Пп № 3. Системы линейных уравненИй основные определения и формулы Системы n линейных уравнений с n неизвестными

В матричной форме система имеет вид , где

, , .

Правило Крамера

Если главный определитель системы линейных уравнений , то есть матрица А имеет обратную , то система имеет, и притом единственное решение

,

или, в покомпонентной записи,

, ,

где - определители, получаемые из главного определителя системы заменой -го столбца на столбец свободных членов:

, ,… .

Системы m линейных уравнений с n неизвестными

,

- расширенная матрица системы, - основная матрица системы, - столбец неизвестных, - столбец свободных членов.

Система линейных уравнений называется неоднородной, если матрица не является нульматрицей , и называется однородной, если .

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения, и называется несовместной - в противном случае. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

Теорема КронекераКапелли

Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы:

.

Если то система решений не имеет.

Eсли , то возможны два случая:

1) (числу неизвестных)  решение единственное и может быть получено по формулам Крамера;

2)  решений бесконечно много.

Схема отыскания решения системы m линейных уравнений с n неизвестными в случае бесконечного числа решений, если и

1) Из коэффициентов матрицы системы выберем любой отличный от нуля минор порядка

в качестве базисного,

– базисные неизвестные, а – свободные неизвестные.

2) Перенесем свободные неизвестные в правую часть уравнений системы:

3) Найдем решение этой системы по формулам Крамера или матричным способом.

При этом базисные неизвестные выражаются через свободные.

Если свободные неизвестные принимают значения , то общее решение неоднородной системы имеет вид:

,

здесь система вектор-столбцов

называется фундаментальной системой решений. Фундаментальная система решений получается из общего решения, если свободным неизвестным придавать поочередно значение 1, полагая остальные равными 0.

Однородные системы

.

Однородная система всегда совместна ( ), так как имеет тривиальное решение .

Для того чтобы однородная система имела ненулевое (нетривиальное) решение, необходимо и достаточно, чтобы = .

Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными

имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы .

Если , то заведомо , возникают свободные неизвестные , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.

Общее решение при имеет вид:

и совпадает с соответствующим общим решением неоднородной системы при .

Метод последовательных исключений Жордана-Гаусса решения систем m линейных уравнений с n неизвестными Эквивалентные преобразования системы:

1) перемена местами двух любых уравнений системы;

2) умножение любого уравнения системы на произвольное число ;

3) прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на произвольное число .

Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.

Элементарным преобразованиям уравнений соответствуют элементарные преобразования элементов расширенной матрицы системы .

С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов расширенная матрица системы может быть приведена к виду

,

и система принимает вид:

_.

Если хотя бы одно из чисел , …., отлично от нуля, то система несовместна.

Если =….= = 0, то система совместна и выражения для базисных неизвестных через свободные очевидны.

Сформулируем алгоритм Жордана-Гаусса как преобразование строк матрицы к верхнему треугольному виду, которое позволяет не только вычислить ранги матриц и , но и записать решение системы.

ПП №3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИй
№ п/п	Задание	Ответ
ПП 3.№1.	Решите систему линейных уравнений матричным методом РЕШЕНИЕ: , , ,
ПП 3.№2.	Решите систему РЕШЕНИЕ: , , , , по теореме Кронекера – Капелли система несовместна.	несовместна
ПП 3.№3.	Решите систему линейных уравнений и ответьте на вопросы об этой системе. РЕШЕНИЕ: , , , . По формулам Крамера , , и . Данная система линейных уравнений: 1) однородна - нет; 2) неоднородна - да; 3) основная матрица системы имеет ранг, равный единице - нет; 4) основная матрица системы имеет ранг, равный двум - нет; 5) основная матрица системы имеет ранг, равный трем - да; 6) основная матрица системы имеет ранг больше трех - нет; 7) ранг прямой матрицы системы не равен рангу ее расширенной матрицы - нет; 8) ранг прямой матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы - да; 9) система несовместна - нет; 10) система совместна - да; 11) может быть решена методом Крамера - да; 12) может быть решена методом Гаусса - да; 13) имеет базисный минор первого порядка - нет; 14) имеет базисный минор второго порядка - нет; 15) имеет базисный минор третьего порядка - да; 16) имеет базисный минор более третьего порядка - нет; 17) имеет одно базисное неизвестное - нет; 18) имеет два базисных неизвестных - нет; 19) имеет более двух базисных неизвестных - да; 20) не имеет свободных неизвестных - да; 21) имеет одно свободное неизвестное - нет; 22) имеет более двух свободных неизвестных - нет; 23) решений не имеет - нет; 24) имеет единственное решение - да;
ПП 3.№4.	Решите систему линейных уравнений РЕШЕНИЕ: Запишем расширенную матрицу системы . Если , то неизвестные можно найти по формулам Крамера: , , , . Вычислим основной определитель матрицы системы разложением по элементам первой строки: Чтобы получить определитель , заменим в первый столбец столбцом свободных членов Аналогично вычисляем и : , , . Отсюда , , , , .
ПП 3.№5.	Решите систему линейных уравнений РЕШЕНИЕ: Запишем расширенную матрицу системы . Ранг основной матрицы системы равен единице и совпадает с рангом расширенной матрицы системы, следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система линейных уравнений совместна. Она равносильна уравнению: . В качестве базисного неизвестного выберем , остальные неизвестные считаем свободными. При , , , выразим базисное неизвестное через эти параметры: . Итак, .
ПП 3.№6.	Решите систему линейных уравнений РЕШЕНИЕ: Запишем расширенную матрицу системы В левом верхнем углу матрицы стоит треугольный определитель , его можно считать базисным минором. Ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен трем и равен рангу ее расширенной матрицы, следовательно, система совместна по теореме Кронекера – Капелли. Для удобства продолжим преобразования матрицы и приведем базисный минор не только к треугольному, но и к диагональному виду. С помощью преобразований получим: . Восстановим по полученной матрице решение системы уравнений: Базисный минор содержит базисные неизвестные , , . Свободными являются неизвестные . Придадим свободным неизвестным значения и перенесем их в правую часть уравнений:
ПП 3.№7.	Решите систему линейных уравнений РЕШЕНИЕ: Воспользуемся методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы: . В левом верхнем углу стоит треугольный определитель третьего порядка , значит ранг прямой матрицы системы равен 3, равен рангу ее расширенной матрицы, и система совместна. Чтобы получить ее решение, получим нули под главной диагональю базисного минора с помощью преобразования : Восстановим по матрице решение системы уравнений при : .
ПП 3.№8.	Решите систему линейных уравнений РЕШЕНИЕ: Запишем расширенную матрицу системы уравнений . Система несовместна, так как ранг основной матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы. Убедимся, что ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы. Чтобы не работать с дробями, проделаем вспомогательное преобразование : . Таким образом, элемент = 1, что удобно для вычислений. С помощью преобразования , получим . Ранг прямой матрицы равен 3, так как она содержит минор третьего порядка и не содержит отличных от нуля определителей большего порядка. Ранг расширенной матрицы равен 4, так как она содержит минор четвертого порядка. Следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система несовместна.	несовместна
ПП 3.№9.	Решите систему уравнений и ответьте на вопросы об этой системе. РЕШЕНИЕ: Ранг основной матрицы системы равен двум и совпадает с рангом расширенной матрицы системы, следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система линейных уравнений совместна. В качестве базисных неизвестных выберем , а z считаем свободным. Система, равносильная исходной имеет вид . При , , . Данная система линейных уравнений: 1) однородна - да; 2) неоднородна - нет; 3) основная матрица системы имеет ранг, равный единице - нет; 4) основная матрица системы имеет ранг, равный двум - да; 5) основная матрица системы имеет ранг, равный трем - нет; 6) основная матрица системы имеет ранг больше трех - нет; 7) ранг прямой матрицы системы не равен рангу ее расширенной матрицы - нет; 8) ранг прямой матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы - да; 9) система несовместна - нет; 10) система совместна - да; 11) может быть решена методом Крамера - нет; 12) может быть решена методом Гаусса - да; 13) имеет базисный минор первого порядка - нет; 14) имеет базисный минор второго порядка - да; 15) имеет базисный минор третьего порядка - нет; 16) имеет базисный минор более третьего порядка - нет; 17) имеет одно базисное неизвестное - нет; 18) имеет два базисных неизвестных - да; 19) имеет более двух базисных неизвестных - нет; 20) не имеет свободных неизвестных - нет; 21) имеет одно свободное неизвестное - да; 22) имеет более двух свободных неизвестных - нет; 23) решений не имеет - нет; 24) имеет единственное решение - нет; 25) имеет бесконечно много решений - да.
ПП 3.№10.	Решите систему РЕШЕНИЕ: Рассмотрим матрицу системы: . Следовательно, . Выберем и в качестве базисных неизвестных и запишем преобразованную систему: Полагая , , где и  произвольные числа, получаем общее решение однородной системы в виде: .
ПП 3.№ 11.	Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы уравнений: Матрица коэффициентов имеет ранг r=2 (проверьте!). Выберем в качестве базисного минор . Тогда укороченная система имеет вид откуда, полагая , , , находим Общее решение системы Из общего решения находим фундаментальную систему решений , , . С использованием фундаментальной системы общее решение может быть записано в виде: .

25