Chast_8_Teoria_polya

u

PP ' по теореме о среднем.

(a

,dr ) =

пpPP 'adl пpPP 'a(P1) l , где P1

PP '

PP '

u

P A и l 0 , име-

Следовательно,

пpPP 'a(P') . Переходя к пределу при

l

u

u

u

ем lim

пpAP a(A) . Поскольку производная поля

по направлению

l

l

l 0

l

AP равняется проекции grad(u) на это направление, то a grad (u) .

Данное условие 30 используется в качестве критерия потенциальности век-

торного поля.
5.1.2. Вычисление потенциала поля
Потенциал векторного поля по свойству 20 может
быть найден по формуле		P(x,y,z)
u axdx aydy azdz , где А (x0, y0, z0) - фиксированная	A(0,0,0)
AB
точка поля, координаты которой удовлетворяют условиям
	P1(x,0,0)	P2(x,y,0)
существования полей a и rota ( как правило, А(0,0,0)), а
Р(x,y,z) - текущая точка поля. Линейный интеграл вычис-

ляется по любому контуру дуги	L : AP . Наиболее удобен для вычисления
контур в виде ломаной, звенья которой параллельны осям координат.
В этом случае	y
x		z

u(x, y, z) ax (x, y0 , z0 )dx ay (x, y, z0 )dy az (x, y, z)dy .

x0

y0

z0

2

i y

2

j z

2

k

является потенциальным,

ПРИМЕР. Докажите, что поле a

x

и найдите его потенциал.

Решение: Используя критерии потенциальности поля (условие 30 ),

имеем: rot(a) 0 a - потенциальное поле.

2

2

dy z

2

dz

...

...

....

u = (a, dr )

x

dx y

AB

AB

AP

P P

P P

1

1

2

2

AP1 : x 0 dx 0; y 0 dy 0;

PP

: x const dx 0; z 0 ;

1

2

P2 P : x const dx 0; y const dy 0 ,

x

y

z

3

3

3

x

y

z

x2dx y2dy z2dz

c .

3

0

0

0

x3

y3

z3

3x2

3y

2

3z

2

2

2

2

Проверка: gradu grad(

)

i

+

j

+

k = x

i y

j z

k .

3

3

3

3

40

5.2. Соленоидальное поле

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторное поле a a(P) называется соленоидальным

(трубчатым), если в каждой точке P заданного поля div(a) 0 .

5.2.1.Свойства соленоидального поля

1.Соленоидальные поля не имеют источников и стоков, что следует из определения.

2.Поток a через любую замкнутую ориентированную кусочно–гладкую поверхность, лежащую в поле, равен нулю

П (a	d ) diva dV 0 .
	G

3.В соленоидальном поле векторные линии не могут начинаться или кончаться, они либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля.

4.Поток векторного поля через поперечное сечение векторной трубки в со-

леноидальном поле остаётся постоянным вдоль всей трубки.

Доказательство:

Рассмотрим область специального вида - векторную трубку Т, ограниченную двумя поперечными сечениями Σ1, Σ2 и боковой поверхностью Σ3.

Вычислим поток через указанную поверхность.

	a n0 2
1 2 3 diva dV 0
T

a

1

n0

a

	n0
2

3

	(по свойству 2);
	3 боковой поверхности
		(a	d ) = (a		n0 )d 0 , так как на поверхно-
		3		3

сти векторной трубки Σ3 вектор a направлен по касательной к поверхности, т.е. (a n0 ) 3 (a n0 ) 3 0.

	Таким образом,
	1 2	0
			, 1 2 , (a,d ) =		(a,d )=		(a,d ) .
			1	2		2

Если придать векторному полю смысл скорости течения жидкости, то количество жидкости, вытекающей из поперечного сечения векторной трубки, всегда равняется количеству жидкости, втекающей в нее.

				2	i (x	2	y	2	)j z(3y	2	1)k ?
ПРИМЕР. 1). Является ли соленоидальным поле: ay
Решение:
	2	1 0	a - не соленоидально.
diva 2y 3y

2). При каком условии векторное поле a (r) r будет соленоидальным?

41

Решение:					r
							r
div a	div[ (r)r	] (r)div r	(grad (r) r ) 3 (r) (r)
					r

(r)

2

3 (r)

r

3 (r) (r)r

или 3 (r) r (r) , r (r) 3 (r) ,

dφ

dr

r

с

с

3

ln lnc 3ln r ;

φ

- поле соленоидально, если φ

.

φ

r

r3

r3

5.3. Операторы Гамильтона и Лапласа

5.3.1. Оператор Гамильтона (набла)

Многие операции векторного анализа могут быть записаны в сокращенной и удобной для расчётов форме с помощью символического оператора Га-

мильтона «набла»: i

j

k

;

;

.

x

y

z

x y

z

Выражение вида u(x, y, z) понимается как результат действия оператора

на соответствующую функцию. Тогда

u

u

u

u(x,y,z) (i

j

k

) u(x, y,z)

i

j

k =ux i uy j uz k ,

x

y

z

x

y

z

gradu u .

В этом операторе соединены дифференциальные и векторные свойства, поэтому при действиях с ним необходимо пользоваться правилами векторной алгебры и дифференцирования.

Выполняя действия с оператором «набла», удобно использовать так называемый символический метод, основанный на применении следующих правил:

1.Если оператор действует на какое-либо произведение, то вначале используются его дифференциальные, а затем векторные свойства.

2.Чтобы отметить тот факт, что «набла» не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину помечают ин-

дексом c (const).

3.Все величины, на которые оператор «набла» не действует, в окончательном варианте ставятся впереди него.

ПРИМЕР. Используя символический метод, вычислите div a,b .

Решение:

Воспользуемся свойствами смешанного произведения:

div a,b

a,b

a,b

a ,b

b ,a

a ,b

c

c

=b rot(a) a rot(b).

42

5.3.2. Оператор Лапласа

Дифференциальные операции второго порядка возникают в результате двукратного применения к полям оператора «набла».

Если в области G задано скалярное поле u u(P) , то операция взятия

градиента порождает векторное поле: grad (u). В векторном поле u grad(u)

операция взятия дивергенции порождает скалярное поле: ( , u) div(grad(u)),

а операция взятия ротора - векторное поле
			, u rot(grad(u)) .
Если в области G задано векторное поле a a(P) , то операция взятия ди-
вергенции	порождает скалярное	поле:			скалярном	поле
			div(a) ( ,a) . В
		градиента		порождает	векторное	поле:
div(a) ( ,a) операция взятия

( ,u) grad(div(u)).

Если в области G задано векторное поле a a(P) , то операция взятия ротора порождает векторное поле rot(a) . Применяя повторно к этому полю опе-

ратор , получим скалярное поле

		.
rot(rot(a)) , ,a

		) и векторное поле
div(rot(a)) ( , ,a

При помощи оператора Гамильтона основные понятия теории поля можно записать в виде операций векторной алгебры.

Рассмотрим некоторые операции второго порядка

1.Вихревое поле является соленоидальным: div(rot(a)) 0 .

Раскроем смешанное произведение, учитывая, что векторное произведение одинаковых векторов равно нулю: ,a a , a 0 0.

2. Векторное	поле a grad(u)	является		безвихревым, так как
rot(grad(u)) 0. Действительно, , u			, u 0 u 0.

3.Рассмотрим операцию div(grad (u)).

div(grad(u)) ( , u) div(

u

u

u

2u

2u

2u

i

j

k ) =

u .

x

y

z

x2

y2

z2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальный оператор вида

2

2

2

назы-

x2

y2

z2

вается оператором Лапласа. Оператор Лапласа можно представить как скалярное произведение оператора Гамильтона самого на себя:

			2		2		2
	( , ) =( )2							.
			x2		y2		z2

Уравнение вида u 0 называется уравнением Лапласа и является одним из основных уравнений математической физики. Непрерывное решение урав-

43

нения Лапласа u(x, y, z) называется гармонической функцией. Соответствующее скалярное поле называется гармоническим или лапласовым.

Векторное поле является гармоническим, если оно является одновременно потенциальным и соленоидальным: rota 0; diva 0 .

Рассмотрим операцию rot(rot(a)).

Формула двойного векторного произведения дает: [a,[b,c					]] b(a,c) c			(a,b)
{формула «бац минус цаб»}. Тогда [ , ,a			] ( ,a) a( , )
	2
diva	a	grad(diva) a .

Дифференциальные операции второго порядка удобно свести в таблицу.

	Скалярное поле			Векторное поле
	grad		div	rot
grad			grad(diva)
div	div(grad(u))			div(rot(a)) 0
		u
rot	rot(grad (u)) 0			rot(rot(a)) grad(diva) a

Например, законы электромагнетизма описываются уравнениями Максвелла в дифференциальной форме:

E

H

[ , H ];

[ , E], ; ( , E) 0 ; ( , H ) 0 .

Иначе:

c t

c t

E

(1),

divE 0

(2);

rotH

c t

divH 0

H

(4).

rotE

(3),

c

t

В данном случае нет зарядов и токов, а E ,

H - векторы напряжённости

электрического и магнитного полей; ε , μ - электрическая и магнитная проницаемость; c - скорость света.

Если продифференцировать (1) по

и подставить

H

из (3), то получим

t

2E

H

t

2 E

[ ,

] или

[ ,[ , E]].

c t2

t

c2

t2

Преобразуем правую часть по формуле: [ ,[ , E]] ( , E) E .

Итак, для векторного поля E имеем уравнение

2 E c2

E .

t2

Это одно из основных уравнений математической физики, называемое вол-

новым уравнением.

44

6. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Поверхности и линии уровня Производная по направлению Градиент скалярного поля

№ п/п

Задание

Ответ

Скалярное поле определено функцией

2z

. Найти градиент поля в точке

x2 y2 z2

A 2, 3,1 . Построить поверхности уровня для

1

, 1, 2.

2

РЕШЕНИЕ:

Градиент скалярного поля x, y, z

определяется

равенством grad

i

j

k.

y

x

z

6

Находим grad в точке A.

2

3

i

j

k ;

A 2z x

2x

49

49

49

2

y

2

z

2

2

сферы с

x

A

центром

4xz

4 2 1

2

0,0,2

и

x2

y2

z2 2

22

3 2 12

радиусом 2,

49

A

с центром

4yz

3

,

0,0, 1

и

радиусом 1,

№1

y

x2

y2

z2 2

A

49

A

с центром

2 x2

z2 2z 2z

2 x2 y2 z2

y2

6

.

0,0,1

и

z

x2 y2

z2 2

x2

y2

z2 2

49

радиусом 1,

A

A

A

с центром

Следовательно,

2

3

6

grad

A

i

j

k.

1

и

49

49

49

0,0,

Находим теперь поверхности уровня.

2

1

1)

1

.

радиусом

.

2

2

2z

1

,

x2 y2 z2 4z 0,

x2 y2

z2

2

x2 y2 z2 4z 4 4,

x2 y2

z 2 2

4 - сфера с центром O в точке

0,0,2

и радиусом R,

равным 2.

2) 1.

2z

1,

x2 y2 z2 2z 0,

x2 y2

z2

x2 y2

z 1 2

1

- сфера с O 0,0, 1

и R 1.

45

3) 1.

2z

x2 y2 z2

1,

x2 y2 z2 2z 0,

x2 y2 z 1 2 1 - сфера с

O 0,0,1

и R 1.

4) 2.

2z

2,

x2 y2 z2

x2 y2 z2 z 0,

2

2

1

2

1

- сфера

x

y

z

.

2

4

1

1

с O 0,0,

и R

.

2

2

На рисунке приведено сечение поверхностей

уровня плоскостью, проходящей через ось OZ .

Найти производную скалярного поля

U x, y, z

в

точке

M

по

направлению

вектора l,

если

U x2

arctg y z ,

l 3 j 4k ,

M 2,1,1 .

РЕШЕНИЕ:

Производная скалярного поля U x, y, z

в точке M

по

направлению

вектора

l

равна

U

U

cos

U

cos

U

cos .

l

y

M

x

M

M

z

M

Находим

частные

производные

функции

U

и

вычисляем их значения в точке M :

1

№2

U

2 x

2 2 4,

.

25

x

M

M

U

1

1

1

,

y

M

1 y z 2

1 1 1 2

5

U

1

M

1

.

z

M

1 y z 2

5

M

Находим направляющие косинусы вектора l :

cos

0

0,

cos

3

,

cos

4

.

0 9 16

5

5

Следовательно,

U

4 0

1

3

1

4

1

.

l

5

5

5

5

25

M

№3

Найти производную скалярного поля

U x, y, z

в

6

точке M по направлению нормали к поверхности

S ,

образующей острый

угол

с

положительным

46

направлением

оси

Oz,

если

U

x y xz2 ,

S : x2

y2

2z,

M 1, 1, 4 .

2

РЕШЕНИЕ:

U

U

cos

U

cos

U

cos .

l

x

M

y

M

z

M

U

y

2

1

2

33

U

x

1,

z

4

,

x

y

M

M

2 1

2 x

2

M

M

U

2xz

2 1 4 8.

z

M

M

Если

поверхность

S

задана

уравнением

F x, y, z 0 , то нормаль n к поверхности S

имеет

F

F

F

вид: n

,

,

.

x

y

z

Находим нормаль к поверхности S в точке M .

Так как у нас F x, y, z x2

y2

2z, то

2

F

2x

M 2 1 2,

F

y

M 1,

F

2.

x

M

y

z

M

M

По условию задачи нормаль образует острый угол с положительным направлением оси Oz , следовательно ее проекция на эту ось имеет положительный знак, т.е. искомая нормаль n 2,1,2 .

Направляющие косинусы этого вектора:

cos							2							2		,			cos			1	,	cos	2	.
						4 1 4							3								3			3
U							33			2						1				2
													1						8		6.
n
			M				2			3						3				3

Найдите единичный вектор нормали к поверхности u x2 y2 z2 в точке Р(1,1,1). РЕШЕНИЕ:

По свойству градиента n u ,

№4	grad u 2xi 2y j 2zk ,																					1			,	1			,	1
	u 2xi 2y j 2zk 2i 2 j 2k = 2,2,2 ,																						3				3				3
					n				1				1				1
	n0											,				,				.
										3				3				3
					n
№5	Найти угол между градиентами скалярных полей																									0

47

U x, y, z

и

V x, y, z

в

точке

M , если

U

x

,

yz2

V x2 y2 3z2.

РЕШЕНИЕ:

Градиент скалярного поля U x, y, z

определяется

равенством

U

U

U

gradU

i

j

k.

x

y

z

Находим gradU в точке M .

U

1

1

3

2,

x

yz2

1

1 2

M

M

2

3

U

x

1

1

3 2 3 2,

2

y

2

y

M

z

M

2

U

x

2

2

2 3 3 6 3.

3

z

M

y

z

M

2

Таким образом, gradU

M 3

2

i 3

2

j 6

3

k.

Аналогично находим gradV

M .

V

2 x

2

1

V

2 y

2,

2,

x

M

y

2

M

M

V

6 z

6

1

2

3.

z

M

M

3

Таким образом, gradV

M

i

j 2

k.

2

2

3

Вычислим

косинус

угла

между

градиентами

скалярных полей U и V в точке M .

cos

gradU gradV

gradU

gradV

M

UxVx

U yVy UzVz

1, 0.

Ux2 Uy2 Uz 2

Vx 2 Vy 2 Vz 2

M

Найти производную функции

x

y2 z z3 в

точке A 0,1,2

y

в направлении, составляющем с

осями координат равные тупые углы.

16 3

№6

РЕШЕНИЕ:

.

Производная скалярного поля x, y, z в точке A

3

по направлению вектора l

равна

cos

cos

cos .

l

x

y

z

A

A

A

A

48

1

1

x

1,

2yz

4,

x

y

1

y

y

2

A

A

A

A

y2 3z2

13.

z

A

A

Находим направляющие косинусы вектора l .

cos2 cos2 cos2 1,

cos cos cos ,

cos 0,cos 0,cos 0.

3cos2 1,

cos

1

cos cos

1

.

3

3

1

1

1

16 16

3

4

13

.

l

A

3

3

3

3

3

Найдите

наибольшую

крутизну

подъёма

поверхности u x y

в точке Р (2,2,4).

РЕШЕНИЕ:

grad u

max

u

;

№7

l

4

1 ln2 2

u ux i uy j uz k = yx y 1 i x y ln x j 0k ;

u

( yx y 1 )2 (x y ln x)2

(2 2)2 (4 ln 2)2 4

1 ln2 2.

Векторные линии. Уравнения векторных линий

Найдите векторные линии поля, если поле задано

в точке Р(1,0,0).

вектором: a yi xj bk

РЕШЕНИЕ:

dx

dy

dz

.

y

x

b

1)

dx

dy

xdx ydy , xdx ydy 0 ;

x cost,

y

x

x

2

y

2

№8

c12

;

y sint,

2

2

x2 y2

c2 2 ;c2

c1 - уравнение окружности.

z bt.

2

2)dy dz bdy xdz .

xb

Из параметрического вида уравнения окружности

x c1 cost,

y c1 sin t,

49