Chast_8_Teoria_polya

		i		j		k
rotb							2i 3 j k ,
		x		y		z

y 2z 3x

f rotb cos r 2i 3 j k ,

cos r

cos r

cos r

sin r

gradf

i

j

k

xi yj zk

,

x

y

z

r

k

i

j

gradf b

sin r

x

y

z

r

y

2z

3x

sin r

3xy 2z2 i 3x

2 yz

j 2xz y2 k

.

r

Следовательно,

3xy 2z2 sin r

a

2cos r

i

r

3x2

yz sin r

2xz y2 sin r

3cos r

j

cos r

k.

r

r

Потенциальное векторное поле

Показать, что поле вектора

2

1

2

y

является

a

2xyi x

z

j

x

y

k

z

z

2

потенциальным и найти его потенциал.

РЕШЕНИЕ:

Необходимым

и

достаточным

условием

потенциальности поля a является rota 0.

В нашем случае

№33

i

j

k

2

y

2

1

rota

i

x

y

x

z

x

y

z

z

2

z

y

z

1

y

2xyz

x2z

x2 y

z

z2

y

1

2

2

j

x

y

2xyz

k

x

z

2xyz y

z

2

z

z

x

x

2

1

2

1

i x

x

j

2xy 2xy k 2xz 2xz 0.

z

2

z

2

Следовательно, поле a потенциально. Найдем

потенциал поля.

x2 yz y C.

z

70

U	axdx ay dy az dz,		где	M0 x0 , y0 , z0	-
M0 M
фиксированная
точка,	а M x, y, z -
произвольная
точка	поля.	В
силу
независимости
интеграла		от
формы	пути,

линию интегрирования выберем в виде ломаной M0 M1M2 M , где отрезок M0 M1 параллелен оси Ox, отрезок M1M2 - оси Oy, а отрезок M2 M - оси Oz.

M0 M1 : y y0 , z z0 dy dz 0, M1M2 : x const, z z0 dx dz 0,

M2 M : x const, y const dx dy 0.

Тогда

x	y
U 2xy0 z0dx		x2 z0
x0	y0

1		z		2		y
	dy		x		y			dz
2						z	2
z0		z
		0

x

2

x

2

y

y

2

y

z

y0 z0

x

z0 y

x

yz

2

x0

z0

y

z

z0

0

x2 y z

x

2 y z

x2 z

y

y

x2 z

y

y0

x2 yz

y

z2

0

0

0 0

0

0

z

2

0 0

z

0

0

y

y

y0

y

x2 yz

x2 yz

x2 y z x2 yz

C.

z2

0

z

0

z

0

0 0

z

0

71

7. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

ДЗ № 1 Скалярные и векторные поля. Градиент

Сборник задач по математике для втузов: Ч. 3: / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др. / Под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.: ил.; 21 см. - ISBN 5-940520- 34-0.

№	№
п/	по	Задание	Ответ

пЕф.

1	11.	Определите вид линий уровня														Гиперболы xy C
	2	скалярного поля u xy .
2	11.	Определите вид поверхностей уровня													Параболоиды вращения
	6	скалярного поля u x2 y2 z .														x2 y2						z C
3	11.	Найдите векторные линии поля													Параболы y2 2 x C
		a yi			j .
	11
		Найдите производную от поля
4	11.	u x2				y2					в точке P 2, 1 по				13
	31				2								0		5
		направлению вектора P0 P1 , где P1 6, 2 .
		Найдите производную скалярного поля
			x2				y2					z2										6
5	11.	u												в точке P a, b, c по
			a	2			b	2				c	2
																		a2 b2 c2
	35
		направлению радиус-вектора этой
		точки.
	11.	Найдите угол между градиентами поля																							4
6		u x2			2y2						z2 в точках P1 2,3, 1 и					cos
	36																								41
		P2 1, 1, 2 .
		Найдите скорость и направление													u										1
7	11.	наибыстрейшего возрастания поля														2 6,						n							2i		j
																									6
	37	u xyz в точке P 1, 2, 2 .													n

72

ДЗ № 2 Криволинейные и поверхностные интегралы 2 рода

Сборник задач по математике для втузов: Ч. 3: / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др. / Под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.: ил.; 21 см. - ISBN 5-940520- 34-0.

№

№

п/

по

Задание

Ответ

п

Еф.

Вычислите линейный интеграл 2 рода

2

i

x

2

j , О 0,0

,

a

, dr

, если a y

OB

В 1,1 по следующим путям:

а) отрезок прямой ОВ,

2

;

1

11.

3

б) дуга параболы y x

2

,

72

0,7;

в) дуга параболы x y2 ,

0,7;

г) ломаная ОАВ, где А 1,1 ,

1;

д) ломаная ОСВ, где С 0,1 .

1.

Вычислите линейный интеграл 2 рода

OB

11.

a

, dr

, если a yzi xzj xyk ,

2

OB

2 2a2h

75

- первый виток винтовой линии

x a cost, y a sin t, z ht 0 t 2

.

11.

Используя формулу Грина, вычислите

3

интеграл

x

2

ydx

xy

2

dy .

r4

81

2

x2 y2 r2

Используя формулу Грина, вычислите

4

11.

интеграл x y 2 dx x2 y2 dy ,

82

C

-1

где С - треугольник с вершинами в

точках О 0,0 , А 1,0 , В 0,1 .

73

		Вычислите поверхностный интеграл 2
5	11.	рода			dxdy	, если S – внешняя сторона			4 a
	84		S		z
		сферы x2 y2 z2 a2 .
		Вычислите поверхностный интеграл 2
	11.	рода x2dxdy , если S – внешняя							4HR3
6			S
	85	сторона части поверхности параболоида
									15
		z	H	x2 y2 , x 0,			y 0, z H .
			2
			R
						ДЗ № 3	Дивергенция. Поток

Сборник задач по математике для втузов: Ч. 3: / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др. / Под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.: ил.; 21 см. - ISBN 5-940520- 34-0.

№

№

п/

по

Задание

Ответ

п

Еф.

1

11.

Найдите div xyi yzj zxk .

x y z

95

Магнитное поле, создаваемое

электрическим током силы I, текущим

11.

по бесконечному проводу, определяется

2

формулой

0

99

yi xj

H

P H

x, y 2I

.

x2 y2

Вычислите div H P .

Найдите поток вектора a 2xi yj

3

11.

через часть поверхности цилиндра

R2 H

88

x2 y2 R2 , 0 x, 0 y, 0 z H в

4

направлении внешней нормали.

Найдите поток вектора

11.

2

i y

2

j z

2

k через часть сферы

R4

4

a x

90

x2 y2 z2 R2 , 0 x, 0 y, 0 z , в

8

направлении внешней нормали.

74

Найдите поток вектора

x

3

i

y

3

j

3

k

через всю

3

11.

a

z

a5

поверхность куба,

103

0 x a, 0 y a, 0 z a в

направлении внешней нормали.

По теореме Остроградского-Гаусса

найдите поток вектора

11.

x

2

yi xy

2

j xyzk через всю

R5

5

a

108

поверхность тела x2 y2

z2

R2 ,

3

x 0,

y 0, z 0 в направлении

внешней нормали.

Найдите поток вектора

x

2

yi xy

2

j

x

2

y

2

zk

через всю

6

11.

a

R4 H

поверхность тела x

2

y

2

R

2

,

109

2

0 z H в направлении внешней

нормали.

7

11.

Найдите rot xyz xi

yj zk .

x z2

y2 i y x2 z2 j

110

8

11.

Найдите ротор поля

a, c , если

2yi 2xj 2 3x 2y k

113

x

2

i

y

2

j

2

k

a

x

и c i j 2k .

По теореме Стокса найдите циркуляцию

2

i x

2

j y

2

k по сечению

11.

вектора a z

4 R3

9

сферы x2 y2

z2

R2 плоскостью

119

3

x y z R

в положительном

направлении орта k .

10

11.

Найдите grad div a , если

xi yj zk

x

3

i

y

3

j

3

k .

127

a

z

11

11.

Найдите rot rot a , если

0

xy

2

i yz

2

j zx

2

k .

128

a

75

8. РАСЧЕТНАЯ РАБОТА

Титульный лист

Министерство образования и науки Российской Федерации

Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина Кафедра высшей математики

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА

МАТЕМАТИКА

Теория поля

Студент

Группа

Преподаватель

Вариант

Дата

Екатеринбург

2012

Вариант 1

Задача 1.1. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S,образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

u 4 ln 3 x 2 8xyz, S : x2 2y 2 2z 2 1, М (1,1,1).

Задача 2.1. Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z) в

	x	3				yz2				1				1
точке М,где v			6y3 3	6z3,u
							, М 2,						,				.
2						x2				2				3

Задача 3.1. Найти векторные линии в векторном поле a , a 4yi 9xj.

Задача 4.1. Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезаемую

плоскостями

P1

и

P2 (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой

данными поверхностями),

2

y

2

1, P1 : z 0, P2 : z 2.

a xi yj zk , S : x

Задача 5.1. Найти

поток

векторного

поля

a

через

часть

плоскости

Р,

расположенную

в

первом

октанте

(нормаль

образует

острый угол с осью

Oz),

a xi yj zk , P : x y z 1.

Задача 6.1. Найти

поток

векторного

поля

a

через

часть

плоскости

P,

расположенную

в

первом

октанте

(нормаль

образует

острый угол с осью

Oz,

y

a 7xi (5 y 2) j 4 zk , P : x

4z 1.

2

Задача 7.1. Найти

поток

векторного

поля

a

через

замкнутую

поверхность

S

(нормаль внешняя).

(e

x

x

y

k , S : x y z 1,

x 0,

y 0,

z 0.

a

2x)i e

j e

Задача 8.1. Найти

поток

векторного

поля

a

через

замкнутую

поверхность

S

(нормаль внешняя).

: x

S

2

y

2

9,

x z,

z 0,

(z 0).

a (x z)i (z y)k ,

Задача 9.1. Найти

поток

векторного

поля

a

через

замкнутую

поверхность

S

(нормаль внешняя).

x

2

S

: z

x

2

y

2

, z 1,

x 0,

y 0,

(первый октант).

a

i xj xzk ,

Задача 10.1.

Найти работу

силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к

точке N.

L : отрезок MN,

M(-4,0), N (0,2).

F (x 2

2y)i ( y 2 2x) j,

Задача

11.1.

Найти

циркуляцию

векторного

поля a

вдоль

контура Г

(в

направлении, соответствующем возрастанию параметра t).

2

2

2

a yi

xj z

k ,

Г : x

cost,

y

cost

,

z sin t.

2

2

Задача 12.1. Найти модуль циркуляции векторного поля a вдоль контура Г .

Г : x2 y2 1, z 1.

a (x2

y) i xj k ,

77

Вариант 2

Задача 1.2. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S,образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

u x y yz; S : 4z 2x2 y2 8, М (2,4,4).

Задача 2.2. Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z) в

		4	6		6		3						1		3
	точке М, где v							,	u x	2 yz	3,М	2,		,		.
			x		9y z								3		2

Задача 3.2. Найти векторные линии в векторном поле a , a 2 yi 3xj.

Задача 4.2. Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезаемую

плоскостями

P1

и

P2 (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой

данными поверхностями),

2

y

2

1, P1 : z 0, P2 : z 4.

a xi yj zk , S : x

Задача 5.2. Найти

поток

векторного

поля

a

через

часть

плоскости

Р,

расположенную

в

первом

октанте (нормаль

образует

острый угол с осью

Oz),

a yj zk , P : x y z 1.

Задача 6.2. Найти

поток

векторного

поля

a

через

часть

плоскости

P,

расположенную

в

первом

октанте (нормаль

образует

острый угол с осью

Oz,

y

z

a 2 xi (7 y 2) j 7 zk , P : x

1.

3

Задача 7.2. Найти

2

поток

векторного

поля

a

через

замкнутую

поверхность S

(нормаль внешняя).

(3z

2

x

2

y

2

z

2

,

z 1,

z 4.

a

x)i (e

2y) j (2z xy)k , S : x

Задача 8.2. Найти			поток		векторного					поля
(нормаль внешняя).
		S : z	3x	2	2y	2	1,	x	2	y	2
a 2xi zk ,

a через замкнутую поверхность S

4,

z 0.

Задача 9.2. Найти

поток

векторного поля

a

через замкнутую поверхность S

(нормаль внешняя).

S : x

(x

2

y

2

2

y

2

2

z

2

)k ,

2

y

2

1, z 0,

z 1.

a

)i (x

) j ( y

Задача 10.2.

Найти работу

силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к

точке N.

F (x2

L : отрезок MN,

M(-4,0), N (0,2).

2y)i (y2 2x) j,

Задача

11.2.

Найти

циркуляцию

векторного

поля a вдоль контура Г (в

направлении, соответствующем возрастанию параметра t).

Г : x 3 4 cost, y 3 4 sin t,

z 3.

a x2 y3i zk ,

Задача 12.2. Найти модуль циркуляции векторного поля a вдоль контура Г .

Г : z 5(x2 y2 ) 1, z 4.

a xz i j yk ,

78

Вариант 3

Задача 1.3. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

u 2ln(x2	5) 4xyz,		S : x2		2y2					2z2 1,						М (1, 1, 1).
Задача 2.3.	Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z) в
				y	3				4z		3			z	3
			x3														1			3
точке М, где v 9 2													, u			, М		, 2,				.
			2		2					3				xy2			3			2

Задача 3.3.

Найти векторные линии в векторном поле a ,

a 2xi 4yj.

Задача 4.3.

Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезаемую

плоскостями P1 и

P2 (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой

данными поверхностями),

S : x

2

y

2

1,

P1 : z 0,

P2 : z 3.

a xi yj 2zk ,

Задача 5.3. Найти

поток

векторного

поля

a

через

часть

плоскости

Р,

расположенную в

первом

октанте

(нормаль

образует

острый угол

с осью Oz),

P : x y z 1.

a 2xi yj zk ,

Задача

6.3.

Найти

поток

векторного поля

a

через

часть

плоскости

P,

расположенную в

первом

октанте

(нормаль

образует

острый угол

с осью Oz,

x

a 9 xi j 3zk ,

P :

y z 1.

3

Задача 7.3. Найти

поток

векторного поля

a

через замкнутую

поверхность

S

(нормаль внешняя).

(e

y

2z)k ,

S :

x

2

y

2

z

2

2x 2y 2z 2.

a (ln

y 7x)i (sin z 2y) j

Задача 8.3. Найти

(нормаль внешняя).

a	2xi	2yj zk ,

поток векторного		поля	a через	замкнутую поверхность S
S : y x2 ,	y 4x2 ,	y 1,	(x 0),	z y, z 0.

Задача 9.3. Найти поток векторного (нормаль внешняя).

	2		2		2	k ,	S : x	2	y	2	z	2
a x		i y		j z

поля a через замкнутую поверхность S

4,

x2 y2 z2 ,

(z 0).

Задача 10.3. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N.

					x	2
F (x2 2y)i ( y2 2x) j,			L :	2			y.	M ( 4, 0),	N (0, 2).
Задача 11.3.				8
	Найти	циркуляцию				векторного поля			a	вдоль контура Г (в
направлении, соответствующем возрастанию параметра t).
				Г : x cost, y sin t, z 2(1 cost).
a (y z)i (z x) j (x y)k ,
Задача 12.3. Найти модуль циркуляции векторного поля a										вдоль контура Г .
		Г : x2	y	2 z2		25,		x2 y2 9	(z 0).
a yz i 2xzj xyk ,

79