Вариант 12

1. Используя свойства векторов, докажите, что сумма квадратов медиан треугольника относится к сумме квадратов его сторон, как 3:4.

2. Найдите единичный вектор , параллельный вектору

3. Проверьте, компланарны ли векторы .

4. Найдите вершины треугольника и уравнения его медиан, если заданы уравнения трех его сторон ;;.

5. Постройте кривую

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Укажите значение λ, при котором плоскости ибудут перпендикулярными.

9. Составьте уравнения прямой, образованной пересечением плоскости с плоскостью, проходящей через ось ординат и точку.

10. Найдите точки пересечения прямой с координатными плоскостями.

11. Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра C (2;-1;3) и точки M(4;1;2) на ней.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Вариант 13

1. AD, BE и CF – медианы треугольника ABC. Докажите равенство .

2. Даны векторы . Вычислите направляющие косинусы вектора

3. При каком значении  векторы будут компланарны, если.

4. Найдите уравнения и длины сторон треугольника, если даны две его вершины А(-1, 1), В(-21, 11) и точка пересечения высот К(-13, -5).

5. Постройте кривую

6. Привести кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям ,.

9. Докажите, что прямая пересекает ось абсцисс.

10. Составьте уравнения прямых, образованных пересечением плоскости с координатными плоскостями.

11. Составьте уравнение сферы, если известно, что точки иявляются концами его диаметра.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Вариант 14

1. Векторы иявляются медианами треугольникаABC. Выразите векторы черези.

2. Проверьте, что точки А(2; 4; 1), В(3; 7; 5), С(4; 10; 9) лежат на одной прямой.

3. Вычислите где

4. Найдите координаты вершин треугольника, если заданы уравнения двух его сторон ,и двух его высот:,.

5. Постройте кривую .

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно к двум плоскостям:

9. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости

10. Докажите параллельность прямых и

11. Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра C (-1;1;3) и то, что плоскость 4x – 3y + 6 = 0 касается сферы.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Вариант 15

1. В параллелограмме ABCD известны векторы . Выразите через них векторы, еслиМ - точка пересечения диагоналей параллелограмма.

2. Для заданных векторов вычислите, если а)б)

3. Даны векторы . В базисе из этих векторов найдите координаты вектора.

4. Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны две вершины треугольника А (-1, -1), В (-21, 9) и точка пересечения его медиан М (35/3; 1/3).

5. Постройте кривую

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Определите двугранный угол, образованный пересечением плоскостей

9. Вычислите кратчайшее расстояние между прямыми

10. Составьте уравнения проекции прямой на плоскость.

11. Составьте уравнение сферы, если известно, что точки лежат на сфере.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.