6.2. Неопределенности

Рассмотрим функции Эти функции являются бесконечно большими при, а функцииявляются бесконечно малыми при.

1). Так как , топредел отношения двух бесконечно больших функций может быть любым; его называют неопределенностью вида

2). Так как то предел произведения бесконечно большой функции на бесконечно малую может быть любым; его называют неопределенностью вида.

3). Так как , то предел разности двух бесконечно больших функций одного знака может быть любым; его называют неопределенностью вида.

6.3. Неопределенность . Второй замечательный предел

.

Число e – иррациональное,

Это соотношение будет справедливо, если заменить натуральное число на действительное числоили на действительное число:

7. Непрерывные функции

7.1. Функции, непрерывные в точке

Пусть функция определена в конечной точкеи её окрестности.

Функция называется непрерывной в точке если.

Рассмотрим свойства функций, непрерывных в точке.

Теорема 7.1 (о приращении непрерывной функции).

Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в точке.

Теорема 7.2 (о непрерывности суммы, произведения, частного).

Сумма, разность, произведение конечного числа непрерывных в точке функций есть функция непрерывная в этой точке.

Частное непрерывных в точке функций есть функция, непрерывная в этой точке, если знаменатель в этой точке отличен от нуля.

Теорема 7.3 (о непрерывности сложной функции).

Пусть функция непрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке. Тогда

а) сложная функция непрерывна в точке,

б) .

Пусть задана функция с областью определенияи множеством значений. Если каждомупоставить в соответствиетакое, что, то это соответствие определяет функцию, называемуюобратной к функциии обозначаемую.

Область определения обратной функции совпадает с множеством значений функции: . Множество значений обратной функции совпадает с областью определения функции :. Для отыскания функции, обратной к функции, нужно выразитьиз уравнения.

Функцию назовем непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Напомним, что функция строго монотонна на интервале, то есть строго возрастает (соответственно строго убывает) на интервале, если для любых двух точекиз этого интервала из неравенстваследует неравенство(соответственно).

Теорема 7.4 (о непрерывности обратной функции).

Пусть функция строго монотонна и непрерывна на интервале. Тогда существует обратная функция , которая будет монотонной и непрерывной на интервале с концами .

Теорема 7.5 (о непрерывности элементарной функции).

Если элементарная функция определена в точке и её окрестности, то она непрерывна в этой точке.

7.2. Точки разрыва функции и их классификация

Из определения функции , непрерывной в точке, следует, что. Это равенство означает выполнение трех условий:

1. функция определена в точкеи ее окрестности,

2. функция имеет предел приили, что равносильно, существуют и равны односторонние пределыи,

3. предел функции приравен значению функции в точке.

Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то точку называютточкой разрыва функции. Выделяют следующие типы точек разрыва.

1. Если в точке разрыва существуютодносторонние конечные пределы функции, тоназывают точкойразрыва первого рода. При этом,

а) если односторонние пределы совпадают,тоназывают

точкой устранимого разрывапервого рода,

б) если односторонние пределы не совпадают,тоназывают

точкой конечного разрывапервого рода (или точкой скачка).

2. Если в точке хотя бы один из односторонних пределов функции

не существует или бесконечен, то называют точкой разрыва второго рода.