Chast_8_Teoria_polya

Вариант 4

Задача 1.4. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

1

2

2

2

2

2

2

1

u

x

e

x

5z

, S :

z

x

4y

4,

М ( 2,

, 1).

2

4

Задача 2.4.

Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z)

в

v

3

4

1

, u

z

1

точке М, где

,

М 1,

2,

.

x3 y

2

x y

6 z

6

Задача 3.4.

Найти векторные линии в векторном поле a ,

a xi 3yj.

Задача 4.4.

Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезаемую

плоскостями

P1 и

P2 (нормаль внешняя к

замкнутой

поверхности, образуемой

данными поверхностями),

3

k ,

S

: x

2

y

2

1,

P1 : z 0,

P2 : z 1.

a xi yj z

Задача 5.4. Найти

поток

векторного

поля

a через

часть

плоскости

Р,

расположенную в

первом

октанте

(нормаль

образует

острый

угол

с осью Oz),

P : x y z 1.

a xi 3yj 2zk ,

Задача

6.4.

Найти

поток

векторного поля

a

через

часть

плоскости

P,

расположенную в

первом

октанте

(нормаль

образует

острый угол

с осью Oz,

x

a (2x 1)i j 3 zk , P :

y 2z 1.

3

Задача 7.4. Найти

поток

векторного поля

a

через замкнутую

поверхность

S

(нормаль внешняя).

2

)k , S : z

2

36(x

2

y

2

),

z 6.

a (cos z 3x)i (x 2y) j (3z y

Задача 8.4.

Найти

поток

векторного

поля

a

через

замкнутую поверхность S

(нормаль внешняя).

S : z

6 x

2

y

2

, z

2

x

2

y

2

(z 0).

a 3xi zj,

Задача 9.4. Найти поток (нормаль внешняя).

	2			S : x	2
a x		i yj zk ,

векторного поля a через замкнутую поверхность S

y2 z2 1,

z 0,

(z 0).

Задача 10.4. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N.

L :

x2 y2 4 (y 0), M (2, 0),

N( 2, 0).

F (x y)i 2xj,

Задача 11.4.

Найти

циркуляцию

векторного поля

a вдоль контура Г (в

направлении, соответствующем возрастанию параметра t).

2

Г : x cost, y (

x

2 sin t) / 2, z (

2 cost) / 2.

a

i

yj zk ,

Задача 12.4. Найти модуль циркуляции векторного поля a

вдоль контура Г .

Г : x2 y2 1,

x y z 1.

a x i yzj xk ,

80

Вариант 5

Задача 1.5. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

u xz2

x3 y,

S :

x2 y2

3z 12 0,

М (2,

2,

4).

Задача 2.5.

Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z)

в

x3

x2

1

1

6z3, u

точке М,

где

v

3

, М

2,

,

.

2

yz2

2

3

Задача 3.5.

Найти векторные линии в векторном поле a ,

a xi 4yj.

Задача 4.5.

Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезаемую

плоскостями

P1

и

P2 (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой

данными поверхностями),

S

: x

2

y

2

1,

P1 : z 0,

P2

: z 5.

a xi yj xyzk ,

Задача 5.5. Найти

поток

векторного

поля

a

через

часть

плоскости

Р,

расположенную

в

первом

октанте

(нормаль

образует

острый угол

с осью Oz),

a 2xi 3yj,

P : x y z 1.

Задача

6.5.

Найти

поток

векторного поля

a

через

часть

плоскости

P,

расположенную

в

первом

октанте

(нормаль

образует

острый угол

с осью Oz,

y

a 7xi 9 yj k ,

P : x

z 1.

3

Задача 7.5. Найти

поток

векторного поля

a

через замкнутую

поверхность

S

(нормаль внешняя).

(e

z

2

)k , S :

2x y z 2,

x 0, y 0, z 0.

a

x)i (xz 3y) j (z x

Задача 8.5. Найти

(нормаль внешняя).

a (z y)i yj xk ,

поток векторного	поля a через замкнутую поверхность S
S : x2 z2 2y,	y 2.

Задача 9.5. Найти поток векторного (нормаль внешняя).

			S : x	2	y	2	1 z,
a	xzi	zj yk ,

поля a через замкнутую поверхность S

z 0.

Задача 10.5. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N.

F x

3

3

L :

x

2

y

2

4 (x 0,

y 0), M (2, 0),

N(0, 2).

i y

j,

Задача 11.5.

Найти

циркуляцию

векторного поля

a

вдоль контура Г (в

направлении, соответствующем возрастанию параметра t).

(z x) j (x y)k ,

Г : x 4cost, y 4 sin t,

z 1 cost.

a ( y z)i

Задача 12.5. Найти модуль циркуляции векторного поля a

вдоль контура Г .

Г : x2 y2 1,

z 5 .

a (x y) i xj zk ,

81

Вариант 6

Задача 1.6. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

u x

yz 2 ,

S :

x2 y2 4z 9,

М (2,

1,

1).

y

Задача 2.6.

Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z)

в

y

2

z

2

1

2

2 x2

2 z2 , u

точке М, где

v 3

3

,

М

, 2,

.

2

xy2

3

3

Задача 3.6.

Найти векторные линии в векторном поле a ,

a 3xi 6zk.

Задача 4.6.

Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезаемую

плоскостями

P1

и

P2 (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой

данными поверхностями),

z

2

k ,

S

: x

2

y

2

1,

P1 : z 0, P2 : z 2.

a (x y)i (x y) j

Задача 5.6. Найти

поток векторного поля a через

часть

плоскости

Р,

расположенную

в

первом

октанте (нормаль

образует

острый

угол

с осью Oz),

x

a xi yj zk ,

P

:

y z 1.

2

Задача

6.6.

Найти

поток

векторного

поля

a

через

часть

плоскости

P,

расположенную

в

первом

октанте (нормаль

образует

острый угол

с осью Oz,

z

a i 5yj 11 zk ,

P : x y

1.

3

Задача 7.6. Найти

поток векторного

поля

a

через

замкнутую

поверхность

S

(нормаль внешняя).

x

x

2

y

2

z

2

,

z 1, z 2.

a (6x cos y)i (e

z) j (2y 3z)k , S :

Задача 8.6. Найти поток векторного (нормаль внешняя).

			S : x	2	y	2	1,
a xi (x 2y) j yk ,

поля a через замкнутую поверхность S

z 0, x 2y 3z 6.

Задача 9.6. Найти

поток векторного

поля

a

через замкнутую поверхность S

(нормаль внешняя).

S : x y z 2,

x 1,

x 0,

y 0, z 0.

a 3xzi 2xj yk ,

Задача 10.6.

Найти работу

силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к

точке N.

y x2 ,

L :

M ( 1, 1),

N (1, 1).

F (x y)i (x y) j,

Задача 11.6.

Найти

циркуляцию

векторного

поля

a вдоль контура Г (в

направлении, соответствующем возрастанию параметра t).

Г : x 2cost, y 2 sin t,

z 2 2 cost 2 sin t.

a 2yi 3xj xk ,

Задача 12.6. Найти модуль циркуляции векторного поля a

вдоль контура Г .

2

k ,

Г : z 3(x

2

y

2

) 1, z 4 .

a y i xj z

82

Вариант 7

Задача 1.7. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

u 7ln(

1

x2 ) 4xyz,

S : 7x2

4y2

4z2

7,

М (1, 1, 1).

13

Задача 2.7.

Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z) в

xz2

1

1

x3 6

6 y3 2z3, u

точке М,

где

v 6 6

,

М

,

, 1 .

y

6

6

Задача 3.7.

Найти векторные линии в векторном поле a ,

a 4zi 9xk.

Задача 4.7.

Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезаемую

плоскостями

P1 и

P2 (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой

данными поверхностями),

S : x

2

y

2

1,

P1 :

z 0,

P2 :

z 4.

a (x y)i (x y) j xyzk ,

Задача 5.7. Найти

поток векторного поля a через

часть плоскости

Р,

расположенную в

первом октанте (нормаль образует

острый

угол

с осью

Oz),

x

a xi 2yj zk ,

P :

y z 1.

2

Задача 6.7.

Найти

поток

векторного поля

a

через

часть

плоскости P,

расположенную в

первом октанте (нормаль образует

острый

угол

с осью

Oz,

y

z

a xi ( z 1)k ,

P : 2x

1.

2

3

Задача 7.7. Найти		поток		векторного				поля
(нормаль внешняя).					3z
a (4x 2y2 )i (ln z 4y) j (x							)k ,			S :
					4
Задача 8.7.	Найти	поток		векторного					поля
(нормаль внешняя).			S : z x
					2	3y			2	1,
a 2(z y)i (x z)k ,

a через замкнутую поверхность S

x2 y2 z2 2x 3.

a через замкнутую поверхность S

z 0, x2 y2 1.

Задача 9.7. Найти поток векторного (нормаль внешняя).

	2		2		2	k ,	S : x	2	y	2	z	2
a x		i y		j z

поля a через замкнутую поверхность S

2, z 0 (z 0).

Задача 10.7. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N.

F x

2

L : отрезок MN,

M ( 1, 0),

N (0, 1).

yi yj,

Задача 11.7.

Найти

циркуляцию

векторного

поля

a вдоль контура Г (в

направлении, соответствующем возрастанию параметра t).

xj yk ,

Г : x 2cost, y 2 sin t,

z 1.

a 2zi

Задача 12.7. Найти модуль циркуляции векторного поля a

вдоль контура Г .

y

2

k ,

Г : x

2

y

2

z

2

25, x

2

y

2

16

(z 0).

a yz i

2xzj

83

Вариант 8

Задача 1.8. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

u arctg(y / x) xz,

S :

x2 y2

2z 10,

М (2,

2,

1).

Задача 2.8.

Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z)

в

2

yz

2

1

1

1

v

6

6

u

М

точке М, где

,

,

,

,

.

2x

x

2

2

2y 3z

3

Задача 3.8.

Найти векторные линии в векторном поле a ,

a 2zi 3xk.

Задача 4.8.

Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезаемую

плоскостями

P1

и

P2 (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой

данными поверхностями),

(x

3

xy

2

3

x

2

2

k ,

S

: x

2

y

2

1,

P1 : z 0, P2 : z 3.

a

)i ( y

y) j z

Задача 5.8. Найти

поток

векторного

поля

a

через часть плоскости Р,

расположенную

в

первом

октанте

(нормаль

образует

острый угол

с осью Oz),

x

a yj 3zk , P

:

y z 1.

Задача

6.8.

2

Найти поток

векторного поля

a

через часть

плоскости

P,

расположенную

в

первом

октанте

(нормаль

образует

острый угол

с осью Oz,

x

y

z

a 5 xi (9y 1) j 4 zk ,

P :

1.

2

2

Задача 7.8. Найти

3

поток

векторного

поля

a через замкнутую поверхность

S

(нормаль внешняя).

S :

z

2

4(x

2

y

2

)

z 3.

a (1

z )i (4y

x) j xyk ,

Задача 8.8. Найти поток векторного (нормаль внешняя).

			S :	z 4 2(x	2	y	2	),
a xi zj yk ,

поля a через замкнутую поверхность S

z 2(x2 y2 ).

Задача 9.8. Найти

(нормаль внешняя).

	3		3		3	k ,
a x		i y		j z

поток векторного поля a через замкнутую поверхность S

S : x2 y2 z2 1.

Задача 10.8. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N.

			L : x2 y2	9 (y 0),	M (3, 0),		N( 3, 0).
F (2xy y)i (x2 x) j,
Задача 11.8. Найти		циркуляцию		векторного	поля	a	вдоль контура Г (в
направлении, соответствующем возрастанию параметра t).
	Г : x cost, y sin t,			z 3.
a yi xj zk ,
Задача 12.8. Найти модуль циркуляции векторного поля a						вдоль контура Г .
		Г : x2 y2 9,		x y z 1.
a xy i yzj xzk ,

84

Вариант 9

Задача 1.9. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

u ln(1 x2 ) xy

,

S :

4x2 y2

z2 16,

М (1,

2,

4).

z

Задача 2.9.

Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z)

и v(x,y,z)

в

y

2

xy

2

1

2

x2

2 z2 , u

точке М, где v 3 2

3

, М

, 2,

.

2

z2

3

3

Задача 3.9.

Найти векторные линии в векторном поле a ,

a 4yj 8zk.

Задача 4.9.

Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезаемую

плоскостями P1 и P2 (нормаль внешняя

к

замкнутой

поверхности,

образуемой

данными поверхностями),

S

: x

2

y

2

1,

P1 :

z 0,

P2 :

z 5.

a xi yj sin z k ,

Задача 5.9. Найти

поток

векторного

поля

a

через

часть

плоскости

Р,

расположенную

в

первом

октанте

(нормаль

образует

острый

угол

с

осью Oz),

y

z

a xi yj zk ,

P

: x

1.

3

Задача

6.9.

2

Найти

поток

векторного поля

a

через

часть

плоскости

P,

расположенную

в

первом

октанте

(нормаль

образует

острый

угол

с осью Oz,

3

x

z

a 2i yj

zk ,

P

:

y

1.

4

2

3

Задача 7.9. Найти

поток

векторного поля

a

через

замкнутую

поверхность

S

(нормаль внешняя).

2

z)k ,

S : 3x 2y z 6

x 0,

z 0.

a (

z x)i (x y) j (y

Задача 8.9. Найти

(нормаль внешняя).

a	zi	4yj 2xk ,

поток векторного поля a через замкнутую поверхность S

S : z x2 y2 , z 1.

Задача 9.9.

Найти

поток

векторного

поля

a

через замкнутую поверхность S

(нормаль внешняя).

S : x

2

y

2

)k ,

2

y

2

z

2

1,

z 0 (z 0).

a (zx y)i (zy x) j (x

Задача 10.9. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N.

			L : x2		y	2
F (x y)i (x y) j,
				9

1	(x 0, y 0), M (1, 0), N (0, 3).

Задача 11.9. Найти				циркуляцию векторного поля		a вдоль контура Г (в
направлении, соответствующем возрастанию параметра t).
		2	Г : x cost, y 2sin t, z 2cost 2sin t 1.
a xi z		j yk ,
Задача 12.9. Найти модуль циркуляции векторного поля a						вдоль контура Г .
				Г : x2 y2 z2 4, x2 y2 1	(z 0).
a y i (1 x) j zk ,

85

Вариант 10

Задача 1.10. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

u

x2 y2

z,

S : x2 y2

24z 1, М (3, 4, 1).

Задача 2.10. Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z) в

3

4

1

x3 y

2

1

точке М, где

v

,

u

,

М 1,

2,

.

x

y

z

6z

6

Задача 3.10.

Найти векторные линии в векторном поле a ,

a yj 3zk.

Задача 4.10.

Найти

поток векторного

поля

a

через

часть

поверхности S,

вырезаемую плоскостями

P1 и P2 (нормаль внешняя к замкнутой поверхности,

образуемой данными поверхностями),

S

: x

2

y

2

1,

P1 : z 0,

P2 : z 1.

a xi yj k ,

Задача 5.10. Найти поток векторного

поля a через часть плоскости Р,

расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz),

y

z

a 2xi yj zk , P : x

1.

2

Задача

6.10.

3

Найти

поток

векторного

поля

a

через

часть

плоскости P,

расположенную

в

первом

октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz,

z

a 9 xi (5y 1) j 2 zk ,

P : 3x y

1.

9

Задача 7.10. Найти поток векторного (нормаль внешняя).

		(x	2		2	z)k ,	S :
a (yz x)i				y) j (xy

поля a через замкнутую поверхность S

x2 y2 z2 2z.

Задача 8.10. Найти поток векторного поля a			через замкнутую поверхность S
(нормаль внешняя).
	S : 3x 2y 12,	3x y 6,	x y z 6, z 0.
a 4xi 2yj zk ,

Задача 9.10. Найти поток векторного (нормаль внешняя).

	2		2		2	z k ,	S : x	2	y	2	z	2
a y		xi z		yj x

поля a через замкнутую поверхность S

1.

Задача 10.10 . Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N.

L : x2

y2 1 ( y 0),

M (1, 0), N ( 1, 0).

F yi xj,

Задача 11.10. Найти циркуляцию

векторного поля a

вдоль контура Г (в

направлении, соответствующем возрастанию параметра t).

Г : x 3cost, y 3sin t, z 3 3cost 3sin t.

a 3yi 3xj xk ,

Задача 12.10. Найти модуль циркуляции векторного поля a

вдоль контура Г .

z

2

k ,

Г : x

2

y

2

1,

z 4.

a y i xj

86

Вариант 11

Задача 1.11. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

u x		(z y)		,	S : x2 y2 z2	4,	М (1, 1, 2).
	y		x

Задача 2.11. Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z) в

4 2			2			1			1				1		1
точке М, где v								, u		,	М	2,		,				.
	x
			9y			3 x			x2 yz				3			6

Задача 3.11. Найти векторные линии в векторном поле a , a 2xi 8zk.

Задача 4.11. Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями),

(x xy

2

( y yx

2

(z 3) k ,

S :

x

2

y

2

z

2

(z 0),

P : z 1.

a

)i

) j

Задача

5.11.

Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р,

расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz),

y

z

a 3xi 2zk ,

P : x

1.

2

3

Задача

6.11.

Найти

поток

векторного

поля

a

через

часть

плоскости

P,

расположенную в

первом октанте (нормаль

образует

острый угол

с осью Oz,

z

a 7 xi 2 yj (7z 2)k ,

P

: x y

1.

2

Задача 7.11.

Найти

поток векторного

поля

a

через

замкнутую поверхность

S

(нормаль внешняя).

(e

2 y

2

3z)k ,

S :

x y z 1,

x 0,

y 0,

z 0,.

a

x)i

(x 2y) j (y

Задача 8.11.

Найти

поток

векторного

поля

a

через

замкнутую поверхность S

(нормаль внешняя).

S : x

y 1,

x 0,

y 0,

z x

2

y

2

,

z 0.

a 8xi 2yj xk ,

Задача 9.11. Найти

(нормаль внешняя).

	2		2		2	k ,
a x		i y		j z

поток	векторного поля a		через	замкнутую поверхность S
S : x2	y2 z2 1,	x 0,	y 0,	z 0 (первый октант).

Задача 10.11 . Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N.

F (x

2

y

2

2

y

2

2 x (1 x 2), M (2, 0), N (0, 0).

)i (x

) j, L : x (0 x 1);

Задача 11.11. Найти

циркуляцию векторного

поля a

вдоль контура Г (в

направлении, соответствующем возрастанию параметра t).

2

3

Г : x

y

2 cost, y

2 sin t,

z 1.

a x

i

2 j xzk ,

Задача 12.11. Найти модуль циркуляции векторного поля a

вдоль контура Г .

Г : z 2(x2 y2 ) 1,

z 7.

a 4x i 2 j xyk ,

87

Вариант 12

Задача 1.12. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

u			4 z2 ,	S : z x2 y2 , М (1, 1, 0).
	xy

Задача 2.12. Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z) в

												x	2
	6		2		3 3															3
точке М, где v
											u			, М
								,								2, 2,							.
	x	y		2 2 x								y2 z3								2

Задача 3.12. Найти векторные линии в векторном поле a , a xi 3zk.

Задача 4.12. Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями),

S :

x

2

y

2

z

2

(z 0),

P :

z 4.

a yi xj k ,

Задача

5.12.

Найти

поток

векторного поля a через часть плоскости Р,

расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz),

x

z

a 2xi 3yj zk ,

P :

y

1.

3

2

Задача

6.12.

Найти

поток

векторного

поля

a

через часть

плоскости

P,

расположенную в

первом

октанте (нормаль

образует

острый

угол

с осью Oz,

y

z

a yj (4 2z)k ,

P : 2x

1.

3

4

Задача 7.12. Найти поток векторного поля

a

через

замкнутую поверхность

S

(нормаль внешняя).

x

2

2

2

y x k , S :

x

y

z

,

z 2,

z 5.

a (

z 2x)i (e

3y) j

Задача 8.12. Найти

(нормаль внешняя).

			S :
a zi xj zk ,

поток векторного поля a через замкнутую поверхность S

4z x2 y2 ,

z 4.

Задача 9.12. Найти

(нормаль внешняя).

	2
a x		i xy j 3z k ,

поток векторного	поля a через замкнутую поверхность S
S : x2 y2 z2 ,	z 4 .

Задача 10.12 . Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N.

2

y2 2

L : x

( y 0),

M ( 2, 0),

N (

2, 0).

F yi xj,

Задача 11.12. Найти

циркуляцию

векторного

поля

a

вдоль контура Г (в

направлении, соответствующем возрастанию параметра t).

Г : x 3cost, y 3sin t, z 3.

a 6z i x j xyk ,

Задача 12.12. Найти модуль циркуляции векторного поля a

вдоль контура Г .

z

2

k ,

Г : x

2

y

2

z,

z 1.

a 2y i 3x j

88

Вариант 13

Задача 1.13. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S,образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

u (x2 y2 z 2 )3 / 2 , S : 2x2 - y2 z2 7 0, M (0, 3,4).

Задача 2.13. Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z)

1

1

в точке М,где v x2

9y 2 6z 2 ,u xyz, M 1,

,

.

3

6

Задача 3.13.

Найти векторные линии в векторном поле a ,a 4zj 9yk.

Задача 4.13.

Найти поток векторного поля a через часть поверхности S,

вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой

данными поверхностями),

2

, S : x

2

y

2

z

2

(z 0),

P : z 1.

a

xyi x

j 3k

Задача 5.13.

Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р,

расположеннную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz),

a xi 3yj zk , P : x / 3 y z / 2 1.

Задача 6.13.

Найти поток векторного поля a через часть плоскости P,

расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz,

x

y

z

a (3 1)xi (9 y 1) j 6 zk , P

:

1.

2

3

9

Задача 7.13.

Найти поток векторного поля

a через замкнутую поверхность S

(нормаль внешняя).

x

z

2

2

2

a (e

x / 4)i (ln x y / 4) j

k , S

: x

y

z

2x 2y 2z 2.

Задача 8.13.

4

Найти поток векторного поля

a через замкнутую поверхность S

(нормаль внешняя).

S : z

zk ,

3 2(x

2

y

2

),

z

2

x

2

y

2

(z 0).

a 6xi 2yj

Задача 9.13.

Найти поток векторного поля

a через замкнутую поверхность S

(нормаль внешняя).

x

2

yz)k ,

S :

2

y

2

2, z 0, z 1.

a

(zx y)i (xy z) j (x

Задача 10.13. Найти работу

силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к

точке N.

L : x2 y2

1

(x 0, y 0), M(1,0), N (0,1).

F xyi 2 yj,

Задача 11.13.

Найти

циркуляцию

векторного

поля a вдоль контура Г (в

направлении, соответствующем возрастанию параметра t).

2

Г : x

y

2 cos t, y 2 sin t, z

2 cos t.

a zi

j xk ,

Задача 12.13. Найти модуль циркуляции векторного поля a вдоль контура Г .

Г : x2 y 2 4, x 3y 2z 1.

a 3zi y

2 j 2yk ,

89