MatAn_thory

2). Гамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

Г

p

p

.

1 p Г

Действительно, запишем Г p 1

и применим формулу интегрирования по частям

u

xp,

du p xp 1dx

Г p 1 x p e xdx

x

dx,

x

xpe x

0 p xp 1e xdx p Г p .

0

dv e

v e

0

Здесь мы воспользовались правилом Лопиталя при p 0:

x

p

p x

p 1

p!

lim

xp e x

lim

lim

... lim

0.

e

e

x

x

x

x

x

x

e

x

3). Пусть p n . Тогда справедлива формула приведения

Г

p

p 2

Г

p n

.

p 1

...

p n

Для ее вывода достаточно применить рекуррентное соотношение n раз:

Г p p 1 Г p 1 p 1 p 2 Г p 2 ... p 1 p 2 ... p n Г p n .

4). Значения гамма-функции целого аргумента

Г	n 1	n!	.

Действительно, по формуле приведения Г n 1 n n 1 n 2 ...1 Г 1 n! Г 1 ,

при этом Г 1 x0 e xdx e xdx e x 0 1 .

0 0

Замечания

1. В справочниках приведены таблицы значений гамма-функции для p 1, 2 .

Для p 2 значения гамма-функции могут быть вычислены с помощью формулы приведения, например Г 4,6 3,6 2,6 Г 1,6 .

2. Для 0 p 1 можно воспользоваться рекуррентным соотношением в виде Г p Г p 1 ; например, Г 0,6 Г 1,6 .

p

0,6

3. Гамма-функцию удобно использовать для вычисления интегралов вида

x p 1e xdx, например x4 e xdx Г 5 4! 24 .

0

0

91

Библиографический список

1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике./Д.Т. Письменный.

Ч.1. М.: Айрис-пресс, 2003. 288 с.

2.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа./Г.М. Фихтенгольц. Ч.1.

СПб: Изд-во «Лань», 2004. 448 с.

3.Никольский С.М. Курс математического анализа./С.М. Никольский. М.: Физ-

матлит, 2001. 592 с.

4.Краснов М.Л. Вся высшая математика./М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. Ч.1. М.: Эдиториал УРСС, 2004. 352 с.

5.Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов./И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. М.: Наука, 1980. 946 с.

6.Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа./Г.Н. Берман.

М.: Наука, 2002. 443 с.

7.Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа/ под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича М.: Наука, 1996. 464 с.

8.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/ под ред. Б.П. Демидовича. М.: «Изд-во Астрель», 2003. 495 с.

9.Минькова Р.М. Математический анализ. Часть 1. / Р.М. Минькова. Екатеринбург: УГТУ–УПИ, 2004. 80 с.

10.Минькова Р.М. Математический анализ. Часть 2. / Р.М. Минькова. Екатеринбург: УГТУ–УПИ, 2005. 68 с.

92

Учебное издание

Ревекка Максовна Минькова

Математический анализ

Редактор Н.П. Кубыщенко

Компьютерная верстка Р.М. Миньковой

Подисано в печать 18.11. 2012			Формат 60 84 1 16
Бумага типографская		Офсетная печать	Усл. печ.л. 5,59
Уч.-изд. л. 5,3	Тираж 150 Заказ		Цена С

Редакционно-издательский отдел УрФУ 620002, Екатеринбург, Мира, 19

93