Пп 26 однородные и неоднородные дифференциальные уравнения (олду и нлду) с постоянными коэффициентами

1. Решение олду второго порядка с постоянными коэффициентами

Корни характеристического уравнения	Вид общего решения
1. - действительные, разные.
2. - действительные, равные, кратность 2.
3. - комплексные.
4.

№ п/п	ЗАДАЧИ ПП 26 1. Решение ОЛДУ второго порядка	Ответ
№ 1	Найдите решение ОЛДУ . Решение: .
№ 2	Найдите решение ОЛДУ . Решение:
№ 3	Найдите решение ОЛДУ . Решение: ,.

2. Олду n-го порядка с постоянными коэффициентами ,,

Корни характеристического уравнения	Вклад указанных корней в общее решение ДУ
1. Действительные, разные
2. Действительные, кратности
3. Комплексные, разные
4. Комплексные, кратности

№ п/п	ЗАДАЧИ ПП 26 2. Решение ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами	Ответ
№ 3	Решите уравнение . Решение: Характеристическое уравнение: , откуда,. Частные решения имеют вид: , . Общее решение имеет вид: .

3.Решение нлду второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов

	Корни характеристического уравнения	Вид
1.	а) 0 – не корень б) 0 – корень кратности r (r =1,2)
2.	а) – не корень б) – корень кратностиr (r =1,2)
3.	а) – не корень б) – корень
4.	а) – не корень б) – корень	, , .
5.	а) – не корень б) – корень кратностиr (r =1,2)	,

Здесь Q и M – многочлены с неизвестными коэффициентами.

№ п/п	ЗАДАЧИ ПП 26 3. Решение НЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов	Ответ
№ 4	Найдите решение НЛДУ . Решение: 1) Находим общее решение соответствующее однородного уравнения. ОЛДУ . Ищем решение в виде . Подстановка в уравнение дает характеристическое уравнение для k: , корни характеристического уравнения , фундаментальная система решений однородного уравнения ,; общее решение однородного уравнения является их линейной комбинацией. 2) Находим частное решение исходного неоднородного уравненияметодом неопределенных коэффициентов. Правая часть уравнения имеет вид , характеристическое число для правой частии не совпадает с корнями характеристического уравнения и, частное решение ищем в виде , где А неизвестный коэффициент, . Подстановка ив уравнение дает:, откуда, частное решение НЛДУ: . 3) Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и любого частного решения исходного неоднородного уравнения: .
№ 5	Решите ДУ , если. Решение: 1) ОЛДУ и. 2) , . . откуда и. 3) , . 4) При , . Частное решение НЛДУ имеет вид: .
№ 6	Решите уравнение . Решение: 1) ,,,. 2) :. ; ; ; ; 3) .
№ 7	Найдите решение НЛДУ . Решение: 1) .. . 2) является корнем характеристического уравнения: , , . Подстановка в уравнение дает: , откуда , . 3) .
№ 8	Найдите общее решение дифференциального уравнения . Решение: НЛДУ - 3-го порядка с постоянными коэффициентами. 1) .. , , ,; . 2) Правая часть уравнения имеет вид , характеристическое число для правой частии совпадает с корнем характеристического уравнениякратности 1, частное решение ищем в виде . Для определения неизвестных коэффициентов А, В, С подставляем решение и , , в исходное уравнение: . Группируем члены в левой части по степеням х: . Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х: . Частное решение неоднородного уравнения имеет вид . 3) Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и любого частного решения исходного неоднородного уравнения = .
№ 9	Найдите общее решение дифференциального уравнения . Решение: 1) Находим общее решение однородного уравнения. , , ,. Общее решение однородного уравнения: . 2) Находим частное решение неоднородного уравнения. Поскольку характеристическое число для правой части совпадает с решением характеристического уравнения= 2 кратности 1, частное решение ищем в виде: . , , . Подставим эти выражения в исходное уравнение: . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, найдем систему линейных уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов: . Частное решение неоднородного уравнения имеет вид . 3) Общее решение исходного неоднородного уравнения: =.
№ 10	Найдите общее решение дифференциального уравнения . Решение: 1) Находим общее решение неоднородного уравнения. , - действительный корень кратности 2. . 2) Находим частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения: . Характеристическое число для правой части является комплексным, , оно не совпадает с корнями характеристического уравнения. Частное решение ищем в виде: . Подставим в уравнение функцию и , : . Приравняем коэффициенты при и: ,. Частное решение : . 3) Общее решение неоднородного уравнения: =.