3. Единственность предела сходящейся последовательности

Последовательность называется сходящейся, если существует число, к которому она сходится, т.е.Иногда удобно записывать определение сходимости последовательностив следующих эквивалентных первоначальному видах:вне окрестностилежит конечное число элементов последовательности.

Теорема. Если последовательность сходится, то ее предел единственный.

Доказательство (от противного). Пусть . Возьмем, тогдапо выбору, с другой стороны, по определению сходимости, для

Следовательно, для , что означает непустоту этого пересечения. Получено противоречие.

4. Ограниченность сходящейся последовательности.

Последовательность называетсяограниченной, если. Это означает, чтоили что множествоможно накрыть отрезком.

Замечание.Ясно, что последовательностьбудет ограниченной, если ее можно накрыть отрезком, начиная с некоторого номера. (Вне отрезкаможет лежать лишь конечное число элементов последовательности, следовательно, и всю последовательность можно накрыть некоторым отрезком, где).

Теорема.Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство.Пустьи. Тогда, по определению сходимости, существует номертакой, что для всех. Следовательно,, и поэтому. Итак, позамечанию, последовательностьограничена.

5. Сохранение знака сходящейся последовательности

Теорема.Если последовательность сходится к числу, то вся последовательностьлежит вне окрестности нуля(радиус а/2), начиная с некоторого номера.(Другая формулировка теоремы:a_na>0,тогда)

Доказательство.Достаточно взять. Тогда, по определению предела, найдется, что для всех, следовательно,

6.Теорема о переходе к пределу в неравенстве для двух последовательностей.

Свойство 3.2.4. Если для всехn и , тоДоказательство. Пусть, напротив, . Зададим. Тогда по определению сходимости

Следовательно, для выполняются соотношения

что противоречит условию теоремы.

7.Теорема о трех последовательностях.

Теорема. Если для всехn и ,то

Доказательство. Проверим, что выполняется определение сходимости последовательности к числу. Возьмем любое, тогда из условияследует, чтоиз условияследует, чтоПоэтому для всехвыполняются неравенстваследовательно,.

Пример 3.2.1.Докажем, что. Действительно, для любого, получим

Следовательно,.

8. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

Последовательность называетсябесконечно малой, если при. Развернутое определение:

Последовательность называетсябесконечно большой, если Этот факт будем записывать так:приили

Теорема 3.3.1.Последовательность является бесконечно малой последовательностью тогда и только тогда, когда последовательностьявляется бесконечно большой.

Доказательствоследует из того факта, что неравенстворавносильно неравенству, и определений бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. (Берем)

9.Свойства бесконечно малых последовательностей.

Свойство 1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей иесть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Возьмем произвольное . Для негоТогда

Свойство 2. Произведение бесконечно малой последовательностина ограниченную последовательностьесть бесконечно малая последовательность. Доказательство. Из ограниченности следует существование числатакого, что для всех. Следовательно, при любом положительномдля положительногосуществует номертакой, что для всех. Поэтому для этихn>N имеем. Следовательно, по определению Коши,при.

Свойство 3. Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы существовали числои бесконечно малая последовательностьтакие, что для всехвыполнялось равенство.

Доказательство. Необходимость. Пусть при. Рассмотрим, тогда из определения сходимостиследует, чтопри.

Достаточность. Если , то из того, что- бесконечно малая последовательность иследует, чтопри.