Матан, Лекции - Теляковский 1

moskowskij gosudarstwennyj uniwersitet

IMENI m.w.lomonosowa mEHANIKO-MATEMATI^ESKIJ FAKULXTET

s. a. tELQKOWSKIJ

kurs lekcij

po matemati~eskomu analizu I SEMESTR

MocKWA 2002 GOD

moskowskij gosudarstwennyj uniwersitet

IMENI m.w.lomonosowa mEHANIKO-MATEMATI^ESKIJ FAKULXTET

s. a. tELQKOWSKIJ

kURS LEKCIJ PO MATEMATI^ESKOMU ANALIZU. I SEMESTR

kURS PREDSTAWLQET SOBOJ NESKOLXKO SOKRA]ENNOE (IZ-ZA OGRANI- ^ENIQ OB_EMA) IZLOVENIE LEKCIJ, ^ITAEMYH AWTOROM NA MEHANIKO- MATEMATI^ESKOM FAKULXTETE mgu.

~TOBY OBLEG^ITX WOSPRIQTIE MATERIALA W^ERA[NIMI [KOLXNI- KAMI, OB]NOSTX W IZLOVENII NARASTAET POSTEPENNO.

pREDNAZNA^AETSQ DLQ STUDENTOW, A TAKVE PREPODAWATELEJ MATE- MATI^ESKIH SPECIALXNOSTEJ KLASSI^ESKIH UNIWERSITETOW I WUZOW S POWY[ENNYM KURSOM MATEMATIKI.

rECENZENT | PROFESSOR a. m. sEDLECKIJ

c mEHANIKO-MATEMATI^ESKIJ FAKULXTET mgu, 2002 G.

wWEDENIE

nASTOQ]IJ KURS NAPISAN NA OSNOWE LEKCIJ, ^ITAW[IHSQ AWTO- ROM.

bOLEE 15 LET AWTOR ^ITAL LEKCII PO MATEMATI^ESKOMU ANALIZU W mfti. tOGDA PRI RAZRABOTKE KURSA ZA OSNOWU BYL WZQT U^EBNIK s. m. nIKOLXSKOGO \kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA". rAZUMEETSQ, ISPOLXZOWALISX I DRUGIE ISTO^NIKI. w PERWU@ O^EREDX \kURS DIF- FERENCIALXNOGO I INTEGRALXNOGO IS^ISLENIQ" g. m. fIHTENGOLXCA I \kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA" l. d. kUDRQWCEWA.

s 1996 GODA AWTOR ^ITAET KURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA NA ME- HANIKO-MATEMATI^ESKOM FAKULXTETE mgu. zNA^ITELXNOE, PO^TI NA 30 PROCENTOW UWELI^ENIE ^ISLA LEKCIONNYH ^ASOW, IZMENENIE PRO- GRAMMY I EE AKCENTOW PRIWELI K SU]ESTWENNYM IZMENENIQM SO- DERVANIQ KURSA. pRI \TOJ PERERABOTKE BOLX[U@ POMO]X OKAZAL t. p. lUKA[ENKO, KOTORYJ PREDOSTAWIL AWTORU SWOI ZAPISI LEKCIJ. |TO POWLIQLO NA WYBOR MATERIALA I PODHODY K EGO IZLOVENI@.

kURS SOSTOIT IZ 4 WYPUSKOW, SOOTWETSTWU@]IH I, II, III I IV SEMESTRAM.

dLQ SOKRA]ENIQ ZAPISI ISPOLXZU@TSQ SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ. 8 | \DLQ KAVDOGO DLQ L@BOGO DLQ WSEH" (\TO PEREWERNUTAQ

NA^ALXNAQ BUKWA ANGLIJSKOGO All),

9 | \SU]ESTWUET NAJDETSQ" (\TO PEREWERNUTAQ NA^ALXNAQ BUKWA ANGLIJSKOGO Exist),

: | \TAKOJ, ^TO TAKIE, ^TO", := | \OBOZNA^IM",

) | \SLEDUET",

, | \RAWNOSILXNO".

pOQSNIM UPOTREBLENIE SIMWOLA ). eSLI A I B | NEKOTORYE UTWERVDENIQ, TO ZAPISX A ) B OZNA^AET \IZ A SLEDUET B".

w MATEMATIKE ^ASTO ISPOLXZU@TSQ TERMINY \DOSTATO^NOE USLO- WIE", \NEOBHODIMOE USLOWIE". pRI \TOM SLOWA DOSTATO^NOSTX I NE- OBHODIMOSTX IME@T TAKOJ VE SMYSL, KAK W OBYDENNOJ RE^I: ESLI A ) B, TO USLOWIE A QWLQETSQ DOSTATO^NYM, DLQ TOGO ^TOBY IMELO MESTO B, A B NEOBHODIMO DLQ WYPOLNENIQ A.

sIMWOL A , B QWLQETSQ OB_EDINENIEM SIMWOLOW ) I (. zAPISX A , B OZNA^AET, ^TO IZ A SLEDUET B, A IZ B SLEDUET A. dRUGI- MI SLOWAMI, USLOWIE A QWLQETSQ NEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM DLQ WYPOLNENIQ B, A USLOWIE B NEOBHODIMO I DOSTATO^NO DLQ WYPOLNE-

NIQ A.
mART 2002 G.	s. a. tELQKOWSKIJ

3

gLAWA 1

dejstwitelxnye ~isla

x 1.1. bESKONE^NYE DESQTI^NYE DROBI

rACIONALXNYE ^ISLA (W ^ASTNOSTI, CELYE ^ISLA) I IH SWOJST- WA S^ITA@TSQ IZWESTNYMI IZ [KOLY. rACIONALXNYE ^ISLA MOVNO SRAWNIWATX (T.E. DLQ NIH WWEDENY PONQTIQ \BOLX[E" I \MENX[E"), NAD NIMI OPREDELENY ARIFMETI^ESKIE DEJSTWIQ.

nO RACIONALXNYH ^ISEL NEDOSTATO^NO DAVE DLQ NUVD \LEMEN- TARNOJ MATEMATIKI. tAK, DLINA DIAGONALI KWADRATA SO STORONOJ 1 RAWNA p2, A \TO ^ISLO IRRACIONALXNOE, T.E. NE RACIONALXNOE. nE QWLQETSQ RACIONALXNYM I ^ISLO , WYRAVA@]EE DLINU OKRUVNOSTI DIAMETRA 1.

nAPOMNIM OPREDELENIE ^ISLOWOJ PRQMOJ. nA PRQMOJ, KOTORU@ S^ITA@T RASPOLOVENNOJ GORIZONTALXNO, WYBIRA@T NA^ALXNU@ TO^- KU O I EDINICU DLINY | OTREZOK OE, OTLOVENNYJ WPRAWO OT TO^KI O. tO^KE O STAWITSQ W SOOTWETSTWIE ^ISLO 0, TO^KE E | ^ISLO 1. oTKLADYWAQ WPRAWO OT TO^KI E [AG ZA [AGOM EDINI^NYJ OTREZOK, POLU^IM TO^KI, SOOTWETSTWU@]IE NATURALXNYM ^ISLAM 2 3 : : : , A OTKLADYWAQ EDINI^NYJ OTREZOK WLEWO OT TO^KI O, | TO^KI, SOOT- WETSTWU@]IE CELYM OTRICATELXNYM ^ISLAM.

zATEM STROQTSQ TO^KI, SOOTWETSTWU@]IE RACIONALXNYM ^ISLAM. ~TOBY POLU^ITX TO^KU, SOOTWETSTWU@]U@ POLOVITELXNOMU RACIO- NALXNOMU ^ISLU m=n, OTKLADYWAEM m RAZ WPRAWO OT TO^KI O OT- REZOK, DLINA KOTOROGO RAWNA 1=n. tO^NO TAKVE DLQ OTRICATELXNYH RACIONALXNYH ^ISEL NAHODIM SOOTWETSTWU@]IE IM TO^KI SLEWA OT TO^KI O.

tAKIM OBRAZOM, KAVDOMU RACIONALXNOMU ^ISLU POSTAWLENA W SO- OTWETSTWIE TO^KA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ. nO PRI \TOM NE WSEM TO^KAM ^ISLOWOJ PRQMOJ SOOTWETSTWU@T RACIONALXNYE ^ISLA. nAPRIMER, TAK BUDET DLQ TO^KI, LEVA]EJ SPRAWA OT O NA RASSTOQNII p2.

w \TOJ GLAWE BUDET POKAZANO, KAK MOVNO POPOLNITX RACIONALX- NYE ^ISLA, ^TOBY KAVDOJ TO^KE ^ISLOWOJ PRQMOJ SOOTWETSTWOWALO ^ISLO, A KAVDOMU ^ISLU | TO^KA NA PRQMOJ.

tAKOE POPOLNENIE MOVNO OSU]ESTWITX RAZNYMI SPOSOBAMI. mY SDELAEM \TO NA BAZE BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ. |TOT PUTX BYL O^ENX OSTOROVNO NAME^EN W [KOLE.

nA^NEM S POSTROENIQ BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI, SOOTWET- STWU@]EJ ZADANNOJ TO^KE A NA ^ISLOWOJ PRQMOJ.

pUSTX TO^KA A RASPOLOVENA SPRAWA OT TO^KI O I NE OTWE^AET NATURALXNOMU ^ISLU. nAJDEM CELYE ^ISLA a0 I a0 + 1 TAKIE, ^TO

4

TO^KA A LEVIT MEVDU NIMI. w KA^ESTWE CELOJ ^ASTI BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI, SOOTWETSTWU@]EJ TO^KE A, BEREM a0.

pOSLE \TOGO PROMEVUTOK MEVDU TO^KAMI a0 I a0 + 1 DELIM NA 10 RAWNYH ^ASTEJ I PRIPISYWAEM \TIM ^ASTQM SLEWA NAPRAWO CIF- RY OT 0 DO 9. sREDI \TIH PROMEVUTKOW DLINY 1/10 NAHODIM TOT, WNUTRI KOTOROGO NAHODITSQ TO^KA A (SLU^AJ, KOGDA A OKAZYWAETSQ ODNOJ IZ TO^EK DELENIQ, OBSUDIM POZDNEE) I W KA^ESTWE PERWOGO DE- SQTI^NOGO ZNAKA ISKOMOJ DROBI BEREM CIFRU, PRIPISANNU@ \TOMU PROMEVUTKU. pRODOLVAQ \TOT PROCESS (W PREDPOLOVENII, ^TO A NE QWLQETSQ TO^KOJ DELENIQ), POLU^IM BESKONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX, SOOTWETSTWU@]U@ TO^KE A.

rASSMOTRIM TEPERX SLU^AJ, KOGDA NA TO^KU A POPALA ODNA IZ TO^EK DELENIQ. pUSTX, NAPRIMER, BUDET SITUACIQ KAK NA RISUNKE:

0	1	2		9
a0		A				a +1
				0

tO^KAM, LEVA]IM WBLIZI TO^KI A SPRAWA, MY W KA^ESTWE PER- WOGO DESQTI^NOGO ZNAKA PRIPISALI CIFRU 2, A LEVA]IM SLEWA | CIFRU 1. pO POWODU SAMIH TO^EK DELENIQ NUVNO DOGOWORITXSQ, K KA- KOMU PROMEVUTKU MY IH OTNOSIM: LEVA]EMU SPRAWA ILI LEVA]EMU SLEWA. eSLI TO^KI DELENIQ OTNOSITX K PRAWYM PROMEVUTKAM, TO DLQ TO^KI A NA RISUNKE POLU^IM a0 2, A WSE OSTALXNYE DESQTI^NYE ZNA- KI | NOLI, T.E. POLU^IM a0 2000 : : : . eSLI TO^KI DELENIQ OTNOSITX K LEWYM PROMEVUTKAM, TO DLQ TO^KI A POLU^IM a0 1, A WSE OSTALXNYE DESQTI^NYE ZNAKI | DEWQTKI, T.E. POLU^IM a0 1999 = a0 1(9).

w ZAWISIMOSTI OT DOGOWORENNOSTI, OTNOSITX TO^KI DELENIQ K PRAWYM ILI K LEWYM PROMEVUTKAM, DLQ TO^EK ^ISLOWOJ PRQMOJ, SOOTWETSTWU@]IH NATURALXNYM ^ISLAM, TAKVE POLU^IM DWE BESKO- NE^NYE DESQTI^NYE DROBI. u ODNOJ IZ NIH WSE DESQTI^NYE ZNAKI NOLI, A U DRUGOJ CELAQ ^ASTX NA EDINICU MENX[E, A WSE DESQTI^NYE ZNAKI | DEWQTKI.

dLQ TO^EK, LEVA]IH NA ^ISLOWOJ PRQMOJ SLEWA OT TO^KI O, PI- [EM PERED DROBX@ ZNAK MINUS, A ZATEM ANALOGI^NYM OBRAZOM NA- HODIM ^ISLA a0 a1 a2 : : : , OPREDELQ@]IE SOOTWETSTWU@]U@ BESKO- NE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX ;a0 a1a2 : : : .

|TI RASSUVDENIQ POKAZYWA@T, ^TO DLQ WSEH TO^EK ^ISLOWOJ PRQ- MOJ (KROME NA^ALXNOJ TO^KI O), KOTORYE PRI UKAZANNOM POSTROENII POPADA@T NA TO^KI DELENIQ, WOZMOVNY DWE ZAPISI | S NOLEM W PE- RIODE, T.E. W WIDE CELOGO ^ISLA ILI KONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI, ILI S DEWQTKOJ W PERIODE. dLQ OSTALXNYH TO^EK BESKONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO.

5

~TOBY KAVDOJ TO^KE ^ISLWOJ PRQMOJ SOOTWETSTWOWALA EDINST- WENNAQ BESKONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX, USLAWLIWA@TSQ NE RAZLI^ATX POLU^A@]IESQ PRI NA[EM POSTROENII DROBI S 0 I S 9 W PERIODE. oBY^NO W KAVDOM RASSUVDENII ISPOLXZU@T DROBI TOLXKO S NOLEM ILI TOLXKO S DEWQTKOJ W PERIODE.

pOSTAWIM OBRATNU@ ZADA^U | DLQ ZADANNOJ BESKONE^NOJ DESQ- TI^NOJ DROBI a0 a1a2 : : : NAJTI SOOTWETSTWU@]U@ EJ TO^KU NA ^I- SLOWOJ PRQMOJ.

pO ZNAKU DROBI I ^ISLU a0 NAHODIM DWA IDU]IH PODRQD CELYH ^ISLA, MEVDU KOTORYMI DOLVNA RASPOLAGATXSQ ISKOMAQ TO^KA. zA- TEM, RAZBIW PROMEVUTOK MEVDU \TIMI TO^KAMI NA 10 RAWNYH ^ASTEJ, PO ZNA^ENI@ a1 MOVNO UKAZATX TOT IZ POLU^IW[IHSQ PROMEVUTKOW DLINY 1=10, KOTOROMU DOLVNA PRINADLEVATX NA[A TO^KA.

pRODOLVAQ \TO POSTROENIE [AG ZA [AGOM, POLU^IM POSLEDOWA- TELXNOSTX PROMEVUTKOW, KAVDYJ IZ KOTORYH SODERVITSQ W PREDY- DU]EM, A DLINA EGO W 10 RAZ MENX[E. iSKOMAQ TO^KA DOLVNA PRI- NADLEVATX WSEM \TIM PROMEVUTKAM.

nO OBQZATELXNO LI SU]ESTWUET TAKAQ TO^KA, MY SEJ^AS NE ZNA- EM. w DALXNEJ[EM BUDET USTANOWLEN POLOVITELXNYJ OTWET NA \TOT WOPROS.

wSE SKAZANNOE O BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBQH SLEDUET RAS- SMATRIWATX KAK NAWODQ]IE SOOBRAVENIQ K TOMU, ^TOBY NAZWATX ^IS- LAMI BESKONE^NYE DESQTI^NYE DROBI.

oPREDELENIE. dEJSTWITELXNYMI (WE]ESTWENNYMI) ^ISLAMI NA-

ZYWA@TSQ BESKONE^NYE DESQTI^NYE DROBI a0 a1a2 : : : , GDE WY- BRAN OPREDELENNYJ ZNAK: \+" ILI \;", a0 | NATURALXNOE ^IS- LO ILI NOLX, A WSE DESQTI^NYE ZNAKI a1 a2 : : : | CIFRY OT 0 DO 9. pRI \TOM DROBX a0 a1 : : : am(9) S^ITAETSQ RAWNOJ DROBIa0 a1 : : : am;1d00 : : : , U KOTOROJ m-YJ DESQTI^NYJ ZNAK d RAWEN am + 1.

dEJSTWITELXNYE ^ISLA BUDEM OBOZNA^ATX BUKWAMI I PISATX a =a0 a1a2 : : : , OPUSKAQ OBY^NO PRI \TOM ZNAK +. ~ISLO 0 ZAPISYWA@T KAK DESQTI^NU@ DROBX 0 00 : : : , KOTORU@ MOVNO SNABDITX I ZNAKOM

+ I ZNAKOM ;, NO OBY^NO \TOJ DROBI ZNAK NE PRIPISYWA@T.

pRI ZAPISI ^ISEL a b c : : : W WIDE BESKONE^NYH DESQTI^NYH DRO- BEJ DLQ OBOZNA^ENIQ DESQTI^NYH ZNAKOW BUDEM ISPOLXZOWATX \TI VE BUKWY S INDEKSAMI. tAKIM OBRAZOM,

a = a0 a1a2 : : : b = b0 b1b2 : : : c = c0 c1c2 : : : :

dLQ KAVDOGO ^ISLA a = a0 a1a2 : : : OPREDELQETSQ ^ISLO ;a, KO- TOROE OTLI^AETSQ OT a TOLXKO ZNAKOM, T.E. ;a := a0 a1a2 : : : . nA

6

mn , GDE m |

^ISLOWOJ PRQMOJ TO^KI, SOOTWETSTWU@[IE ^ISLAM a I ;a, RASPOLA- GA@TSQ SIMMETRI^NO DRUG DRUGU OTNOSITELXNO NA^ALXNOJ TO^KI O. wYQSNIM, KAK SOOTNOSQTSQ RACIONALXNYE I DEJSTWITELXNYE ^IS-

LA.

rACIONALXNYE ^ISLA PREDSTAWIMY W WIDE DROBI CELOE ^ISLO, A n | NATURALXNOE.

bUDEM DLQ OPREDELENNOSTI S^ITATX, ^TO m > 0. eSLI RAZDELITX m NA n \UGOLKOM", TO POLU^IM LIBO KONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX, KOTORU@ MOVNO ZAPISATX W WIDE BESKONE^NOJ DROBI S 0 W PERIODE, LIBO BESKONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX, KOTORAQ OBQZATELXNO BUDET PE- RIODI^ESKOJ.

w SAMOM DELE, W \TOM SLU^AE OSTATKAMI PRI DELENII NA n MOGUT BYTX TOLXKO ^ISLA 1 2 : : : n ;1. rASSMOTRIM OSTATKI, KOTORYE PO- LU^A@TSQ PRI DELENII m NA n POSLE TOGO, KAK WSE ZNA^A]IE CIFRY ^ISLA m UVE SNESENY. |TI OSTATKI RANO ILI POZDNO NA^NUT POWTO- RQTXSQ, ZNA^IT, BUDUT POWTORQTXSQ I DESQTI^NYE ZNAKI.

tAKIM OBRAZOM, KAVDOE RACIONALXNOE ^ISLO MOVET BYTX PRED- STAWLENO BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ PERIODI^ESKOJ DROBX@.

wERNO I OBRATNOE UTWERVDENIE: KAVDAQ BESKONE^NAQ DESQTI^NAQ PERIODI^ESKAQ DROBX RAWNA OTNO[ENI@ mn CELOGO ^ISLA m K NA- TURALXNOMU ^ISLU n. w \TOM MOVNO UBEDITXSQ, NAPRIMER, S POMO- ]X@ FORMULY SUMMY ^LENOW BESKONE^NOJ GEOMETRI^ESKOJ PROGRES- SII. wPRO^EM, \TU FORMULU NELXZQ PRIZNATX AKKURATNO DOKAZANNOJ W [KOLXNYH U^EBNIKAH, TAK KAK EE WYWOD OSNOWYWALSQ NA NAIWNO- INTUITIWNYH PREDSTAWLENIQH O PREDELAH. wO WTOROJ GLAWE BUDET DANO POLNOE DOKAZATELXSTWO UKAZANNOJ FORMULY.

iTAK, RACIONALXNYE ^ISLA I TOLXKO ONI PREDSTAWIMY BES- KONE^NYMI DESQTI^NYMI PERIODI^ESKIMI DROBQMI. iRRACIONALX- NYE ^ISLA ZAPISYWA@TSQ BESKONE^NYMI DESQTI^NYMI NEPERIODI- ^ESKIMI DROBQMI. pRIMERAMI TAKIH DROBEJ MOVET SLUVITX DROBX 0 1010010001 : : : (KOLI^ESTWO NOLEJ MEVDU CIFRAMI 1 KAVDYJ RAZ

UWELI^IWAETSQ NA ODIN) ILI DROBX, WYRAVA@]AQ p2.

tEPERX NEOBHODIMO OPREDELITX SRAWNENIE DEJSTWITELXNYH ^ISEL I ARIFMETI^ESKIE DEJSTWIQ NAD NIMI. pRI \TOM BUDEM OPIRIATX- SQ NA SWOJSTWA SRAWNENIQ RACIONALXNYH ^ISEL I ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIJ NAD NIMI.

w DALXNEJ[EM TAM, GDE \TO NE MOVET WYZWATX NEDORAZUMENIJ, DEJSTWITELXNYE ^ISLA BUDEM NAZYWATX PROSTO ^ISLAMI.

x 1.2. sRAWNENIE ^ISEL

rASSMOTRIM ^ISLO a = a0 a1a2 RAWNY NUL@, TO NE IMEET ZNA^ENIQ,

: : : . eSLI WSE ^ISLA a0 a1 a2 : : :

KAKOJ ZNAK STOIT PERED DROBX@,

7

^ISLO a NAZYWA@T NULEM I PI[UT a = 0.

pUSTX TEPERX SREDI ^ISEL a0 a1 a2 : : : ESTX HOTQ BY ODNO, OT- LI^NOE OT NULQ. tOGDA ESLI PERED DROBX@ STOIT ZNAK +, ^ISLO a NAZYWA@T POLOVITELXNYM I PI[UT a > 0. a ESLI PERED DROBX@ STOIT ZNAK ;, ^ISLO a NAZYWA@T OTRICATELXNYM I PI[UT a < 0.

oPREDELENIE. mODULEM (ILI ABSOL@TNOJ WELI^INOJ) ^ISLA a = a0 a1a2 : : :

NAZYWAETSQ ^ISLO

jaj := a0 a1a2 : : : :

tAKIM OBRAZOM, MODULX ^ISLA LIBO POLOVITELEN, LIBO RAWEN NU- L@ I, ESLI a > 0, TO jaj = a, A ESLI a < 0, TO jaj = ;a.

dLQ RACIONALXNYH ^ISEL OPREDELENIE MODULQ IZWESTNO IZ [KO- LY.

oPREDELIM SRAWNENIE ^ISEL. bUDEM S^ITATX, ^TO PRI ZAPISI BES- KONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ MY POLXZUEMSQ KAKOJ-LIBO ODNOJ FOR- MOJ ZAPISI | ILI S 0, ILI S 9 W PERIODE.

oPREDELENIE. oTLI^NYE OT NULQ ^ISLA a = a0 a1a2 : : : I b =b0 b1b2 : : : NAZYWA@T RAWNYMI, ESLI ONI IME@T ODINAKOWYE ZNAKI I DLQ WSEH k = 0 1 2 : : : WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA ak = bk.

w \TOM SLU^AE PI[UT a = b, A W PROTIWNOM SLU^AE PI[UT a 6= b.

oPREDELIM DLQ ^ISEL NERAWENSTWA. nAPOMNIM, ^TO DLQ SLU^AQ, KOGDA ODNO IZ ^ISEL RAWNO NUL@, NERAWENSTWA BYLI WWEDENY WY[E.

oPREDELENIE. pUSTX ^ISLA a I b NE RAWNY MEVDU SOBOJ. tOGDA 1 : ESLI ^ISLA a I b POLOVITELXNY, TO GOWORQT, ^TO a MENX[E b

I PI[UT a < b, ESLI a0 < b0, ILI ESLI DLQ NEKOTORGO k = 0 1 2 : : : ,

IMEEM a0 = b0 a1 = b1 : : : ak = bk I ak+1 < bk+1

2 : ESLI ODNO IZ ^ISEL POLOVITELXNO, A WTOROE OTRICATELXNO, TO OTRICATELXNOE ^ISLO MENX[E POLOVITELXNOGO

3 : ESLI OBA ^ISLA a I b OTRICATELXNY, TO a < b, ESLI jbj < jaj. eSLI a < b, TO GOWORQT, ^TO b BOLX[E a I PI[UT b > a.

iZ \TOGO OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO ESLI a < b, TO ;a > ;b. pRI SRAWNENII RACIONALXNYH ^ISEL \TI OPREDELENIQ DA@T TOT

VE REZULXTAT, ^TO I PRI PREVNEM OPREDELENII, KOGDA DLQ POLOVI- TELXNYH DROBEJ m=n I p=q PISALI m=n < p=q, ESLI mq < np. mY NE BUDEM OSTANAWLIWATXSQ NA DOKAZATELXSTWE \TOGO FAKTA.

nARQDU SO STROGIMI NERAWENSTWAMI < I > ISPOLXZU@TSQ NESTRO- GIE NERAWENSTWA 6 I >. zAPISX a 6 b OZNA^AET, ^TO ILI a < b ILI

8

a = b. pOLXZUQSX ZNAKOM NESTROGOGO NERAWENSTWA, LEGKO STROITX OT- RICANIE DLQ STROGOGO NERAWENSTWA. tAK, OTRICANIEM UTWERVDENIQ a < b QWLQETSQ a > b.

sFORMULIRUEM SWOJSTWA ^ISEL, SWQZANNYE S NERAWENSTWAMI (PER- WAQ GRUPPA SWOJSTW DEJSTWITELXNYH ^ISEL).

I.1. dLQ L@BYH DWUH ^ISEL a I b IMEET MESTO I PRITOM TOLXKO ODNO IZ SOOTNO[ENIJ: a < b, a = b ILI a > b.

dRUGIMI SLOWAMI: ESLI ^ISLA RAZLI^NY, TO ODNO IZ NIH MENX[E DRUGOGO.

sWOJSTWO I.1 NAZYWA@T UPORQDO^ENNOSTX@ DEJSTWITELXNYH ^I- SEL.

sWOJSTWO UPORQDO^ENNOSTI WYTEKAET SRAZU IZ OPREDELENIQ SRAW- NENIQ ^ISEL.

I.2. eSLI a < b I b < c, TO a < c. eSLI a = b I b = c, TO a = c.

|TI SWOJSTWA NAZYWA@TSQ TRANZITIWNOSTX@ ZNAKOW < I =. tRANZITIWNOSTX ZNAKA = SLEDUET SRAZU IZ OPREDELENIQ RAWENST-

WA.

dOKAVEM TRANZITIWNOSTX ZNAKA <. pUSTX SNA^ALA a > 0. tOGDA ^ISLA b I c POLOVITELXNY.

pREDSTAWIM ^ISLA a b c BESKONE^NYMI DESQTI^NYMI DROBQMI a = a0 a1a2 : : : b = b0 b1b2 : : : c = c0 c1c2 : : :

ISPOLXZUQ KAKU@-LIBO ODNU FORMU ZAPISI: S 0 ILI S 9 W PERIODE. tAK KAK a < b, TO SU]ESTWUET INDEKS k TAKOJ, ^TO ai = bi DLQ

i = 0 1 : : : k;1 I ak < bk. tO^NO TAKVE SU]ESTWUET INDEKS l TAKOJ,

^TO bj = cj DLQ j = 0 1 : : : l ; 1 I bl < cl.

pUSTX m := min(k l), T.E. m { MENX[EE IZ ^ISEL k I l. tOGDA

ai = bi = ci DLQ i = 0 1 : : : m ;1 I WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA am 6 bm I bm 6 cm, PRI^EM PO KRAJNEJ MERE ODNO IZ \TIH NERAWENSTW

QWLQETSQ STROGIM. tAK KAK ^ISLA am bm I cm { CELYE, TO POLXZUQSX TRANZITIWNOSTX@ ZNAKA < DLQ CELYH ^ISEL, WIDIM, ^TO am < cm,

T.E. a < c.

pUSTX TEPERX a < 0. eSLI c 6 0, TO b < 0 I DLQ MODULEJ ^ISEL a, b I c IMEEM jaj > jbj I jbj > jcj. zNA^IT, PO UVE DOKAZANNOMU jaj > jcj, OTKUDA a < c.

eSLI VE a < 0 I c > 0, TO a < c PO OPREDELENI@. |TIM ZAKAN^I- WAETSQ DOKAZATELXSTWO SWOJSTWA I.2.

zNAK 6 TAKVE OBLADAET SWOJSTWOM TRANZITIWNOSTI: ESLI a 6 b I b 6 c, TO a 6 c. |TO SLEDUET IZ TRANZITIWNOSTI ZNAKA <.

I.3. dLQ KAVDOGO ^ISLA a SU]ESTWUET NATURALXNOE ^ISLO n TAKOE, ^TO n > a.

9

|TO SWOJSTWO NAZYWA@T ARHIMEDOWYM. pRI OPREDELENII DEJST- WITELXNYH ^ISEL KAK BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ SWOJSTWO I.3 O^EWIDNO: ESLI a = a0 a1a2 : : : , TO W KA^ESTWE n MOVNO WZQTX a0 +2. wMESTE S TEM, ARHIMEDOWO SWOJSTWO SU]ESTWENNO PRI AKSIOMATI^ES- KOM PODHODE K OPREDELENI@ DEJSTWITELXNYH ^ISEL.

dOKAVEM NESKOLXKO PROSTYH UTWERVDENIJ, SWQZANNYH SO SRAW- NENIEM DEJSTWITELXNYH ^ISEL S KONE^NYMI DESQTI^NYMI DROBQMI.

tEOREMA 1.2.1. pUSTX a I b | PROIZWOLXNYE ^ISLA I a < b. tOGDA SU]ESTWUET KONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX TAKAQ, ^TO a < < b.

dOKAZATELXSTWO. sNA^ALA BUDEM S^ITATX ^ISLO a NEOTRICATELX- NYM.

pUSTX W PREDSTAWLENIQH a = a0 a1a2 : : : , b = b0 b1b2 : : : NE ISPOLX- ZUETSQ 9 W PERIODE. nAJDEM NAIMENX[IJ NOMER k TAKOJ, ^TO ak < bk, I NOMER m > k TAKOJ, ^TO am < 9. lEGKO PROWERITX, ^TO W KA^ESTWEMOVNO WZQTX KONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX a0 a1 : : : am;1d, U KOTO- ROJ m-YJ DESQTI^NYJ ZNAK d RAWEN am + 1.

eSLI a I b IME@T RAZNYE ZNAKI, TO MOVNO WZQTX = 0. a ESLI ^ISLO b NEPOLOVITELXNO, TO NAHODIM KONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBXTAKU@, ^TO jbj < < jaj, I POLAGAEM := ; .

tEOREMA DOKAZANA.

tEOREMA 1.2.2. dLQ L@BOGO ^ISLA a PRI KAVDOM NATURALXNOM n SU]ESTWUET KONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX n S n ZNAKAMI POSLE ZAPQTOJ TAKAQ, ^TO

n 6 a 6 n + 10;n:

(1.2.1)

dOKAZATELXSTWO. eSLI ^ISLO a NEOTRICATELXNO, TO DLQ KAVDOGO n

IMEEM

a0 a1 : : : an 6 a 6 a0 a1 : : : an + 10;n

I MOVNO WZQTX n := a0 a1 : : : an. dLQ OTRICATELXNOGO a = ;a0 a1a2

: : : IMEEM ;a0 a1 : : : an ;10;n 6 a 6 ;a0 a1 : : : an I POLAGAEM n := := ;a0 a1 : : : an ; 10;n.

dROBI n I n + 10;n, UDOWLETWORQ@]IE NERAWENSTWAM (1.2.1), NAZYWA@T n-MI DESQTI^NYMI PRIBLIVENIQMI ^ISLA a SOOTWET- STWENNO S NEDOSTATKOM I S IZBYTKOM. dLQ KRATKOSTI W DALXNEJ[EM DROBI n, BUDEM NAZYWATX n-MI DESQTI^NYMI PRIBLIVENIQMI ^IS- LA a (NE OTME^AQ, ^TO \TO PRIBLIVENIQ S NEDOSTATKOM).

lEMMA 1.2.3. pUSTX a < b I n, n | n-YE DESQTI^NYE PRIBLIVENIQ ^ISEL a I b. tOGDA SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO k, ^TO DLQ WSEH n > k WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO

n ; n > 10;k:

(1.2.2)

10