8.2 Программное обеспечение
Пакеты MathCAD, Maple, Mathematica.
8.3 Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы
При проведении практических занятий и подготовке к аудиторным занятиям источниками информации могут служить Интернет-ресурсы.
9. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
9.1 Общие требования
Аудитории, оборудованные мультимедийной техникой. Компьютерный класс с установленными пакетами MathCAD, Maple, Mathematica.
9.2 Сведения об оснащенности дисциплины специализированным и лабораторным оборудованием
Имеются аудитории, оснащенные мультимедийной техникой и компьютерами с необходимым программным обеспечением.
10. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
10.1 Рекомендации для преподавателя
Содержание курса и распределение часов курса разрабатывается лектором по темам и видам работ и определяется Федеральным государственным образовательным стандартом для направления или специальности. Содержание курса должно учитывать особенности профилизации в рамках направления.
10.2 Рекомендации для студента
Для освоения дисциплины необходимо знать основы курсов «Математический анализ» и «Информатика», уметь писать программы на алгоритмическом языке, знать, как минимум, основные алгоритмы программирования. Иметь минимальные навыки работы с одним из прикладных пакетов - MathCAD, Maple, Mathematica. В процессе освоения курса студенту предлагается решить порядка пятнадцати задач. Для решения каждой задачи необходимо написать программу (на языке Си, Паскаль, любом - доступном студенту), в которой будет реализован тот или иной численный метод. Для понимания алгоритма и тестирования программы можно пользоваться Методическими указаниями «Решение задач по численным методам» а также примерами из литературы. Для получения допуска к зачету необходимо решить все задачи, предлагаемые на практических занятиях. Для подготовки по теоретической части курса кроме рекомендованной литературы могут быть использованы интернет-источники.
10.3 Перечень контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы.
Найдите относительную погрешность приближенного значения 2,72 для числа e. У приближенных чисел a = 3,540 и b = 0,02 все значащие цифры верные. Найдите относительные погрешности этих чисел.
Дана таблица значений функции
.
-
x
1,5
1,6
1,7
y
4,48
4,95
5,47
Постройте
интерполяционный полином Лагранжа и
найдите значение функции в точке
.
Оцените погрешность интерполяции.
Сколько узлов интерполяции необходимо,
чтобы построить полином Лагранжа 6-ой
степени?
Построить кубический сплайн для функции
,
заданной таблицей:
-
x
-1
0
1
2
y
0.5
1
2
4
Построить кубический сплайн для функции
,
заданной таблицей:
-
x
1
3
5
7
y
3
-2
4
-3
Для уравнений
и
найти отрезки, где отделены корни, при
этом определить их так, чтобы для
уточнения корней были применимы методы
хорд и Ньютона.Отделите корни уравнений
и
так, чтобы на отрезках, где отделены
корни, выполнялись условия метода
хорд. Запишите соответствующие формулы
с конкретными значениями для первых
двух итераций.Какой из концов отрезка [a; b] следует выбрать в качестве начального приближения в методе Ньютона, если
,
и
?Сколько итераций необходимо сделать, чтобы найти корень уравнения
с точностью
методом бисекции на отрезке [0; 1]
?В каких случаях метод Ньютона не определен?
Покажите, что метод хорд можно применить для нахождения корня уравнения
на отрезке [0.5; 2].Сформулируйте достаточные условия сходимости итерационного процесса при нахождении корня уравнения.
Докажите, что если определить функцию
по формуле
,
где
,
знак
совпадает
со знаком
на отрезке [a;
b],
то уравнение
эквивалентно уравнению
и функция
удовлетворяет достаточному условию
сходимости.Почему итерационные методы являются самоисправляющимися ?
Напишите достаточное условие сходимости метода итераций для метрики
Какое из условий сходимости должно выполняться, чтобы скорость сходимости метода Зейделя была выше, чем метода простых итераций?
Напишите достаточное условие сходимости метода итераций для метрики
Методом итераций Зейделя решить систему уравнений:
Вычислить определитель матрицы
с помощью прямого хода метода Гаусса. Написать программный код на алгоритмическом языке. Проверить программу на данном примере.
19. Найти собственные значения и собственные вектора матрицы
20. Какое из трех неравенств
а).
б).
в).
используется для оценки погрешности численного дифференцирования по «центральной» формуле ?
21.
Если значения функции y(x)
рассчитываются с погрешностью
,
то оптимальный шаг численного
дифференцирования по «центральной»
формуле следует определять из соотношения:a).
б).
в).
.
(Выберите правильный ответ).
Как изменится оптимальный шаг численного дифференцирования в «центральной» формуле, если погрешность
,
с которой рассчитываются значения
функцииy(x),
уменьшится в восемь раз?Какими методами можно вычислить интеграл
?Завышенное или заниженное значение интеграла
будет получено методом левых
прямоугольников?Найдите минимальное число частей n, на которое необходимо разбить отрезок интегрирования, чтобы найти интеграл
с точностью
по формуле средних прямоугольников.Найдите минимальное число частей n, на которое необходимо разбить отрезок интегрирования, чтобы найти интеграл
с точностью
по формуле правых прямоугольников.Если четвертая производная подынтегральной функции f(x) неизвестна, то по какой формуле можно оценить погрешность численного интегрирования методом Симпсона?
Полиномом какой степени отрезке длиной
аппроксимируется подынтегральная
функция при расчете интеграла по
формуле Симпсона?Для полинома какой степени квадратурная формула Гаусса с n узлами дает точный результат?
Для полинома какой степени квадратурная формула Чебышева с n узлами дает точный результат?
Какими методами можно вычислить интеграл
?Используя метод Эйлера и метод серединных точек на отрезке [1; 1,2] найти численное решения дифференциального уравнения
y = x2 + y2
удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1 и оценить погрешность решения при x = 1,2.
Используя метод Рунге-Кутта четвертого порядка на отрезке [1; 1,2] найти численное решения дифференциального уравнения
y = x2 + y2,
удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1. Оценить погрешность решения при x = 1,2. Отрезок [1; 1,2] разбить на такое же число частей n, как в предыдущей задаче. Сравнить результаты.
Почему в методе Рунге-Кутта интеграл на отрезке [xi; xi+1] вычисляется различными методами, а затем в качестве результата берется среднее значение?
35. В результате измерений получена таблица функции
-
x
x1, x2, … …xn
F(x)
y1, y2, ……….yn
Необходимо
аппроксимировать функцию F(x)
прямой
с помощью метода наименьших квадратов.
Выведите формулы для вычисления
коэффициентовa
и b.
36.
Решение линейного уравнения переноса
ищется в ограниченной области, заданной
в полярной системе координат
.
Построить разностные схемы: а) явную;
б) неявную.
37. Решить задачу
а) аналитически;
б) численно, при этом убедиться, что явная схема условно устойчива, а неявная - безусловно устойчива.
38.
Найти численно наибольшее и наименьшее
значения функции
в
области ее определения.
39. Найти минимум функции двух переменных
методом
градиентного спуска. Параметры
выбрать произвольно.
40. Найти минимум функции
методами
покоординатного спуска и градиентного
спуска с точностью
.