		−		·			·		−				3		·		−	3))
							−																					−					−													−

= 2 · 14 − 5 · 7 − 1 · (−7) = 0;

2 0 5

																		3 = 4								8				3 =
																										1			−4
																						−3										3
= 2		·	(	−		1)1+1					8			3		+ 0		·	(	−		1)	1+2				4								+ 5	·	(	−		1)1+3		4			8		=
										1				−	4													3			−		4											3 1
= 2		(8			(			4)				3					0 + 5				(4			1		−				(					= 2		(				−						70.
	·			·			−						·	1)		+				·			·			8			·		−	3))				·				35) + 5			·		28 =
									−																−														−

Подставляя найденные значения

1,

2 è

3 в формулу (33), получим:

x

=

−140

= 2,

x =

0

= 0,

x

=

70

=

−

1.

1

70

3

70

−

70

2

−

−

Èòàê, x1 = 2, x2 = 0, x3 = −1 решение системы (29).

5) Подставляя найденное решение системы (29) в формулу (28), получим

−	−	−
b= 2 a1		− a3

−− − −

разложение вектора b по базису a1, a2, a3.

− − −

ОТВЕТ: b= 2 a1 − a3 разложение вектора

− − − −

b по базису a1, a2, a3.

49

5.5. Элементы аналитической геометрии на плоскости.

Пример 8. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(−8; 6), B(16; 13), C(4; −3). Найти:

1)длины сторон треугольника ABC;

2)уравнения сторон треугольника ABC и угловые коэффициенты этих сторон ;

3)доказать, что угол C треугольника ABC прямой;

4)уравнение медианы AM;

5)уравнение высоты CH;

6)координаты точки H основания высоты CH;

7)уравнение окружности с центром в точке M, проходящей через вершины B и C треугольника;

8)построить на чертеже треугольник ABC, медиану AM, высоту CH и окружность из пункта 7).

Решение. 1) Для нахождения длин сторон треугольника ABC воспользуемся

следующей формулой для расстояния d между двумя точками (x1, y1) è (x2, y2) на плоскости:

Подставляя в (34)

p

d = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

(34)

координаты соответствующих точек, последовательно полу-

÷èì:

|AB| = p

(16 − (−

2

−

2

p2

2

√

8))2 + (13

6)2 =

242 + 72

= √625 = 25;

p

p

|

|

−

2

2

2

2

AC

=

(4

(−8))

+ (−3 − 6)

=

12 + (−9)

=

225 = 15;

|BC| = p

= p

= √

= 20.

(4 − 16) + (−3 − 13)

(−12) + (−16)

400

2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1, y1) è (x2, y2),

можно записать в виде

y − y1

x − x1

=

.

(35)

y2 − y1

x2 − x1

Напишем уравнение прямой AB. Подставляя в (35) координаты точек A è

B, получим:

AB :

y − 6

=

x − (−8)

,

y − 6

=

x + 8

.

(36)

13 − 6

7

16 − (−8)

24

Преобразуем последнее уравнение в (36), выразив y через x:

24(y − 6) = 7(x + 8),

24y − 7x − 200 = 0,

24y = 7x + 200, y =

7

x +

200

,

24

24

y = 247 x + 253

уравнение прямой AB. Ее угловой коэффициент kAB = 247 . Аналогично,

AC :	y − 6	=	x − (−8)	,	y − 6	=	x + 8	,
	−3 − 6		4 − (−8)		−9
						12

50

12(y − 6) = −9(x + 8), 12y + 9x = 0, 4y + 3x = 0, y = −	3	x
	4

уравнение прямой AC. Ее угловой коэффициент kAC = −34 . Аналогично предыдущему,

BC :

y − 13

=

x − 16

,

y − 13

=

x − 16

,

12(y

13) =

16(x

16),

−

3

−

13

4

−

16

−

16

−

12

−

−

−

−

−3(y − 13) = −4(x − 16)

− 3y + 4x − 25 = 0,

−3y = −4x + 25,

y =

4

x −

25

3

3

уравнение прямой BC. Ее угловой коэффициент kBC = 43 .

3)Чтобы доказать, что угол C треугольника ABC прямой, достаточно показать, что прямые AC è BC перпендикулярны. Условие перпендикулярности

двух прямых с угловыми коэффициентами k1 è k2 записывается так:

k1k2 = −1.			(37)
Так как в нашем случае kAC = −43	, kBC = 34	, òî kACkBC = −43 · 34	= −1, òî

есть условие (37) выполняется, прямые AC è BC перпендикулярны и угол при вершине C прямой.

4) Найдем сначала координаты точки M основания медианы AM. Òàê êàê M середина стороны BC, то координаты (xM , yM ) точки M находятся

	по формуле	xB + xC			yB + yC
	xM =		,	yM =		,	(38)
	2			2

ãäå (xB, yB) è (xC, yC) координаты точек B è C, соответственно. Подставляя в (38) координаты точек B è C, получим:

	xM =	16 + 4	= 10,	yM =	13 + (−3)	= 5
		2			2

координаты точки M.

Запишем уравнение медианы AM, для чего подставим в (35) координаты точек A è M:

	y − 6	=	x − (−8)	,		y − 6	=	x + 8	.	(39)
	5 − 6					−1
			10 − (−8)				18
Преобразуем последнее уравнение в (39):
18(y − 6) = −(x + 8),					18y + x − 100 = 0

общее уравнение медианы AM.

5)Уравнение высоты CH треугольника ABC удобно искать в виде уравнения пучка прямых:

y − y1 = k(x − x1).

(40)

Так как высота CH проходит через точку C, можно в качестве x1 è y1 â уравнении (40) взять координаты этой точки. Уравнение (40) приобретет вид

y − (−3) = k(x − 4), y + 3 = k(x − 4).

(41)

51

Остается найти k = kCH угловой коэффициент прямой CH. Òàê êàê CH высота треугольника ABC, то прямые CH è AB перпендикулярны. Значит, согласно формуле (35), kCHkAB = −1. Òàê êàê kAB = 247 (см. пункт 2), то

kCH = −	1			= −	24
						.
		7			7
	24

Подставляя найденное значение kCH = k в формулу (41), получим:

y + 3 = −	24	(x − 4), y + 3 = −	24		x +	96	, y = −	24		x +	75
	7		7			7		7			7

уравнение высоты CH.

6)Точка H точка пересечения прямых AB è CH. Поэтому, координаты (x, y) точки H являются решением системы уравнений, состоящих из уравнений прямых AB è CH. Составим и решим эту систему (уравнения прямых AB è CH были найдены выше):

			y =		7							25																							y =						7				25
								x +														,																					x +									,
						24										3																									24							3
					24							75																									7					25										24									75
			y =								x +																												x +					=													x +
					−			7																																										− 7											7
												7																									24					3
			y =					7					x +									25					,																y =									7			x +						25		,
									24														3																														24								3
					7							24															75								25										625											50
								x +										x =																																		x =
												7																	7				− 3												168
			24																																																					21
												7																	25																7											25
						y =															x +													,						y =									x +										,
														24																3																24											3
												50										625																							16
						x =																:																		x =
																																													25
												21										168
					7							16										25																				213
			y =							·							+												,								y =										,										x = 0, 64,
							24						25											3																			25
					16																																					16																	y = 8, 52.
			x = 25																																		x =					25
Точка		имеет координаты																																							.
	H																																				52)
																											(0, 64; 8,

7) Напишем уравнение окружности с центром в точке M, проходящей через

точки B è C.		Уравнение окружности радиуса			R с центром в точке (x0, y0)
имеет вид:			(x − x0)2 + (y − y0)2 = R2.
											(42)
Òàê êàê M середина стороны , то R =				|BC|	= 20 = 10 (в пункте 1 было
			2		2		= 10 è y				= 5
найдено, что	|BC| =		20). Подставляя в уравнение (42) R = 10, x
						2 0		2		0
(координаты точки M, найденные в пункте 4), получим (x−10)						+(y−5)			= 100

уравнение искомой окружности.

8)На рисунке 11 построены треугольник ABC, его медиана AM и высота CH, а также окружность с центром в точке M, проходящая через вершины B è C.

52

Ðèñ. 11.

5.6. Системы линейных неравенств.

Пример 9. Построить множество точек на плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют системе неравенств

x > 0,

y > 0,

y − 2x − 2 6 0,

2x + 3y − 14 6 0.

Решение. Неравенству x > 0 удовлетворяет множество точек плоскости Oxy, абсцисса которых неотрицательна, то есть правая относительно оси Oy полуплоскость вместе с самой осью Oy (ñì. ðèñ. 12). Аналогично, неравенству y > 0 удовлетворяет верхняя относительно оси Ox полуплоскость вместе с самой осью Ox (ñì. ðèñ. 13).

Ðèñ. 12.

Ðèñ. 13.

53

Рассмотрим неравенство y − 2x − 2 6 0. Сначала возьмем равенство y − 2x −

2 = 0, которое служит уравнением прямой l1. Для построения этой прямой возьмем, например, x = 0 (тогда y = 2) è y = 0 (тогда x = −1). Тогда прямая l1 проходит через точки (0, 2) è (−1, 0). Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости: Π1, координаты всех точек которой удовлетворяют неравенству y−2x−2 < 0 è Π2, координаты всех точек которой удовлетворяют неравенству y−2x−2 > 0. Координаты точки (0, 0) удовлетворяют неравенству y−2x−2 < 0, поэтому (0, 0) Π1. Значит, полуплоскость Π1 лежит "под", а Π2"над" прямой l1. Неравенству y − 2x − 2 6 0 удовлетворяет полуплоскость Π1 вместе с прямой l1 (ñì. ðèñ. 14).

Рассмотрим неравенство 2x + 3y − 14 6 0.	Сначала возьмем равенство
2x + 3y − 14 = 0, которое служит уравнением	14	l2. Для построения
	прямой

этой прямой возьмем, например, x = 0 (тогда y = 3 ) è y = 0 (тогда x = 7). Тогда прямая l2 проходит через точки (0, 143 ) è (7, 0). Эта прямая разбива-

ет плоскость на две полуплоскости: Π3, координаты всех точек которой удовлетворяют неравенству 2x + 3y − 14 < 0 è Π4, координаты всех то- чек которой удовлетворяют неравенству 2x + 3y − 14 > 0. Координаты точки (0, 0) удовлетворяют неравенству 2x + 3y − 14 < 0, поэтому (0, 0) Π3. Çíà- чит, полуплоскость Π3 лежит "под", а Π4 "над" прямой l2. Неравенству 2x + 3y − 14 6 0 удовлетворяет полуплоскость Π3 вместе с прямой l2 (ñì. ðèñ.

15).

Ðèñ. 14.

Ðèñ. 15.

54

Тогда исходной системе неравенств удовлетворяют все точки закрашенного четырехугольника на рис. 16, включая точки его границы. Для уточнения ри-

сунка найдем точку пересечения прямых l1 è l2. Для этого решим следующую систему уравнений:

(2x−+ 3y−		14 = 0		(2x + 3(2x + 2)		14 = 0		(8x 8 = 0
y 2x	2 = 0,			y = 2x + 2,				y = 2x + 2,
−					−			−

((

	y = 2x + 2,		y = 4
	x = 1		x = 1 .

Èòàê, (1, 4) точка пересечения прямых l1 è l2.

Ðèñ. 16.

5.7. Собственные значения и векторы матрицы.

55

Пример 10. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

A =	−3	8 .
	1	−10

Решение. Для нахождения собственных значений λ квадратной матрицы A необходимо решить уравнение

|A − λE| = 0,

(43)

ãäå E единичная матрица. В нашем случае уравнение (43) приобретает вид

			−31− λ	−108− λ	= 0.	(44)
Решаем уравнение		:
	(44)

(−3 − λ)(−10 − λ) − 8 · 1 = 0 30 + 10λ + 3λ + λ2 − 8 = 0

λ2 + 13λ + 22 = 0.

Последнее уравнение является квадратным. Используя для его решения формулы из справочного материала (см. пункт 7.1), находим:

D = 132 − 4 · 1 · 22 = 169 − 88 = 81,

√

= 9,

D

λ

1

=

−13 − 9

=

−

11,

λ

2

=

−13 + 9

=

−

2.

2

·

1

2

·

1

Èòàê, λ1 = −11 è λ2 = −2 собственные значения матрицы A. Найдем соб-

ственные векторы X = (x1, x2) данной матрицы, соответствующие найденным собственным значениям. Для этого необходимо решить матричные уравнения

(A − λE)X = 0.

(45)

Сначала найдем собственные векторы X = (x1, x2) матрицы A, соответствующие собственному значению λ = −11. Уравнение (45) будет иметь следующий вид:

−	3	−1	−	11)	−10 − (−11) x2			= 0		1	1 x2		= 0
		(			8	x1				8	8 x1

((

	8x1 + 8x2 = 0		x1 + x2 = 0
	x1 + x2 = 0		x1 + x2 = 0.

Последняя система равносильна одному уравнению x1 + x2 = 0. Так как уравнение всего одно, а неизвестных две, значения одной из них можно выбрать

произвольно. Полагая x2 = C, находим x1 = −C. Таким образом, все векторы (−C, C), ãäå C произвольная постоянная, являются собственными векторами

матрицы A.

Теперь найдем собственные векторы X = (x1, x2) матрицы A, соответствующие собственному значению λ = −2. Уравнение (45) будет иметь следующий вид:

−		−1 −		−10 − (−2) x2				1 −8 x2
	3	(	2)	8	x1	= 0		−1 8 x1	= 0

56