MatAn_thory

7.8.Производная обратной функции

Теорема 7.3. Пусть функция y f x монотонна и дифференцируема на интер-
вале a,b , причем y x 0 . Тогда обратная функция				x f 1 y				дифференциру-
ема и ее производная вычисляется по формуле	xy			1	.
			yx
Доказательство. По определению производной	xy	lim				x	. Функция y f x
		y 0				y
дифференцируема и, значит, непрерывна. Тогда обратная функция								x f 1 y также

является непрерывной по теореме 6.3. Поэтому ее приращение x 0								при y 0 и
xy	lim	x	lim	1		1	.
	y 0 y		x 0 y/ x			yx

Следствие. Формулы для производных обратных тригонометрических функций:

		1											1									1											1
arcsin x				,	arccosx											, arctgx					1 x2						,			arcctgx			1 x2				.
		1 x2											1 x2
Выведем первую из этих формул. Рассмотрим функцию x sin y,																															y			,			.
																																2
																																		2
Эта функция монотонна,						дифференцируема и xy													cos y 0											на рассматриваемом
интервале. Поэтому обратная функция															y arcsinx				дифференцируема, причем
							1			1						1				1					.
					yx
							xy		cos y
															1 sin2 y
																				1 x2
Перед корнем взят знак плюс, так как cos y 0 при																			y
																											,			.
																						2					2
Аналогично выводится формула для производной arctg x. Кроме того,
arcsinx arccosx			, arctgx arcctg x										arccosx arcsinx																, arcctgx			arctgx .

22

7.9.Гиперболические функции и их производные

Вматематике, механике, электротехнике используются гиперболические синус, косинус, тангенс и котангенс, определяемые следующим образом:

shx

ex e x

,

chx

ex e x

,

th x

shx

,

cth x

ch x

.

sh x

2

2

ch x

Отметим следующие свойства гиперболических функций:

1)ch2 x sh2 x 1,

2)sh x y sh x ch y ch x sh y ,

3)ch x y ch x ch y sh x sh y ,

4)	sh2x 2sh x ch x ,			ch2x ch2 x sh2 x,
						1					1
5)	sh x	ch x,	ch x	sh x,	th x		ch2 x	,	cth x		sh2 x	.
					31

Проверим, например, первое и пятое свойства:

x

e

x 2

x

e

x 2

e2x

2 e 2x

e2x 2 e 2x

1,

ch

2 x sh

2 x

e

e

2

2

4

ex

e x

ex e x

shx

chx.

2

2

Воспользовавшись первым свойством, можно записать уравнение гипер-

	болы	x2		y2	1 в параметрическом виде:	x acht,	y bsht .
		a2		b2

Таким образом, свойства гиперболических функций похожи на свойства тригонометрических функций; кроме того они определяют параметрические уравнения гиперболы. Отсюда происходит их название.

7.10. Таблица производных

Рассмотренные правила и формулы дифференцирования запишем в виде таблицы.

Правила дифференцирования

1. u v u v ,

2.

uv

,

в частности,

c u

c

, где с − число,

uv

uv

u

u

uv

c

c

3.

,

в частности,

, где с − число,

v2

v2

4.

v

где

y y u ,

v

yx

yu ux ,

u u x ,

5.

1

0).

yx

xy

(xy

Формулы дифференцирования

xa

1

1

1

1.

a xa 1,

в частности,

,

x

;

x

2

x

2

x

2.

ax ax lna,

в частности,

ex ex ;

1

1

3.

loga

x

, в частности,

ln x

;

xlna

x

4.

sin x

sin x

;

cosx,

cosx

1

1

5.

tg x

cos2 x

,

ctg x

sin2 x

;

1

1

6.

arcsin x

,

arccosx

1 x2

;

1 x2

1

1

7.

arctg x

1 x2

,

arcctg x

1 x2

;

1

1

8.

sh x

ch x,

ch x sh x ;

th x

ch2 x

,

cth x

sh2 x

.

32

7.11. Производные высших порядков

Пусть

y f x

− дифференцируемая функция. Производная

y

f x

так-

же является функцией от x. Ее производная

, если она существует, назы-

y x

вается производной второго порядка и обозначается

y

x

, или f

x

,

или

d2 f

dx2 .

y x ,

y

4

x ,… Итак,

Аналогично y x

y x

y

n

x y

n 1

.

x

Пример 7.8. Найти формулу для производной

n−го порядка функции

y sinx.

Решение.

y sinx

,

,

cosx

sin x

y cos x

sin x

2

2

2

2

n

sin x

n

y cos x

2

sin x

3

,…., y

sin x

n

.

2

2

2

7.12. Функции, заданные параметрически, и их производные

Пусть зависимость между аргументом x и функцией y задана при помощи уравнений через вспомогательную переменную t , называемую параметром:

			x x t ,				y y t ,				(7.5)
Будем предполагать, что функция x x t						имеет обратную функцию t t x . То-
гда равенства (7.5) определяют сложную функцию									y y t x		аргумента x, за-
данную параметрическими уравнениями (7.5).
Теорема 7.4. Пусть функция		y y x		задана параметрическими уравнениями
x x t , y y t , где x t , y t		дифференцируемые функции,									причем x t 0.
Тогда функция	y y x – дифференцируема и								yt	.
								yx
									xt
Если функции	x t , y t дважды дифференцируемы, то существует производ-
							t
					yx			.
ная второго порядка yxx, причем			yxx			xt

Доказательство. Как уже отмечалось, равенства (7.5) определяют сложную функцию y y t , где t t x . По правилу дифференцирования сложной функ-

ции и обратной функции

1

yt

.

yx yt

tx

yt

xt

xt

1

Аналогично

yxx yx x

yx t

tx

yx t

.

xt

Пример 7.9. Найти yx,

yxx

для функции

y x , заданной параметрическими

уравнениями

x cos3 t,

y sin3 t.

Решение. Используем полученные формулы:

33

yt

3sin2 t cost

tgt t

1

1

tgt ,

cos2 t

.

yx

yxx

xt

3cos

2 t sint

xt

3cos

2 t sint

3cos

4 t sint

7.13. Дифференциалы высших порядков

Пусть y y x дифференцируемая функция независимого аргумента x.

Тогда дифференциал функции d y x y x dx , причем		dx x не зависит от x.
Дифференциал d y x при фиксированном dx	является	функцией от x. Поэто-
му можно рассмотреть дифференциал от этой функции			d d y x , который
называется дифференциалом второго порядка	функции		y x и обозначается

d2 y x . Аналогично определяются дифференциалы третьего и более высоких порядков.

Определение дифференциалов высших порядков

d2 y d dy , d3y d d2y , ,d n y d d n 1 y при фиксированном dx.

Вычисление дифференциалов высших порядков

Выведем формулы для вычисления дифференциалов высших порядков:

d2y d dy d y dx d y dx y dx dx y dx 2 , то есть

		d2y y dx 2	.		(7.6)
Аналогично вычисляется дифференциал любого				n−го порядка:
	dn y y n x dx n			.	(7.7)

Дифференциалы сложной функции

Приведенные выше формулы справедливы только, если x независимая переменная. Теперь рассмотрим случай, когда y f x , где x x t зависимая

переменная. Тогда функция y f x t сложная функция аргумента t и для ее дифференциала получим dy yt dt yx xt dt yx xt dt yx dx. Таким образом,

Форма дифференциала первого порядка dy yx dx имеет один и тот же вид

(то есть инвариантна) и в случае, когда x зависимое переменное, и в случае, когда x независимое переменное.

Если x зависимое переменное, то в формуле dy yx dx множитель dx								являет-
ся функцией: dx x t dt. Поэтому для вычисления дифференциала второго
порядка используем формулу d uv v du u dv .							Тогда
d2y d dy d yx dx d yx dx yx d dx yxx dx dx yx d2x, то есть
d	2		(dx)	2		2	x .	(7.8)
		y yxx			yx d
			34

Эта форма записи d 2 y отличается вторым слагаемым от формы записи (7.6) для случая независимой переменной x, то есть форма записи второго дифференциала неинвариантна. Если же x at b линейная функция, то d 2x x t dt 0 и формулы (7.6) и (7.8) совпадают.

Форма дифференциала второго порядка d 2 y x инвариантна, если x − ли-

нейная функция, и неинвариантна в остальных случаях.

8. Теоремы о среднем

8.1.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение. В их формулировке фигурирует некоторая «средняя» точка, поэтому их называют теоремами о среднем.

Теорема Ролля. Пусть функция		f x
1)	непрерывна на отрезке a,b ,	2) дифференцируема на интервале	a,b ,
3)	на концах отрезка принимает равные значения f a f b .
Тогда найдется хотя бы одна точка		c a,b , в которой производная	f x	об-
ращается в нуль, т.е. f c 0.
Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке, функция				f x

на отрезке a,b принимает наибольшее значение M и наименьшее значение m . Возможны два случая.

а). Если M m, то функция f x постоянна на a,b и, значит, ее производная

f x 0 в любой точке отрезка a,b .

б). Если M m, а по условию f a f b , то функция

f x хотя бы одно из зна-

чений M или m принимает внутри отрезка a,b

в точке c a,b . Пусть, напри-

мер, f c m . Тогда

f c f c x

для любых достаточно малых x . Поэтому

f c f c x f c 0 и

f c

0 при x 0,

f c

0

при x 0.

x

x

Таккакфункция f x

дифференцируема в точке c, тосуществуетпроизводная f c ,

причем

f c lim

f c

lim

f c

0.

x

x 0

x

x 0

С другой стороны,

f c lim

f c

lim

f c

0.

x

x

x 0

x 0

Отсюда следует, что

f c 0.

35

Геометрический смысл теоремы Ролля

Если выполнены условия теоремы, то на графике функции y f x найдется хотя бы одна точка, в

которой касательная к графику функции параллельна оси ox. На рис.19 таких точек две C1 и C2 .

Следствие. Если функция	f x удовлетворяет
условиям теоремы Ролля и	f a f b 0, то
найдется хотя бы одна точка	c a,b , в которой

f c 0; то есть между двумя нулями функции найдется хотя бы один нуль производной.

y C1

M

C2

m

o a c1 c2 b

Рис.19

Теорема Лагранжа.		Пусть функция			f x
1) непрерывна на отрезке a,b ,				2) дифференцируема на интервале		a,b .
Тогда найдется хотя бы одна точка c a,b такая, что
f c		f b f a		или	f b f a f c b a .	(8.1)
		b a

Формулу (8.1) называют формулой конечных приращений Лагранжа.

Доказательство. Введем вспомогательную функцию x f x x . Подберем

так, чтобы a b . Тогда

f a a f b b,		f b f a	.
		b a

Вспомогательная функция x удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

x непрерывна на		отрезке a,b , дифференцируема на				интервале a,b и
a b . Поэтому		по теореме Ролля найдется точка				c a,b	такая,	что
c 0. Тогда c f c 0 и f c			f b f a		.
				b a
Геометрический смысл теоремы Лагранжа				y				B
Отношение	f b f a	равно угловому коэффици-
	b a					C1
енту секущей AB (рис.20), а f c равно угловому
							C2
коэффициенту касательной к кривой y f x в точ-
ке с абсциссой c. Поэтому из теоремы следует, что
на кривой y f x найдется хотя бы одна точка				C,		a c1	c2	b
				o
в которой касательная к кривой параллельна секу-

щей AB . На рис. 20 таких точек две: C1,C2 .

Рис.20

36

x

x

Следствие. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Доказательство.		Пусть f x 0				на интервале a,b . Рассмотрим две произ-
вольные точки		x1 x2	из	интервала			a,b . Тогда по			теореме	Лагранжа
f x2 f x1 f c x2 x1 , где c некоторая точка из промежутка x1,											x2 . Так как
f c 0, то	f x2 f x1 0. Поэтому f x2 f x1 для произвольных точек x1, x2
из a,b , а значит,		f x	постоянна на a,b .
Теорема Коши.		Пусть функции				f x и g x
1) непрерывны на отрезке				a,b ,		2) дифференцируемы на интервале a,b ,
3) g x 0	на a,b .		Тогда найдется хотя бы одна точка							c a,b такая, что
					f b f a			f c	.
					g b g a
								g c

Доказательство аналогично доказательству теоремы Лагранжа. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши при g x x.

8.2. Правило Лопиталя

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида

0			или				с использованием производных.
	0

Теорема Лопиталя. Пусть 1)	в	выколотой окрестности точки a функции
f x , g x дифференцируемы и	g x 0,						2) существует lim	f x	.
							x a	g x
	0
Тогда, в случае неопределенности			или				, справедливо правило Лопиталя:
		0

lim

f x

lim

f x

.

x a g x

x a g x

Доказательство

проведем для частного

случая, когда

точка a−

конечна и

f a g a 0,

т.е. неопределенность

0

.

Так как функции f x ,

g x будут

0

и g x 0, то можно

непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки a

применить теорему Коши:

f x f a

f c

.

g x g a

g c

Учитывая, что f a g a 0, получим

f x

f c

.

g x

g c

Перейдем в этом равенстве к пределу при x a , а значит, и при c a :

37

	lim	f x
		g x
	x a

Здесь мы использовали тот факт, буквой обозначен аргумент.

lim	f c	lim	f x	.
c a g c		x a g x

что предел функции не зависит от того, какой

Замечание. Если f x	и g x бесконечно малые или бесконечно боль-
шие при x a , то снова получим неопределенность вида		0			или				и можно
			0

повторно применить правило Лопиталя, если будут выполняться условия теоремы для функций f x , g x .

Пример 8.1. При a 0 имеем: lim

lnx

lnx

1/ x

1

lim

lim

lim

0.

a

a 1

a

x x

x xa

x a x

x a

x

Итак, при x функция ln x

растет медленнее, чем xa a 0 .

Пример 8.2. При a 1 имеем:

xn

xn

nxn 1

.

lim

lim

lim

a

x

a

x

lna

x

x

ax

x

Если n 1, то снова получаем неопределенность

и снова применяем правило

Лопиталя и т.д.:

xn

n n 1 xn 2

n n 1 1

0.

lim

lim

lim

ax lna 2

x ax

x

x ax lna n

Итак, при x функция xn

растет медленнее, чем ax a 1 .

Замечание. Неопределенности вида

0 ,

,

1 ,

0

сводят к

0

неопределенностям вида

,

путем тождественных преобразований и за-

0

тем применяют правило Лопиталя.

1 tg

Пример 8.3. Найти пределы:

1

x

а)

lim

tg

x ln

,

б)

lim

.

x 0

x

x 0 x

Решение. а). Имеем неопределенность вида

0 . Сведем ее к неопределенно-

сти

и применим правило Лопиталя:

lim

tg

ln

1

0

lim

ln x

lim

ln x

lim

1/ x

x

1

1

x

0

x

0

x

0 ctg

x

x

0

x

ctg

x

2

sin

2

x

sin2

x

2

sin

x

x

x

lim

2

lim

lim

sin

x 2 1 0 0.

x

x 0

x 0

x

x 0

sin

1.

Здесь мы воспользовались первым замечательным пределом lim

x

x 0

x

38

б). Имеем неопределенность вида

0

.

Используем основное логарифмиче-

tg

x

ln

1

1

tg

x

x ln

1

x

lim tg

ское тождество:

lim

0

lim

e

ex 0

x

e0 1.

x 0 x

x 0

Здесь мы воспользовались пределом, вычисленным в пункте а).

8.3. Формула Тейлора

Во многих прикладных задачах требуется заменить сложную функцию f x

многочленом Pn x , близким

к f x

в окрестности точки x0 , в том смысле, что

Pn(x0) f x0 ,

Pn (x0) f x0 ,..., Pnn (x0) f n x0

.

(8.2)

Введем ряд понятий.

1). Многочлен Pn x , удовлетворяющий условию (8.2), называют

многочле-

ном Тейлора n-го порядка функции

f x

в окрестности точки x0 .

2). Разность между функцией f x

и её многочленом Тейлора Pn x

обозна-

чают Rn x :

Rn x f (x) Pn x

f (x) Pn x Rn x .

3). Формулу

f (x) Pn x Rn x

называют формулой Тейлора n го поряд-

ка для функции

f x , где Pn x − многочлен Тейлора n го порядка; Rn x –

остаточный член формулы Тейлора.

Теорема 8.1 (о виде многочлена Тейлора).

Пусть функция

f x

дифференцируема

n

раз в окрестности точки

x0 . Тогда

многочлен Тейлора n го порядка функции

f x

имеет вид:

P (x) f (x

)

f (x0)

x x

...

f n (x0)

x x n .

(8.3)

n

0

1!

0

n!

0

Доказательство. Будем искать многочлен Pn x в виде

Pn x a0 a1 x x0 a2 x x0 2 a3 x x0 3 an x x0 n .

Найдем производные этого многочлена

	P (x) a	1	2a		2	x x		3a			x x		2	... na	x x		n 1	,
	n						0			3		0		n		0		n 2 ,
P	(x) 2a 3 2a			x x			4 3a		4	x x		2	...	n n 1 a		x x
n	2	3				0					0				n		0

....................................................................................................................

P n	(x) n n 1 n 2 ...	1 a n! a	n	.
n		n

Вычислим эти производные в точке x0 и воспользуемся равенствами (8.2):

Pn x0 a0;	Pn x0 f x0	a0 f x0 ;
Pn x0 a1;	Pn x0 f x0		a1 f x0 ;
Pn x0 2a2;	Pn x0 f x0		a2		f x0		;
					2!
Pn x0 3 2 a3; Pn (x0) f (x0)			a3			f (x0)		,

3!

...............................................................................

39

n

n

n

f

n (x )

P

(x ) n!a

;

P

(x

0

) f

(x

) a

0

.

n

0

n

n

0

n

n!

Подставив коэффициенты a0,a1,...,an

в многочлен Pn x , получим формулу (8.3).

Используя вид многочлена Тейлора, запишем формулу Тейлора n– го порядка:

f (x) f (x	)	f (x0 )	x x	0	...	f n (x0 )	x x	n R (x)	.	(8.4)
0		1!				n!	0	n

При x0 0 формула Тейлора называется формулой Маклорена и имеет вид:

f (x) f (0)

f (0)

x

f 0

x2 ...

f n

(0)

xn R (x)

(8.5)

1!

2!

n

!

n

Рассмотрим вид остаточного члена Rn x

формулы Тейлора.

Теорема 8.2 (об остаточном члене в форме Пеано).

Пусть функция

f x

дифференцируема

n

раз в окрестности точки

x0 . Тогда

остаточный член формулы Тейлора имеет вид:

Rn x o x x0 n

при x x0 .

(8.6)

Доказательство. Из определения многочлена Тейлора (8.2) следует, что

f x0 Pn(x0) 0,

f x0 Pn (x0) 0,

...,

f n

x0 Pnn (x0) 0.

Тогда для остаточного члена

Rn x f (x) Pn x

получим:

R x

0,

R

x

0,

R

x 0,

...,

R n

x 0.

(8.7)

n

0

n

0

n

0

n

0

Учитывая это, вычислим

lim

Rn x

,

используя n раз правило Лопиталя:

x x

n

x x0

Rn x

0

Rnn x

Rn x

0

0

Rn x

lim

lim

lim

... lim

0.

n

n 1

n 2

x x0 x x

0

x x0 n x x

0

x x0 n n 1 x x

x x0

n!

0

Rn x

0

0

Так как

lim

0, то это означает,

что

R

n

x есть бесконечно малая более

x x0 x x n

0

при x x0 , то есть Rn x o x x0 n .

высокого порядка, чем x x0 n

Рассмотрим другой вид остаточного члена формулы Тейлора, дающий

более точную оценку.

Теорема 8.3 (об остаточном члене в форме Лагранжа).

Пусть функция

f x

дифференцируема n 1

раз в окрестности точки x0 . Тогда

остаточный член формулы Тейлора в этой окрестности можно записать в форме

R	n	(x)	f n 1 c	x x		n 1	,	(8.8)
				0

n 1 !

где с – некоторая точка между x и x0 .

Доказательство этой теоремы не приводим.

40