1.Ранг матрицы. Определение. Элементарные преобразования над строками матрицы. Ранг ступенчатой матрицы. Нахождение ранга произвольной матрицы приведением к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
2.Построить множество точек на плоскости Oxy, координаты которых удо-
влетворяют системе неравенств
x > 0,
y > 0,
3x + 4y − 12 6 0.
3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
|
|
|
x + 2y + 4z |
= 9, |
|
|||
|
|
2x + 5y |
− |
2z |
= |
−2, |
||
|
|
|
3x + 5y |
− |
9z |
= |
− |
21. |
|
− |
|
|
|
|
|||
4. Вычислить |
|
|
3 |
6 8 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
1 |
4 |
. |
−3 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−−
5.Доказать, что векторы a= (6, 1, −2) и b= (−12, −2, 4) являются коллинеарными.
7. Справочный материал
7.1. Нахождение корней квадратного уравнения.
Дискриминант D квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 находится по формуле D = b2 − 4ac, а корни x1 è x2 по формуле
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
x1 = |
−b + D |
. x2 = |
−b − D |
. |
||||
|
|
|
2a |
2a |
||||
Пусть a, b, c действительные числа. Тогда: |
|
|
|
|||||
åñëè D > 0, то корни x1 |
è x2 |
действительны и различны; |
||||||
åñëè D = 0, то корни x1 |
è x2 |
действительны и совпадают между собой; |
если D < 0, то действительных корней уравнение не имеет, но имеет комплексные корни.
8. Глоссарий (словарь терминов)
•n-мерное линейное простанство линейное пространство, в котором
существует n линейно зависимых векторов, а любые из (n + 1) векторов являются линейно зависимыми.
• n-мерный вектор упорядоченная совокупность n действительных чисел (компонент).
59
• n-мерные векторы равные такие, что все их соответствующие компоненты равны.
•Алгебраическое дополнение Aij элемента aij квадратной матрицы n-
ого порядка минор Mij, взятый со знаком (−1)i+j: Aij = (−1)i+jMij. 14
•Базис n-мерного линейного пространства совокупность n линейно независимых векторов этого пространства.
•Базисное решение системы линейных уравнений (47) решение, в котором все свободные переменные равны нулю.
•Базисные переменные в системе линейных уравнений (47) то же, что основные переменные в системе линейных уравнений (47).
• Вектор направленный отрезок AB с началом в точке A и концом в точке B, который можно перемещать параллельно самому себе.
• Вектор нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.
• Векторное пространство множество векторов с действительными
компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения векторов на число, удовлетворяющие некоторому набору свойств (аксиом).
• Векторы коллинеарные векторы, лежащие на одной прямой или параллельных прямых.
• Векторы линейно зависимые векторы, по крайней мере один из которых является линейной комбинацией остальных.
• Векторы линейно независимые векторы, не являющиеся линейно зависимыми.
• Векторы противоположные векторы такие, что: 1) лежат на одной
прямой; 2) имеют равные длины; 3) направлены в противоположные стороны.
• Векторы равные векторы такие, что: 1) лежат на одной прямой; 2) имеют равные длины; 3) направлены в одну сторону.
• Главная диагональ квадратной матрицы совокупность элементов
a11, a22, ... , ann. 10
• Длина вектора длина отрезка, изображающего вектор.
• Конец вектора AB точка B.
−− − −
•Координаты n-мерного вектора x в базисе e1, e2, ... ,en числа x1, x2, ... ,xn из представления (46).
•Координаты вектора упорядоченная пара (для вектора на плоско-
сти) или тройка (для вектора в трехмерном пространстве) чисел, являющаяся разностью соответствующих координат конца и начала вектора.
•Координаты точки упорядоченная пара (для точки на плоскости)
или тройка (для точки в трехмерном пространстве) чисел, однозначно определяющая положение точки.
•Коэффициенты при неизвестных в системе линейных уравнений
(47) числа aij.
•Линейная комбинация нескольких векторов сумма произведений этих векторов на произвольные действительные числа.
•Линейное пространство то же, что и векторное пространство.
•Матрица размера m × n прямоугольная таблица чисел, содержащая
m строк и n столбцов. 9
60
• Матрица диагональная квадратная матрица, все недиагольные эле-
менты которой равны нулю. |
10 |
|
• Матрица единичная квадратная матрица E, все недиагольные эле- |
||
менты которой равны нулю, а диагональные единице. |
10 |
• Матрица квадратная матрица, число строк которой совпадает с числом столбцов. 10
• Матрица квадратная n-ого порядка матрица размера n × n. 10
• Матрица коэффициентов при переменных системы линейных уравнений то же, что и матрица системы. 19
• Матрица невырожденная квадратная матрица, определитель ко-
торой не равен нулю. |
|
• Матрица нулевая матрица, все элементы которой равны нулю. |
10 |
• Матрица, обратная по отношению к квадратной матрице A матрица A−1 того же размера, что и матрица A и такая, что при умножении этой
матрицы на матрицу A как справа, так и слева получается единичная матрица: A−1 A = A A−1 = E. 20
• Матрица, присоединенная к квадратной матрице A квадратная
матрица того же порядка, элементы которой являются алгебраическими дополнениями к матрице A0, транспонированной к матрице A. 20
• Матрица системы линейных уравнений (47) матрица
A = |
a21 |
a22 |
· · · |
a2n |
. 19 |
||
|
a11 |
a12 |
|
a1n |
|
||
|
a. . |
1.m. . . |
a. . . . . . |
·.·.·. . . |
a. |
. . . |
|
|
|
m2 |
· · · |
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Матрица-столбец матрица, содержащая только один столбец, то есть матрица размера m Ч 1.
•Матрица-столбец переменных в системе линейных уравнений (47)
матрица
x1
x2
X = . 19
. . . xm
• Матрица-столбец свободных коэффициентов в системе линейных уравнений (47) матрица
b1
b2
B = . 19
. . . bm
•Матрица-строка матрица, содержащая только одну строку, то есть матрица размера 1 Ч n.
•Матрица ступенчатая матрица вида
|
0 |
a22 |
· · · |
a2r |
· · · |
a2k , |
|||
a11 |
a12 |
|
a1r |
|
a1k |
|
|||
. |
0. . . . |
. .0. . . |
.·.·.·. . |
.a. |
rr. . . . |
·.·.·. . |
.a. |
rk. . |
|
|
|
|
· · · |
|
· · · |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
61
ãäå aii 6= 0 äëÿ âñåõ i = 1, 2, . . . , r.
• Матрицы равные две матрицы одинакового размера, все соответ-
ствующие элементы которых равны. |
9 |
•Матрицы согласованные две матрицы такие, что число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй.
•Минор Mij элемента aij квадратной матрицы n-ого порядка определитель матрицы (n − 1)-ого порядка, полученной из исходной матрицы
вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. |
14 |
• Минор k-ого порядка матрицы A определитель квадратной подматрицы k-ого порядка. 16
• Модуль вектора то же, что и длина вектора.
• Начало вектора AB точка A.
• Общее решение системы линейных уравнений совокупность всех решений системы. 26
•Определитель квадратной матрицы число, по определенному закону сопоставляемое этой матрице.
•Основные переменные в системе линейных уравнений (47) r ïåðå-
менных (r ранг матрицы системы), определитель матрицы коэффициентов при которых отличен от нуля.
•Подматрица матрицы A матрица, полученная из матрицы A вычеркиванием некоторых строк и/или столбцов.
•Произведение n-мерного вектора на число λ вектор, каждая
компонента получена из соответствующей компоненты исходного вектора умножением на λ.
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
• |
Произведение вектора |
a на число |
λ |
вектор, имеющий длину |
||||
|
− |
|
|
|
|
−, åñëè |
||
|
|λ|| |
a |
| |
, направление которого совпадает с направлением вектора |
a |
|||
|
|
|
|
|
|
|
λ> 0 и противоположно ему, если λ < 0.
•Произведение матрицы A на число λ матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы A на число λ.
•Произведение (согласованных) матриц A размера m × n è B размера n × l матрица размера m × l, каждый элемент cij которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы B.
•Прямоугольная система координат на плоскости две взаимно
перпендикулярных оси, пересекающиеся в точке O начале координат, а также масштаб.
−− − −
•Разложение n-мерного вектора x по базису e1, e2, ... ,en ïðåä-
−
ставление вектора x â âèäå
− |
− |
+x2 |
− |
− |
|
x= x1 |
e1 |
e2 |
+ . . . + xn en, |
(46) |
ãäå x1, x2, ... ,xn действительные числа.
•Размерность линейного простанства максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.
62
|
Разность |
− |
− |
− |
è |
− |
, начала которых совпадают век- |
• |
a |
− b |
векторов a |
|
b |
||
|
|
|
|
|
−
тор, начало которого совпадает с концом вектора b, а конец с концом
−
вектора a.
•Разность матриц A è B одинакового размера матрица того же размера, каждый элемент которой равен разности соответствующих элементов матриц A è B.
•Ранг матрицы наивысший порядок отличных от нуля миноров этой
матрицы. Или, что то же самое, наибольшее число линейно независимых
строк (столбцов) этой матрицы. |
16 |
•Расширенная матрица системы линейных уравнений (47) матрица системы, к которой справа приписан столбец свободных коэффициентов.
•Решение системы линейных уравнений совокупность n чисел (x1 = k1, x2 = k2, ... , xn = kn), при подстановке которых каждое уравнение
системы обращается в верное равенство. |
18 |
•Свободные коэффициенты в системе линейных уравнений (47) числа bi.
•Свободные переменные в системе линейных уравнений (47) переменные не являющиеся основными.
•Система из m линейных уравнений с n переменными (неизвест-
ными) система уравнений вида
a11x1 + a12x2 + . . . |
+a1nxn = b1, |
|
|
a21x1 + a22x2 + . . . |
+a2nxn = b2 |
, |
(47) |
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1x1 + am2x2 + . . . |
+amnxn = bm, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå xj (j = 1, 2, . . . , n) неизвестные, |
à aij, bi (i |
|
= 1, 2, . . . , m, j = |
1, 2, . . . , n) произвольные числа. 18 |
|
|
|
•Система уравнений неопределенная система, имеющая более одного решения. 18
•Система уравнений несовместная система, не имеющая решений. 18
•Система уравнений определенная система, имеющая единствен-
ное решение. 18
•Система уравнений совместная система, имеющая хотя бы одно решение. 18
•Системы уравнений равносильные системы, имеющие одно и то
же множество решений. 18
•Системы уравнений эквивалентные то же, что и системы уравнений равносильные. 18
•Собственное значение квадратной матрицы A, соответствующее собственному вектору X число λ из формулы (48).
•Собственный вектор квадратной матрицы A вектор-столбец X 6= 0
такой, что
AX = λX |
(48) |
для некоторого числа λ.
63
•Степень Am (m = 2, 3, 4, . . .) квадратной матрицы A произведение m матриц, равных A.
•Cтолбец свободных коэффициентов в системе линейных уравнений (47) то же, что матрица-столбец свободных коэффициентов в
системе линейных уравнений (47).
•Сумма n-мерных векторов вектор, каждая компонента которого
|
равна сумме соответствующих компонент исходных векторов. |
|||||
|
|
− |
è − |
|
− |
совпадает с началом |
• |
Сумма векторов a |
b |
таких, что конец вектора a |
|
||
вектора |
− |
|
|
−, à |
||
|
|
|
|
|||
|
b вектор, начало которого совпадает с началом вектора a |
|||||
|
конец с концом вектора |
− |
|
|||
|
b. |
|
•Сумма матриц A è B одинакового размера матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A è B.
•Транспонирование матрицы переход от матрицы A к матрице A0, в которой столбцы и строки поменялись местами с сохранением порядка.
•Уравнение линии на плоскости уравнение вида F (x, y) = 0 такое,
что координаты точек этой линии и только они удовлетворяют этому уравнению. 5
•Характеристическое уравнение квадратной матрицы A уравнение
|A − λE| = 0 с неизвестным λ.
•Частное решение системы линейных уравнений произвольное реше-
ние этой системы. 26 |
|
• Элементы матрицы числа, заполняющие матрицу. |
9 |
•Элементы матрицы диагональные элементы, образующие главную диагональ матрицы. 10
Список литературы
[1]Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман, Высшая математика для экономистов: учебник для вузов; под редакцией Н. Ш. Кремера , ЮНИТИ, М., 2002.
[2]В. П. Минорский, Сборник задач по высшей математике , "Наука", М., 2003.
[3]В. И. Ермаков и др., Общий курс высшей математики для экономистов , ИНФРА-М, Ì., 2002.
[4]M. С. Красс, Математика для экономических специальностей , "Äåëî", Ì., 2003.
[5]M. С. Красс, Б. П. Чупрынов, Математика для экономического бакалавриата , ИНФРА-М, М., 2011.
[6]Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, Высшая математика для экономи- ческого бакалавриата , "Юрайт", М., 2012.
[7]М. Я. Выгодский, Справочник по высшей математике , "ÀÑÒ", Ì., 2010.
[8]М. Я. Выгодский, Справочник по элементарной математике , "ÀÑÒ", Ì., 2009.
[9]Д. В. Клетеник, Сборник задач по аналитической геометрии: учебное пособие для вузов, "Профессия", СПб., 2003.
[10]В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович, Краткий курс высшей математики , "Наука", М., 1986.
[11]С. Н. Мариничева, Линейная алгебра: методические указания и задания для самостоятельной работы , ИЦ ВГМХА, Вологда Молочное, 2009.
64
[12] С. Н. Мариничева, Ю. А. Плотникова, М. Г. Плотников, Е. В. Дурова, Векторная алгебра: методические указания и задания для самостоятельной работы сту-
дентов ВГМХА им. Н.В. Верещагина, изучающих дисциплину ¾Математика¿ , ИЦ ВГМХА, Вологда Молочное, 2012.
65