Интерполяционные формулы Ньютона

Часто интерполирование ведется для функций, заданных равномерными сетками, т.е. шаг таблицы постоянен. Ограничимся рассмотрением интерполяционных формул Ньютона для этого случая.

Введем понятие конечных разностей.

Пусть функция задана таблицей с постоянным шагом:

x	y				….
x0 x1 x2 x3 x4 … xn	y0 y1 y2 y3 y4 … yn	….	….	….	….. …..	……

Разности между значениями функции в соседних узлах называются конечными разностями первого порядка:

.

Из конечных разностей первого порядка можно получить конечные разности второго порядка:

– это разность между двумя соседними разностями первого порядка.

Здесь

и

.

(Индекс «разности» идет по младшему индексу: ).

Теперь определим конечные разности третьего порядка:

.

Разностей последующего порядка на одну меньше, чем предыдущего. Имея n+1 значенийy, можно получить разности доn-го порядка включительно. Т.е.kв таблице равноn.

Конечные разности любого порядка могут быть представлены через значения функции. Выразим конечные разности второго и третьего порядка через значения функции:

т.е.

Для конечных разностей третьего порядка:

т.е.

Существует формула

,

где .

Найдем с помощью этой формулы, например :

, что мы и получали выше.

Первая интерполяционная формула Ньютона

Будем искать интерполяционный многочлен в виде:

Это многочлен n-ой степени. Согласно условию интерполяции должно быть:

.

Отсюда

.

,

т.е.

.

Отсюда

.

Далее,

,

отсюда

.

Т.е.

.

Аналогично, из того, что найдем. Вообще,

Конечная разность нулевого порядка, по определению, есть само значение функции:

.

Искомый многочлен примет вид:

Введем вместо переменной xпеременнуюt:

………………………….

тогда

Это перваяинтерполяционная формула Ньютона.

Она применяется, когда точка x, в которой необходимо найти приближенное значение функции, находится в начале отрезка интерполяции (рис. 2):

Рис. 2

В качестве точки x₀берется ближайшая кxточка таблицы слева. Точки, правее той, которую взяли заx₀, перенумеровываются.

Значение функции в точке x₀и точках правее нее используются для нахождения конечных разностейи т.д. Поэтому точек в таблице, правее той, которую мы взяли заx₀, должно быть достаточно, чтобы построить полином нужной степени. Используются точки «впереди»x, поэтому первую интерполяционную формулу Ньютона называют формулой для интерполирования «вперед».

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Когда xближе к концу отрезка интерполяции, формула интегрирования «вперед» может не позволить построить полином нужной степениn – может не хватить узлов для расчета конечных разностей вплоть доn-го порядка (впереди слишком мало узлов). В этом случае лучше использовать узлы слева от точкиx. Для этого используется формула интерполирования «назад» – вторая интерполяционная формула Ньютона (рис. 3).

Рис. 3

Интерполяционный полином будем искать в виде:

Из условий интерполирования , отсюда.

,

отсюда

,

т.е.

.

Аналогично, из условия можно получить, что

.

Вообще,

,

и полином будет

Введем переменную , тогда

……………………………….

тогда

Это вторая интерполяционная формула Ньютона, «назад».