ПП_27_Диф_Ур 4

ПП 27 системы дифференциальных уравнений

№ п/п	ЗАДАЧИ ПП 27 1. Метод исключения неизвестных		Ответ
№ 1	Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений . Решение: Метод исключения неизвестных позволяет свести систему дифференциальных уравнений для двух неизвестных функций и к одному дифференциальному уравнению 2-го порядка для одной из этих функций. Дифференцируя первое уравнение системы и заменяя у с помощью второго уравнения системы, получим Выразим у из первого уравнения системы , подставим в предыдущее уравнение, получим - НЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Решим НЛДУ методом неопределенных коэффициентов. 1) Находим общее решение соответствующего однородного уравнения: . Характеристическое уравнение с корнями , . . 2) Находим частное решение уравнения. . Подставляя это решение в уравнение, находим неопределенный коэффициент А: , т.е. . 3) Общее решение уравнения имеет вид: . Вторую неизвестную функцию получаем из формулы . Общее решение системы имеет вид: Для решения задачи Коши подставим начальные условия в систему. При этом возникает система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов и , . Решение задачи Коши:
№ 2	Найдите решение системы Решение: Продифференцируем первое уравнение: ; подставим из второго уравнения: ; получим НЛДУ второго порядка для : . Его решение , , , , , , , . .
№ 3	Решите систему Решение: Дважды продифференцируем первое уравнение , подставим во второе , , , , .
№ 4	Найдите решение системы: Решение: Перепишем систему в других обозначениях: где , . Продифференцируем первое уравнение , подставим значение из второго уравнения, тогда , , откуда и . Из первого уравнения найдем .
№ 5	Найдите решение системы Решение: . Корни действительные, разные: , , , .
2. Метод интегрируемых комбинаций
№ 6		Решите систему: . Решение: Складывая почленно уравнения системы, получаем , . Вычитая уравнения, получаем , , , . Из системы получаем решение в виде:
№ 7		Решите систему: . Решение: Составим интегрируемые комбинации: Решением системы является линия пересечения поверхностей:

5