Chast_8_Teoria_polya
.pdfВариант 24
Задача 1.24. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению вектора I.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
yz |
|||||
u |
|
|
|
|
, I 2i k , M (4,1, 2). |
||||
|
|
x |
|
|
|||||
|
y |
y |
|
|
Задача 2.24. Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z)
|
|
|
y |
3 |
|
|
4z |
3 |
|
xy |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
в точке М, где v 9 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|||||||||||
2x3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, u |
|
, M |
,2, |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 2 |
3 |
|
z3 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Задача 3.24. Найти векторные линии в векторном поле a ,a 9zi 4xk. Задача 4.24. Найти поток векторного поля a через часть поверхности S,
вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями),
|
|
2 |
|
2 |
y |
2 |
z |
2 |
1, |
P : z 0 (z 0). |
a (x xy)i (y x |
|
) j zk , S : x |
|
|
|
Задача 5.24. |
|
|
Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, |
|||||||||||||||||
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P : x 2y z / 2 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a xi 4 yj 5zk , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача 6.24. |
|
|
Найти поток векторного поля a через часть плоскости P, |
|||||||||||||||||
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P : x / 2 y / 4 z / 3 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a xi 2 yj 2k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задача 7.24. |
|
|
Найти поток векторного поля a |
через замкнутую поверхность S |
||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
: z |
2 |
x |
2 |
y |
2 |
, z 1. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a ( |
|
z 1 x)i |
(2x y) j (sin x z)k , |
|
|
|
||||||||||||||
Задача 8.24. |
|
|
Найти поток векторного поля a |
через замкнутую поверхность S |
||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
S : z 2 4(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
), z 4(x |
2 |
y |
2 |
). |
||||
a (2x y) j (y 2z)k , |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Задача 9.24. |
|
|
Найти поток векторного поля a |
через замкнутую поверхность S |
||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
S : z 1 x y, x 0, y 0, z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a x |
|
i , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача 10.24. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к |
||||||||||||||||||||
точке N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F xyi , |
L : y sin x , |
M( ,0), N (0,0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача |
11.24. |
|
|
Найти |
циркуляцию |
векторного |
поля a вдоль контура Г (в |
|||||||||||||
направлении, соответствующем возрастанию параметра t). |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
k , |
Г : x cost, y sin t, z sin t. |
|
|
|
|
|
|||||||||
a xyi xj y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задача 12.24. Найти модуль циркуляции векторного поля a вдоль контура Г . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Г : x2 y2 z 2 9, x2 y2 1(z 0). |
|||||||||||||
a yi xj 3z2k , |
100
Вариант 25
Задача 1.25. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по
направлению вектора I.
u xy 9 z 2 , I 2i 2 j k , M (1,1,0).
Задача 2.25. Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z)
в точке М, где |
|
|
|
|
3y |
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|||
|
2x2 |
2z 2 , u |
||||||||||||||||
v |
|
|
|
|
|
6 |
|
, M 1, |
|
, |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
xy2 z |
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
Задача 3.25. Найти векторные линии в векторном поле a ,a xi zk. Задача 4.25. Найти поток векторного поля a через часть поверхности S,
вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями),
|
|
|
2 |
y |
2 |
z |
2 |
1, |
P : z 0 (z 0). |
a (x z)i yj (z x)k , S : x |
|
|
|
Задача 5.25. |
|
Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, |
||||||||||||||||||||||||
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a xi yj zk , P : 2x 3y z 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задача 6.25. |
|
Найти поток векторного поля a через часть плоскости P, |
||||||||||||||||||||||||
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P : 2x 8y z / 3 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a 9 xi 2 yj 8k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Задача 7.25. |
|
Найти поток векторного поля |
a через замкнутую поверхность S |
|||||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
4z)k , |
S : x y 2z 2, x 0, y 0, z 0. |
|||||||||||
a (5x 6y)i (11x |
|
2 y) j (x |
|
|||||||||||||||||||||||
Задача 8.25. |
|
Найти поток векторного поля |
a через замкнутую поверхность S |
|||||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z)k , S |
2 |
y |
2 |
1, z 4 x y, z 0. |
||||||||
a (2y 3z)i (3x 2z) j (x y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Задача 9.25. |
|
Найти поток векторного поля |
a через замкнутую поверхность S |
|||||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
S : x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
( y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1, z 0, z 2. |
|||||||||||||
a |
|
xz)i (yx z) j ( yz x)k , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Задача 10.25. Найти работу |
|
силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к |
||||||||||||||||||||||||
точке N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
L : y |
2x |
2 |
, |
|
M(0,0), N (1,2). |
|
|
|
|
||||||||
F (xy |
|
)i xj, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Задача |
11.25. |
|
Найти |
циркуляцию |
векторного поля a вдоль контура Г (в |
|||||||||||||||||||||
направлении, соответствующем возрастанию параметра t). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
Г : x 2cost, y 3sin t, z 4cost 3sin t 3. |
|||||||||||||||||||
a xi z |
|
j yk , |
|
|||||||||||||||||||||||
Задача 12.25. Найти модуль циркуляции векторного поля a вдоль контура Г . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a y i xj 2zk , |
|
|
Г : x |
|
|
|
0, z 2. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101
Вариант 26
Задача 1.26. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению вектора I.
u 2 |
x y y arctg z, |
I 4i 3k , M (3, 2,1). |
Задача 2.26. Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z)
в точке М, где |
v x2 |
9y 2 |
6z 2 , |
1 |
|
1 |
1 |
|
|||
u |
|
, M 1, |
|
, |
|
|
. |
||||
xyz |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
Задача 3.26. Найти векторные линии в векторном поле a ,a 5zi 7xk. Задача 4.26. Найти поток векторного поля a через часть поверхности S,
вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями),
|
|
|
2 |
)k , |
S : x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
1, |
P : z 0 (z 0). |
a xi (y yz) j (z y |
|
|
|
|
Задача 5.26. |
Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, |
|||||||||||||||||||||||||||
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2xi yj zk , P : 2x 3y z 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Задача 6.26. |
Найти поток векторного поля a через часть плоскости P, |
|||||||||||||||||||||||||||
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P : x / 3 2y z 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a 7 xi (4y 1) j 2 zk , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Задача 7.26. |
Найти поток векторного поля |
|
a |
через замкнутую поверхность S |
||||||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
( y |
2 |
z |
2 |
|
(e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
z |
2 |
, z 1, z 3. |
||
a |
|
|
6x)i |
|
2y x) j (x y z)k , S : x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Задача 8.26. |
Найти поток векторного поля |
|
a |
через замкнутую поверхность S |
||||||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
S : x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
2y, z |
x |
2 |
y |
2 |
, z 0. |
|
|
|
||||||||
a 2xi zj (x y)k , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Задача 9.26. |
Найти поток векторного поля |
|
a |
через замкнутую поверхность S |
||||||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
S : z x |
2 |
y |
2 |
, z 1, x 0, y 0 |
(первый октант). |
|||||||||||||||
a yi y |
|
j yzk , |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Задача 10.26. Найти работу |
силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к |
|||||||||||||||||||||||||||
точке N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F xi yj, |
L : отрезок MN , |
|
M(1,0), N (0,3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Задача |
11.26. |
Найти |
|
циркуляцию |
векторного поля |
|
a вдоль контура Г (в |
|||||||||||||||||||||
направлении, соответствующем возрастанию параметра t). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(z x) j (x y)k , |
|
Г : x 2cost, y 2sin t, z 3(1 cos t). |
|||||||||||||||||||
a ( y z)i |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Задача 12.26. Найти модуль циркуляции векторного поля a вдоль контура Г . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г : x2 y2 |
z 2 25, z 4. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a x2 |
i |
yzj 2zk , |
|
|
|
|
|
|
|
|
102
Вариант 27
Задача 1.27. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению вектора I.
u z 2 |
|
|
|
2 arctg (x y), I |
i |
2 j 2k , M (1,2, 1). |
Задача 2.27.
в точке М, где
Задача 3.27.
Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 2 |
|
3 3 |
|
|
|
1 |
3 |
|||||||||
v |
|
|
|
|
u |
, M |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
, 2, |
|
. |
|||||||
|
|
2x |
y |
2z |
|
y 2 z3 |
|
2 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Найти векторные линии в векторном поле a ,a 7 yj 14zk.
Задача 4.27. |
|
|
|
|
|
|
Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, |
|||||||||||||||||||||||||||||
вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
данными поверхностями), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
z |
2 |
1, P : z 0 (z 0). |
|
|
|
|
||||||||||||
a (x y)i (x y) j zk , S : x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Задача 5.27. |
|
|
|
|
|
|
Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, |
|||||||||||||||||||||||||||||
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2xi 3yj zk , P : 2x 3y z 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Задача 6.27. |
|
|
|
|
|
|
Найти поток векторного поля a через часть плоскости P, |
|||||||||||||||||||||||||||||
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P : 2x y / 2 z / 3 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a 6 xi 3 yj 10k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Задача 7.27. |
|
|
|
|
|
|
Найти поток векторного поля |
|
a через замкнутую поверхность S |
|||||||||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
a |
|
(x z)i |
|
|
|
|
(xz y) j (xy 2)k , S |
: x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
4x 2y 4z 8. |
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 8.27. |
|
|
|
|
|
|
Найти поток векторного поля |
|
a через замкнутую поверхность S |
|||||||||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S : z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
y |
2 |
1, z 0, x |
2 |
y |
2 |
1/ 4. |
||||||||||
a (2y 15x)i (z y) j (x 3y)k , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 9.27. |
|
|
|
|
|
|
Найти поток векторного поля |
|
a через замкнутую поверхность S |
|||||||||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
S : x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
k , |
2 |
y |
2 |
1 z, z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a yi 2zyj 2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Задача 10.27. Найти работу |
|
|
силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
точке N. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F (xy x)i |
|
|
|
|
j, |
L : y 2 |
|
|
x, |
M(0,0), N (1,2). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача |
11.27. |
|
|
|
Найти |
|
циркуляцию векторного поля a вдоль контура Г (в |
|||||||||||||||||||||||||||||
направлении, соответствующем возрастанию параметра t). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a 2zi |
xj x |
|
k , |
Г : x |
|
|
|
|
cost, y |
|
|
|
|
sin t, z 8. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 12.27. Найти модуль циркуляции векторного поля a вдоль контура Г . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2k , Г : z 4(x2 y 2 ) 2, z 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a y i 2xj z |
|
|
|
|
|
|
|
103
Вариант 28
Задача 1.28. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению вектора I.
u ln(x2 |
|
|
|
y2 ) xyz, I |
i |
j 5k , M (1, 1,2). |
Задача 2.28. Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z)
в точке М, где |
4 2 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
||||||
v |
|
|
|
|
|
|
|
, u x2 yz, M |
2, |
|
, |
|
|
|
. |
|
x |
9y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3z |
|
|
3 |
6 |
|
|
Задача 3.28. Найти векторные линии в векторном поле a ,a 2zi 6zk. Задача 4.28. Найти поток векторного поля a через часть поверхности S,
вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями),
|
2 |
|
|
2 |
)k , |
S : x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
9, |
P : z 0 (z 0). |
a (x xz |
|
)i yj (z zx |
|
|
|
|
Задача 5.28. |
|
|
|
Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2xi 3yj 4zk , P : 2x 3y z 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Задача 6.28. |
|
|
|
Найти поток векторного поля a через часть плоскости P, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a ( 1)xi 2 yj (1 z)k , P : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Задача 7.28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Найти поток векторного поля |
|
|
a |
через замкнутую поверхность S |
|||||||||||||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: z |
2 |
9(x |
2 |
y |
2 |
), z 3. |
|||||||||||||
a (3yz x)i (x |
|
|
y) j (6z 1)k , S |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 8.28. |
|
|
|
Найти поток векторного поля |
|
|
a |
через замкнутую поверхность S |
||||||||||||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
S : x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
1, z x |
2 |
y |
2 |
, z 0. |
||||||||||||||||
a (y z)i (x 2y z) j xk , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 9.28. |
|
|
|
Найти поток векторного поля |
|
|
a |
через замкнутую поверхность S |
||||||||||||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
S : x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
k , |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0 (z 0). |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
a 2xyi 2xyj |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 10.28. Найти работу |
силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
L : x2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F xi yj, |
|
|
1 (x 0, y 0), |
M(1,0), N (0,3). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача |
11.28. |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Найти |
|
|
циркуляцию |
|
|
векторного |
поля a вдоль контура Г (в |
|||||||||||||||||||||||||||||
направлении, соответствующем возрастанию параметра t). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3z |
2 |
|
|
|
|
|
Г : x cost, y 4sin t, z 2cost 4sin 3. |
|||||||||||||||||||||||||||||
a xi |
|
j yk , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 12.28. Найти модуль циркуляции векторного поля a вдоль контура Г . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k , Г : x2 y 2 4, 2x 3y 2z 1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
a 3zi 2yj 2y |
|
|
104
Вариант 29
Задача 1.29. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению вектора I.
|
x |
|
|
|
|
|
u xy |
, I |
5i |
j |
k , M ( 4,3, 1). |
||
|
z
Задача 2.29. Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z)
|
x |
3 |
|
|
y |
3 |
|
|
8z |
|
3 |
|
y |
2 |
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке М, где v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, u |
|
|
, M |
2, 2, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.29. Найти векторные линии в векторном поле a ,a 4xi zk. Задача 4.29. Найти поток векторного поля a через часть поверхности S,
вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями),
|
|
|
2 |
y |
2 |
z |
2 |
4, |
P : z 0 (z 0). |
a (x y)i (y x) j zk , S : x |
|
|
|
Задача 5.29. |
|
|
Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, |
|||||||||||||||||||||||
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P : x 2y 3z 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a xi 9 yj 8zk , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Задача 6.29. |
|
|
Найти поток векторного поля a через часть плоскости P, |
|||||||||||||||||||||||
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
|
|
xi yj (4 2z)k , |
P : x |
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 7.29. |
|
|
Найти поток векторного поля |
a |
через замкнутую поверхность S |
|||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S : x 2y 3z 6, x 0, y 0, z 0. |
||||||||
a |
( yz 2x)i (sin x y) j (x 2z)k , |
|||||||||||||||||||||||||
Задача 8.29. |
|
|
Найти поток векторного поля |
a |
через замкнутую поверхность S |
|||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
S : z x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
, z 2y. |
|
|
||||||||||
a (3x y z)i 3yj 2zk , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Задача 9.29. |
|
|
Найти поток векторного поля |
a |
через замкнутую поверхность S |
|||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
: x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
x |
2 |
|
|
3 |
k / 3, |
S |
2 |
y |
2 |
|
z |
2 |
1, z 0 (z 0). |
|||||||||||
a |
y |
xi |
|
yj z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Задача 10.29. Найти работу |
силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к |
|||||||||||||||||||||||||
точке N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
L : y x3 , |
M(0,0), N (2,8). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
F yi |
xj, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Задача |
11.29. |
Найти |
циркуляцию |
|
векторного поля a вдоль контура Г (в |
|||||||||||||||||||||
направлении, соответствующем возрастанию параметра t). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
Г : x 3cost, y 4sin t, z 6cost 4sin 1. |
|||||||||||||||||||
a xi 2z |
|
j yk , |
|
|||||||||||||||||||||||
Задача 12.29. Найти модуль циркуляции векторного поля a вдоль контура Г . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г : x2 y 2 1, z 2. |
|
|
||||||||||||||
a (x y) i xj 6k , |
|
|
105
Вариант 30
Задача 1.30. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению вектора I.
|
|
|
|
|
|
|
u ln(x |
y2 |
|
||||
z 2 ), I |
2i |
j |
k , M (1, 3,4). |
Задача 2.30. Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z)
в точке М, где
Задача 3.30.
|
3x3 |
2 |
2 |
y3 |
|
|
|
|
x2 z |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
3z3, |
|||||||||||||||||||||
v |
|
|
|
|
|
8 |
u |
|
, M |
|
, |
|
|
, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
y3 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти векторные линии в векторном поле a ,a 5zi 7yk.
Задача 4.30. |
Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
данными поверхностями), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
, S : x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
9, |
P : z 0 (z 0). |
||||||||||||||||
a (x xy |
|
|
)i ( y yx |
|
) j zk |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Задача 5.30. |
Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 8xi 11yj 17zk , P : x 2y 3z 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Задача 6.30. |
Найти поток векторного поля a через часть плоскости P, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a 7 xi 4 yj 2(z 1)k |
, P |
: |
|
|
|
|
|
|
z 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Задача 7.30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Найти поток векторного поля a |
через замкнутую поверхность S |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e |
x |
z)k , S |
: x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
2y. |
|
|
||||||||||||||||||
a (8x 1)i (zx 4y) j |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 8.30. |
Найти поток векторного поля a |
через замкнутую поверхность S |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
, S : y 2x, y 4x, x 1, z y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, z 0. |
|||||||||||||||||||||||
a (x y)i (y z) j (z x)k |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 9.30. |
Найти поток векторного поля a |
через замкнутую поверхность S |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S : x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
, |
z 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a xi 2yj yzk , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Задача 10.30. Найти работу |
|
силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F (x2 |
y 2 )i (x2 |
y 2 ) j, |
|
|
L : |
|
|
|
|
|
|
1 ( y 0), |
M(3,0), N (-3,0). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Задача |
11.30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Найти |
|
|
циркуляцию |
векторного поля a вдоль контура Г (в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
направлении, соответствующем возрастанию параметра t). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
y |
3 |
|
|
|
|
|
Г : x 2cos t, y 2sin t, z 4. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
i 4 j xk , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 12.30. Найти модуль циркуляции векторного поля a вдоль контура Г . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г : x2 y2 |
z 2 |
0, z 3. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
a 4 i 3xj 3xzk , |
|
|
|
|
|
|
106
Вариант 31
Задача 1.31. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению вектора I.
u x2 |
|
|
arctg(y z), I |
3 j 4k , M (2,1,1). |
Задача 2.31.
в точке М, где
Задача 3.31.
Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z)
|
3x3 |
2 |
2 |
y3 |
|
|
|
|
x2 z |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
3z3, |
|||||||||||||||||||||
v |
|
|
|
|
|
8 |
u |
|
, M |
|
, |
|
|
, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
y3 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти векторные линии в векторном поле a ,a 9zj 4yk.
Задача 4.31. |
|
|
Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, |
||||||||||||
вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой |
|||||||||||||||
данными поверхностями), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(z y)k , S |
: x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
9, P : z 0 (z 0). |
|||||
a xi (y z) j |
|
|
|
|
|||||||||||
Задача 5.31. |
|
|
Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, |
||||||||||||
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
xi 2 yj zk , P : x 2y 3z 1. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача 6.31. |
|
|
Найти поток векторного поля a через часть плоскости P, |
||||||||||||
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
z |
|
|
|||
a 5 xi (1 2y) j 4 zk , P : |
|
4y |
|
|
z 1. |
||||||||||
2 |
3 |
||||||||||||||
Задача 7.31. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность S |
(нормаль внешняя).
a (2y 5x)i (x 1) j (2 xy 2z)k , S : 2x 2y z 4, x 0, y 0, z 0.
Задача 8.31. |
Найти поток векторного поля |
a |
через замкнутую поверхность S |
||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
S : z 8 x |
2 |
y |
2 |
, z x |
2 |
y |
2 |
. |
|
|
|
||||||
a (x z)i yk , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Задача 9.31. |
Найти поток векторного поля |
a |
через замкнутую поверхность S |
||||||||||||||||||||
(нормаль внешняя). |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
( y |
2 |
z |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
1, |
z 0, z 1. |
|||||
a |
|
|
)i (xy y |
|
) j (xz z)k , S : |
|
|
||||||||||||||||
Задача 10.31. Найти работу |
силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к |
||||||||||||||||||||||
точке N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
L : x 2 y 2 |
|
4 ( y 0), |
M(2,0), N (-2,0). |
|||||||||||||||
F (x y)i j, |
|
||||||||||||||||||||||
Задача |
11.31. |
Найти |
циркуляцию векторного поля a вдоль контура Г (в |
||||||||||||||||||||
направлении, соответствующем возрастанию параметра t). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
Г : x 2cost, y 2sin t, z 1 2cost 2sin t. |
||||||||||||||||
a |
|
|
i |
3 j xk , |
|||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 12.31. Найти модуль циркуляции векторного поля a вдоль контура Г . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Г : x2 |
y2 z 2 9, x2 |
y 2 |
9. |
|
|||||||||||
a yzi xzj xyk , |
|
107
9. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
|
|
Cкалярное поле |
|
|
u u(x, y, z) , где u(x, y, z) |
- |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
скалярная функция, называемая |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функцией поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Производная по направлению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Производная скалярного поля u(x, y, z) в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
точке P(x, y, z) по направлению вектора |
|
u |
|
u |
cos |
u |
cos |
u |
cos |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
l (обозначение |
u |
): |
|
l |
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
определяет скорость изменения поля в направлении вектора l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
u |
|
|
u |
|
|
|
||||||||||
|
|
Градиент скалярного поля |
|
|
|
grad u |
|
|
|
i |
|
|
j |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
z |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
оператор Гамильтона, или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
символический вектор “набла” |
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
x |
|
|
|
y |
y |
Выражение вида u(x, y, z) понимается как результат действия оператора на
соответствующую функцию: grad u u .
Правила действий с оператором «набла»
1Если оператор действует на какое-либо произведение, то вначале используются его дифференциальные, а затем векторные свойства. Чтобы отметить тот факт, что «набла» не воздействует на какую-либо
2величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину помечают индексом c (const).
Все величины, на которые оператор «набла» не действует, в
3окончательном варианте ставятся впереди него.
1
2
3
4
5
Связь градиента и производной по направлению
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( u l |
) |
u |
|
l |
cos |
grad u |
cos |
|||
|
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Свойства градиента |
|||||
|
|
|
|
|
|
(u v) u v
(u v) ( u)v u( v)
c u c u , c const
f (u) fu u - градиент сложной функции.
f (u, v) fu u fv v
108
a ax i ay j az k , где ax ax (x, y, z) ,
Векторное поле
ay ay (x, y, z) , az az (x, y, z)
Векторные линии. Уравнения векторных линий
Векторной линией поля a P a x, y, z называется кривая, в каждой точке которой вектор a ax ;ay ;az направлен по касательной к этой кривой.
Уравнения векторных линий: |
dx |
|
dy |
|
dz |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ax ay az |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Поверхностный интеграл 1-го рода f x, y, z d |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z x, y . |
|
f x, y, z d f x, y, z x, y |
|
|
1 z x 2 z y 2 |
dS xy |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f x, y, z d f x, y x, z , z |
|
|
|
|
|
dSxz |
|||||||
y y x, z , |
|
yx 2 yz 2 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Dxz |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f x, y, z d f x y, z , y, z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x x y, z , |
|
1 xy 2 |
xz 2 dS yz |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D yz |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Dxy , Dxz , Dyz – проекции на плоскости Oxy, Oxz, Oyz . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поверхностный интеграл 2-го рода a(x, y, z) n0 d |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d ax (x, y, z)cos ay (x, y, z)cos az (x, y, z)cos d |
||||||||||||||
I a(x, y, z) n0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax (x, y, z)dydz ay (x, y, z)dxdz az (x, y, z)dxdy .
|
|
|
|
d , |
|
вариант записи d n0 |
I a(x, y, z) d . |
Поток векторного поля
Поток вектора a через поверхность – поверхностный интеграл 2-го рода от вектора a по поверхности .
Способы вычисления потока
a d a n0d a n0 d , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|||||
|
( a |
d ) a |
n0 |
(Prn0 a )d . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Проектирование на одну координатную плоскость |
|
|
|
|
||||||||||||||
Поверхность задана уравнением z f (x, y) |
и однозначно проектируется в |
|||||||||||||||||
область D |
на координатной плоскости Oxy |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
fy |
2 |
|
|||||||||||
П |
a |
n0 |
d a |
n0 |
|
|
|
|
|
a n0 fx |
|
1 dxdy |
||||||
|
|
cos |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
ax x, y, f x, y fx ay x, y, f x, y fy az x, y, f x, y dxdy ,
Dxy
109