35. Первое правило Лопиталя.

Теорема (Лопиталя). Пусть функции и :дифференцируемы в выколотой окрестности точки для всех существует предел, конечный или бесконечный, Тогда существует и предел и имеет место равенство 

Доказательство проведем для случая Функции и непрерывны на некотором интервале как дифференцируемые на нем функции. Доопределим функции и в точке : . Таким образом, они становятся непрерывными на отрезке . Возьмем любое , тогда на отрезке функции и удовлетворяют условиям теоремы Коши о среднем значении ( Пусть функции и: 1) непрерывны на отрезке2) дифференцируемы на интервале3) производнаяво всех точках интервала. Тогда существует такая точка, что имеет место ), поэтому существует точкатакая, что Заметим, что , иначе по теореме Ролля в некоторой точке . Ясно, что и здесь при . Поэтому, по правилу вычисления предела сложной функции, имеем 

Пример 1)

2)3)

36. Теорема Тейлора.

Формула Тейлора для многочлена. Пусть дан некоторый многочлен -й степени (с действительными коэффициентами) . Зададим произвольное и проведем преобразования, заменив на . Получим  Собрав подобные члены при одинаковых степенях, находим  Это есть разложение многочлена по степеням разности . Дифференцируя его по , получим  Итак, вычислены коэффициенты  Следовательно, многочлен можно представить в видеЭто есть формула Тейлора для многочлена в окрестности точки . -- многочлен Тейлора степени от функции . Если степень многочлена Тейлора для есть , то

Пример. Разложим многочлен по степеням , т. е. в окрестности точки :или по-другому: Тогда многочлен Тейлора степени для естьЗамечание. В этом примере 

Формула Тейлора для произвольной функции. Если у функциисуществует, но функция не есть многочлен, то для нее можно записать многочлен Тейлораи остаточный член , который,вообще говоря,не нуль.Равенствов некоторой окрестности точки называется формулой Тейлора функции в окрестности точки ; -- многочлен Тейлора степени функции , -- -й остаточный член формулы Тейлора.

Теорема (Тейлора). Пусть функция имеет -ю производную в выколотой окрестности точки и в самой точке имеет непрерывную -ю производную. Тогда справедлива формула Тейлорагде ее -й остаточный член может быть записан в форме Лагранжа:и в форме Коши:Доказательство проведем для Фиксируем (см. рис.).

Запишем формулу Тейлора функции :

в которой -- остаточный член. Пусть -- произвольное натуральное число. Представим остаточный член в видегде - неизвестно. Ясно, что зависит от Введем новую переменную и рассмотрим функциюФункция обладает следующими свойствами:1) определена и непрерывна на отрезке , поскольку таковы функции на отрезке ;2) имеет производную на интервале , так как на нем имеет производную -го порядка функция ; 3)так как имеет место формула Тейлора для функции . Кроме того, .Следовательно, функция удовлетворяет на отрезке условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая промежуточная точка , между точками и , что в ней .Выпишем производную после всех сокращений и упрощений . Так как , то получим уравнение Отсюда найдем Следовательно, с учетом того, что остаточный член запишется в виде Получен остаточный член в общей формеПри получаем остаточный член в форме Лагранжа, а при -- остаточный член в форме Коши.

Замечание. 1. Формулу Тейлора можно записать в виде

2. Формулу Тейлора функции в окрестности точки :

иногда называют формулой Тейлора - Маклорена функции . Остаточные члены

3. Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную -го порядка, непрерывную в точке (следовательно, производная -го порядка непрерывна в окрестности точки ). Тогда справедлива формула Тейлора функции в окрестности точки с остаточным членом в форме Лагранжа:Таким образом, - остаточный член в форме Пеано.

Формулы Тейлора основных элементарных функций

1. , , , .Получим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:и в форме Пеано:

Пример. Вычислим число и оценим погрешность вычисления:

Замечание. С помощью формулы Тейлора можно вычислять довольно точно значения функций и оценивать величину ошибки, если остаточный член берется в форме Лагранжа. Используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, такую оценку сделать невозможно (из нее следует лишь, что при и при фиксированном ). 2. и т. д., Следовательно, получим формулу Тейлора - Маклорена:для любых фиксированных . Но особенно быстро остаточный член стремится к при .

В частном случае

Пример.Необходимо рассмотреть  Здесь понадобится формула Тейлора 

Следовательно,