Chast_8_Teoria_polya

Аналогичные формулы получаются при проектировании на другие координатные плоскости для поверхностей вида x f ( y, z) и y f (x, z) .

Проектирование на три координатные плоскости

Поверхность задана неявно уравнением F x, y, z 0 .

Fx

Fy

Fz

n

n0

;

;

.

n

Fx

2

Fy

2

Fz

2

Fx

2

Fy

2

Fz

2

Fx

2

Fy

2

Fz

2

n0 cos ,cos ,cos .

,az ,

a n0 ax cos ay

cos az cos ,

a ax ,ay

a n0 d = ax cos d ay cos d az cos d .

(a d ) ax (x,(y,z), y,z)dydz ay (x, y(x, z), z)dxdz az (x, y, z(x, y))dxdy

Dyz

Dxz

Dxy

.

Знаки перед слагаемыми соответствуют знакам направляющих косинусов нормали cos ,cos ,cos .

Дивергенция векторного поля

ax (x, y, z)

ay (x, y, z)

az

(x, y, z)

diva

,

x

ay

y

z

ax

az

или

diva

,

diva ( a) .

x

y

z

Свойства дивергенции

1

div(λa μb) λdiva μdivb

2

div(u a) u diva (a grad u)

Теорема Остроградского - Гаусса

Поток векторного поля a через внешнюю сторону замкнутой

a		x		ay		a	z
поверхности равен тройному интегралу от функции									по
				y		z
	x

области G, ограниченной поверхностью :

ay

ax

az

(a

d )

(a n0 )d

div a dxdydz

dxdydz ,

x

y

z

G

V

где символ

обозначает интеграл по замкнутой поверхности.

110

Соленоидальное поле

Векторное поле a a(P) называется соленоидальным, если div(a) 0 .

Свойства соленоидального поля

1Соленоидальные поля не имеют источников и стоков.

Поток a через любую замкнутую поверхность равен нулю:

2	П
		(a	d ) diva dV 0 .
			G
	В соленоидальном поле векторные линии не могут начинаться или

3кончаться во внутренней точке поля, они либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля.

4

Поток векторного поля через поперечное сечение векторной трубки в соленоидальном поле остаётся постоянным вдоль всей трубки.

			Линейный интеграл в векторном поле
			ax dx ay dy az dz = ax (x, y, z)dx ay (x, y, z)dy az (x, y, z)dz .
(a	dr )
AB		AB	AB
			Свойства линейного интеграла

1

2

3

(( a b) dr ) =				(a	dr )+			(b dr ).
AB				AB				AB
(a	dr ) =	(a dr ) +			(a	dr ).
AB		AC		CB
(a	dr ) =	(a	dr ) .
AB		BA

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией

векторного поля по замкнутому контуру: C (a dr ).

					L
		Вычисление линейного интеграла
	Пусть AB L и кривая L задана параметрическими уравнениями:
					x x(t)
				L : y y(t) ,
		x x(t			z z(t)	x x(t )
					)
при t	t0		0	0		1	1
		имеем точку A: y0		y(t0 ) , при t t1		B : y1	y(t1) , тогда
		z	0	z(t	)	z	z(t )
				0		1	1
(a	dr ) = ax (x, y, z)dx ay (x, y, z)dy az (x, y, z)dz =
AB		AB

111

	t1
=		ax (x(t), y(t), z(t)) x(t)
	t0

	ay (x(t), y(t), z(t)) y az (x(t), y(t), z(t)) z			dt , где

обозначения x, y, z означают дифференцирование по переменной t.

Ротор (вихрь) векторного поля

az

ay

ax

az

ay

ax

rota i

j

k

y

z

z

x

x

y

Сиспользованием оператора набла, rota a .

		i		j		k
В виде символического определителя rota
		x		y		z
		ax		ay		az

Свойства ротора (вихря)

rot( a b) rota rotb , иначе

a b

a

.

1

2

Пусть u u(x, y, z) . rot(u a) grad u a u rot a .

.

В векторных обозначениях: (ua)

u a

u a

(a

dr ) (rot a

d ) , поток вектора rot a через

L

Теорема Стокса ориентированную поверхность равен циркуляции поля a по границе поверхности L, ориентированной в соответствии с ориентацией

Для того чтобы циркуляция вектора равнялась нулю,

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

Условия Стокса

a

ay

a

x

a

z

ay

a

rot a 0 , иначе

z

;

;

x

.

z

x

y

z

x

y

Потенциальное векторное поле

Векторное поле a называется

потенциальным,

если

оно является

градиентом некоторого скалярного поля (функции) u u(P) , т.е. a grad(u) .

Свойства потенциального поля

112

	Циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру, лежащему
1	в области непрерывности потенциального поля, равна нулю.
	По теореме Стокса (a	dr )= (rota d ) 0 .
	L		Q

Линейный интеграл в потенциальном поле не зависит от пути

2интегрирования и равен разности потенциалов поля в конечной и начальной точках интегрирования.

Условия потенциальности поля

Для того чтобы векторное поле a a(P) в некоторой односвязной области G было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т.е. rot a 0 .

Вычисление потенциала поля

u		ax dx ay dy az dz , где А(x0, y0, z0) - фиксированная
	AP

точка поля, а Р(x,y,z) - текущая точка поля. Линейный интеграл вычисляется по любому контуру дуги L : AP , важно лишь положение начальной и конечной точек. Наиболее удобен для вычисления контур в виде ломаной, звенья которой параллельны осям координат.

P(x,y,z)

A(0,0,0)

P1(x,0,0) P2(x,y,0)

x y z

u(x, y, z) ax (x, y0 , z0 )dx ay (x, y, z0 )dy az (x, y, z)dy .

x0

y0

z0

Дифференциальные операции

Оператор Гамильтона, или

символический вектор “набла”

i

j

k

;

;

y

x

y

z

x

z

Дифференциальные операции второго порядка

Оператор

2

2

2

2

Лапласа

( ) ( )

x2

y2

z2

Таблица дифференциальных операций второго порядка

Скалярное поле

Векторное поле

grad

div

rot

grad

grad (diva)

div

div(grad(u)) u

div(rot(a)) 0

rot

rot(grad (u)) 0

rot(rot(a)) grad (diva) a

113

10.БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Вся высшая математика / М.Л. Краснов [и др.]. М.: Едиториал УРСС. 2003,Т.1.

2.Ильин В.А. Курс математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк.

М: Наука, 1998, Т.1.

3.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев.

М.: Высшая школа. 1988. Т.1.

4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления /

Н.С. Пискунов. М.: Интеграл-Пресс, 2001. Т.2.

5.Будак Б.М. Кратные интегралы и ряды / Б.М. Будак, С.В. Фомин.

М.: Наука, 1967.

6.Сборник задач по математике для втузов/ под ред. А.Ф Ефимова,

Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1993. Ч. 2.

7.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике / Л.А. Кузнецов.

М.: Высшая школа, 1994.

114