ПП_24_Диф_Ур 1

ПП 24 дифференциальные уравнения (ДУ)

I. ДУ первого порядка

1. Решения ДУ первого порядка

Вид уравнения	Тип уравнения	Метод решения
1.	с разделяющимися переменными	непосредственное интегрирование
2.	однородное	, ,
3.	обобщенное однородное
4.	линейное по
5.	линейное по
6.	Бернулли
7.	уравнение в полных дифференциалах	интегрирование системы

№ п/п	ЗАДАЧИ ПП 24 1. ДУ с разделяющимися переменными	Ответ
№ 1	Найдите решение ДУ . Решение: , , , , , . Решение ДУ: ,.	,
№ 2	Найдите общий интеграл дифференциального уравнения . Решение: Группируем члены, содержащие dx и dy: , , - уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим: , , . Общий интеграл ДУ: .
	2. Однородные ДУ первого порядка
№ 3	Найдите общий интеграл дифференциального уравнения . Решение: Поделив числитель и знаменатель правой части на , получаем однородное уравнение . Подставим: ; , . Получим для : , - уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя, получаем . С учетом подстановки находим: . Общий интеграл ДУ: =С.
№ 4	Найдите решение ДУ . Решение: , , , , , , , , . Решение ДУ: .
№ 5	Найдите решение ДУ . Решение: ДУ – обобщенное однородное. Найдем и при преобразовании координат: , . , , . ДУ принимает вид: Решим однородное ДУ при . . при , . Подстановкой в предыдущее уравнение убеждаемся, что значения и являются частными решениями уравнения. Кроме того . Общий интеграл: . В старых переменных общее решение имеет вид: , , . Частные решения , и получаются из общего при и .
	3. Линейные ДУ первого порядка
№ 6	Найдите решение ДУ ,. Решение: ДУ – линейное по . Ищем решение в виде:, , , . ДУ для : , , , . ДУ для : , , . Общее решение: .
№ 7	Найдите решение задачи Коши для ДУ , . Решение: ДУ – линейное по , . Ищем решение в виде: ; при этом . Уравнение примет вид: , . Найдем любое нетривиальное частное решение уравнения с разделяющимися переменными для : . Его общее решение: . Выберем С = 0, тогда . Подставим в уравнение, первое слагаемое обратится в ноль, получим уравнение с разделяющимися переменными для : . Интегрируя, получаем . Общее решение уравнения имеет вид . Учитывая начальное условие , получаем , . Решение задачи Коши имеет вид .
№ 8	Решите задачу Коши . Решение: ДУ – линейное по х (у): , Ищем решение в виде:; . Уравнение принимает вид , . Находим любое нетривиальное частное решение уравнения с разделяющимися переменными для : , например, . Подставим в уравнение, первое слагаемое обратится в ноль, получим уравнение с разделяющимися переменными для : . . Вычислим ; , откуда . Аналогично, . , Общее решение уравнения имеет вид: . Учитывая начальное условие , имеем , . Решение задачи Коши имеет вид: или .
	4. ДУ Бернулли
№ 9	Найдите решение ДУ . Решение: Умножим на : . Сделаем замену переменной: , тогда , . Ищем решение в виде: , , , . ДУ для : , , , . ДУ для : , , , , . Общее решение: .
№ 10	Найдите решение задачи Коши , . Решение: Сразу ищем решение в виде: ; . Имеем , . (1) Найдем любое частное решение уравнения с разделяющимися переменными для : . Его общее решение: . Выберем С = 0, получим, , . Подставляем в уравнение, первое слагаемое обращается в ноль, получаем уравнение с разделяющимися переменными для : . (2) , т.е. . Общее решение уравнения: . (3) Учитывая начальное условие, получаем , . При разделении переменных в уравнении для было потеряно решение , кроме общего решения имеется частное решение , но оно не удовлетворяет начальному условию. Заметим, что решение следует из общего решения при . Значит, - единственное решение задачи.
	5. ДУ в полных дифференциалах
№ 11	Решите ДУ . Решение: Уравнение имеет вид , , . 1) Вычислим , , , . 2) , 3) , 4) . 5) , , , 6) . Общий интеграл ДУ: .
№ 12	Найдите общий интеграл уравнения . Решение: Уравнение имеет вид , причем , . Представим Р и Q в виде , , , решение будет иметь вид . Для определения u имеем систему уравнений . Интегрируя первое уравнение системы, получаем , . Для определения неизвестной функции подставляем найденное решение во второе уравнение системы: . Интегрируя это уравнение с разделяющимися переменными, получаем . Подставим полученную функцию в решение для : . Общий интеграл уравнения: .
№ 13	Решите ДУ . Решение: (поиск особого решения ДУ) , , . . , . , , , , . – огибающие, которые удовлетворяют ДУ и являются особыми решениями.