13. Критерий Коши сходимости последовательности.

Из определения сходимости последовательности к точкевытекает, что для любогоинтервалом длинойможно накрыть всю эту последовательность, исключая, может быть, конечное число ее элементов, если середину интервала поместить в точку. Справедливо и обратное: если последовательностьтакова, что для любогоможно накрыть всю эту последовательность, исключая, может быть, конечное число ее элементов, поместив центр интервала в некоторую точку, то она сходится. Сформулируем это утверждение более точно. Последовательностьназовемпоследовательностью Коши или фундаментальной, если (здесь центр интервала длинойпомещен в точку, см. рис.).

Теорема (критерий Коши).Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.

Необходимость(метод). Пустьпри. Тогда для любогосуществует номертакой,что для любыхвыполняются неравенства. Рассмотрим цепочку соотношений

что означает, чтофундаментальна.

Достаточность.Докажем сначала ограниченность последовательности. Возьмем, тогда, в силу фундаментальности, найдется номертакой, что для всехвыполняется. Следовательно,, поэтому. Итак, для всехпри фиксированномвыполняется, что означает ограниченность последовательности(следует из замечания: последовательностьбудет ограниченной, если ее можно накрыть отрезком, начиная с некоторого номера). Потеореме Больцано-Вейерштрассаоб ограниченных последовательностях из последовательностиможно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу. Докажем, что и вся последовательностьсходится к числу. Возьмем любое, тогда найдется номер(изфундаментальности) такой, что для всехвыполняется. Ввиду сходимостипри, по взятомунайдется номертакой, чтои. Тогда для нашего

что означает сходимость последовательности к числу.

14.Теорема о существовании точных границ числовых множеств.

Множество называетсяограниченным сверху, если существует числотакое, что для всех. Числоназываетсяверхней границей(мажорантой) множества.

Точной верхней границеймножестваназывается числотакое, что

1) (т.е.-- одна из верхних границ множества);

2) (т.е. границумножестванельзя уменьшить).

Точная верхняя граница множества обозначается. Аналогично определяется точная нижняя граница множества, которую обозначают:

1) (т.е.-- одна из нижних границ множества);

2) (т.е. границумножестванельзя увеличить).

Теорема.Если непустое множество действительных чисел ограничено сверху, то существует точная верхняя граница этого множества.

Доказательство(метод Больцано - метод деления отрезка пополам). Пустьи множествоограничено сверху числом. Рассмотрим отрезок, заметим, что правеенет точек из. Разделим отрезок на два равных отрезка и обозначимсамый правый из них, содержащий хотя бы одну точку из, т. е. правеенет точек из. Так же поступим с отрезком, получим отрезок, содержащий хотя бы одну точку из, правее которого нет точек из. Продолжив этот процесс по индукции, получим последовательность отрезков, длины которых. При этом при любомправеенет точек из. На основании принципа вложенных отрезков(Пусть задана система вложенных отрезков на, т. е. таких, чтои длины отрезковпри. Тогда существует, и притом единственная, точка, одновременно принадлежащая всем отрезкам) существует единственная точка, лежащая во всех отрезках системы.

Докажем, что . В самом деле, по построению для всехи для всехвыполняется неравенство. Тогда, переходя к пределу в этом неравенстве при, получим (используя то, что) неравенство. Возьмем теперь любое. Тогда (так как и) существует номертакой, чтолежит левее отрезка. При этом влежит хотя бы одна точка, т.е. выполняется неравенство. Следовательно,.

Будем считать в дальнейшем, что если множество неограничено сверху, то, если неограничено снизу, то.