MatAn_practice

f (x) e x2				на отрезке [2;4]																										равно значению																												f (4) ,							а наибольшее																		M f (2) , т.е.
		1																			1																																															2								4							2
m e 16					,			M e 4																			, и по свойству																										4) имеем:																							e x2dx								, что и тре-
		16																			4																																															16															4
		e																			e																																															e								2							e
бовалось доказать.																																	1
Пример 6.2. Оценить интеграл																																														dx									.
																																								4 x2
																																			1																x3
																																																					b
Решение.			По свойству 4) имеем: m(b a) f (x)dx M(b a), где m – наимень-
шее, M – наибольшее значения функции																																																					a					на отрезке [a,b].
																																																					f (x)
Найдем m и M для функции f (x)																																																		1								на отрезке [ 1;1]. Вычислим:
																																											4 x2 x3
																			1												2x 3x2
1) производную										f			(x) 2																	4 x2									x3 3											;
2) критические точки, решив уравнение f																																																																						2x 3x2																							2
																																																					(x) 0;																													0; 2x 3x												0;
																																																												2									(4 x2 x3)3
x 2 3x 0;								x1 0,					x2						2										знаменатель 4 x2																													x3 на отрезке [ 1;1] в нуль не
																									;
																							3
обращается; поэтому других критических точек нет;
3) значения функции f (x) в критических точках и на концах отрезка:
			1										2																1																																											1																1
f (0)							; f																																3						3						0,509;									f (1)																0,709,							f ( 1)									.
			2																																																																																					2
													3											4					4				8						2						26																													2
																													9
																															27
Из множества полученных значений наименьшее значение m																																																																1		0,5 и
наибольшее значение M 0,709. Поэтому																																																																												2
													1													dx																																		1												dx
								0,5 2																											0,709 2																		или 1																										1,42.
														1						4 x2 x3																																								1						4 x2 x3
Пример 6.3. Найти среднее значение функции																																																																								1
																																																										f (x)																			на отрезке											;					.
																																																																					sin					4
																																																																											x										4			2
Решение. По свойству 6) имеем																																													1								b
																																						fср															f (x)dx . Вычислим интеграл и сред-
																																															b a
нее значение функции:																																																					a
/2								/2					2						2																/2										2								/2												/2
		dx									cos							x sin x											dx											cos x									dx									dx														ctg2x d ctgx ctgx													/2
																			4
		4																																						4																		2
/4 sin					x			/4								sin x																			/4					sin							x						/4 sin x												/4																				/4
									ctg3 x									/2 (0 1)															4				,								f								1							4					16					.
										3							/4																3														ср					/2 /4								3					3

41

dy

x

dt

x3

dt

Пример 6.4. Вычислить

, если 1)

y x

; 2) y x

,

3) функ-

dx

0 1 t4

0

1 t4

lnt

t

ln z

ция y(x)

задана параметрическими уравнениями

y(t) ezdz,

x(t)

dz .

z

1

5

2

Решение. 1). По свойству 7) имеем: y x

.

1 x4

x3

dt

u

dt

2). Функция y x

есть сложная функция переменной x: y

,

0

1 t4

0

1 t4

где u x3.

Используя формулу для производной сложной функции, получим:

1

3x

2

1

3x

2

.

yx

yu ux

1 u4

1 x12

t

ln z

3). Для функции y(x), заданной параметрическими уравнениями x(t)

dz ,

z

lnt

2

z

dz ,

вычислим

,

и

yt

:

y(t) e

yt

xt

yx

5

xt

lnt

1

t ln z

lnt

1

t

z

lnt

,

yt

y

e

dz

e

t

1,

x

dz

y

.

(lnt)

t

lnt

t

t

t

z

x

xt

lnt /t

5

t

2

t

Примеры для самостоятельного решения

1

5

dx

1). Оценить интегралы

I1

1 x4 dx, I2

.

ln x

0

2

/2

/2

2). Выяснить, какой из интегралов больше:

sin10 xdx или

sin2 xdx.

dy

0

0

3). Найти производную

для функции y(x), заданной параметрическими

dx

t2

1

уравнениями

x zln zdz,

y z2 ln zdz .

1

t2

1

4). Найти среднее значение функции

f (x)

на отрезке 1;3 ;

x

1

Ответы:

1) 0 I

,

3

I

3

;

2)

второй;

3) t2 ;

4)

ln3.

2

1

ln5

2

ln2

2

6.2. Методы вычисления определенного интеграла

Основная формула для вычисления определенного интеграла – формула Ньютона-Лейбница

b

f (x)dx F(b) F(a) , где F(x) – первообразная для функции f (x).

a

42

При вычислении определенного интеграла следует учитывать следующие полезные свойства:

1)	если функция	f x	− нечетная на отрезке a,a , то			a	f(x)dx 0;
						a
		f x	− четная на отрезке a,a , то		a		a
2)	если функция					f(x)dx 2 f(x)dx ;
					a		0
		f x	a T		T
3)	если функция		имеет период T, то	f(x)dx f(x)dx.
			a		0

Основные методы (как и при вычислениии неопределенного интеграла) – метод интегрирования по частям и метод замены переменной.

Пусть u x , v x − дифференцируемые функции. Тогда

b	b
udv uv|ab	vdu	.
a	a

Это – формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Рекомендации по применению этой формулы такие же, как для неопределенного интеграла.

b

При замене переменной в определенном интеграле f (x)dx следует:

a

1)заменить переменную x на удачно подобранную функцию (t);

2)заменить dx на d (t) (t)d t ;

3)заменить отрезок a,b изменения переменной x на отрезок [ , ] изменения

переменной t, найдя	и		из условий ( ) a,	( ) b;
4) вычислить получившийся определенный интеграл.
Таким образом,
		b
		f(x)dx f( (t)) (t)dt.
		a

Отметим, что при вычислении определенного интеграла по этой формуле не надо возвращаться к первоначальной переменной, как это приходилось делать при замене переменной в неопределенном интеграле. Рекомендации по выбору новой переменной такие же, как и для неопределенного интеграла.

Пример 6.5. Вычислить интегралы: I

3

3x 1 dx

, I

1/2

2x 3

arcsin x

dx,

2

1

x2 9

1 x2

0

1/2

1

ex dx

,

2

sin9 x d x

.

I3

I4

ex e x

1 cos2 x

0

0

43

Решение. 1). Рассмотрим интеграл I	3	3x 1 dx	. Используя свойства интегра-
1		x2 9
	0

ла и формулу Ньютона-Лейбница, получим:

3 (3x 1)dx

3

x dx

3

dx

3

1

d (x2 9)

1

x

3

|

3

3

2

arctg

x

2

9

x

2

9

2

x

2

9

3

0

0

0 x

9

0

3

0

3

3

1

3

1

3

ln(x2

9)|0

(arctg1 arctg0)

(ln18 ln9)

ln2

.

2

3

2

3

4

2

12

1/2

2x 3

2). В интеграле

arcsin x

подынтегральная функция

является не-

I2

dx

1 x2

1/2

четной на отрезке

1/2;1/2

(проверьте,

что

f ( x) f (x)),

следовательно,

интеграл I2

равен нулю.

3). В интеграле I3

умножим числитель и знаменатель на

ex . Тогда

1

1

1

x

x

x

2

e dx

e dx

de

1

e e

1

I3

ln ex

e2x 1 |0 ln e e2

1 ln 1 2 ln

.

x

x

2x

x 2

0 e

e

0

e

1 0

(e ) 1

1 2

4). В интеграле I4

подынтегральная функция имеетпериод T 2 .

T

T a

Воспользуемся тем, что

f x dx

f x dx

и подынтегральная функция явля-

ется нечетной. Тогда

0

a

2

sin9 x d x

sin9 x d x

I4

0.

1 cos

2

x

1 cos

2

x

0

Пример 6.6. Вычислить интегралы: I1

/3

xdx

2

2

,

I2 x3ex

dx.

sin2 x

Решение. Интегралы I1, I2

/4

1

вычислим методом интегрирования по частям:

b

b

udv (uv)|ba

vdu.

a

a

/3

xdx

dx

. Тогда

1). Для вычисления интеграла I1

положим

u x,

dv

sin

2

x

sin

2

/4

x

dx

du dx ,

v

ctgx . По формуле интегрирования по частям имеем:

2

x

sin

/2

xdx

x ( ctgx)| /2

/2

/2

cosx

/2

d sin x

I1

ctgxdx

dx

2

/4 sin

x

/4

/4

4

/4

sin x

4

/4

sin x

ln

sin x

| /2

ln

2

ln

1

ln2.

2

4

/4

4

2

4

4

2

44

2

2). При вычислении интеграла I2 x3ex2dx положим u x2, dv xex2 . Тогда

1

			du dx2, v xex				2							1			ex	2		1	ex				2
								dx										dx2							,
														2						2
	1		2	1				e				1										e				e4				e			3e4
I2		x2ex2	|2		ex2dx2 2e4										ex2|2 2e4																			.
				2				2
2			1							2						1				2							2	2			2
			1			dv ex2dx, то мы не сможем найти v, так как
Заметим, что если положить u x3,
интеграл ex2dx «неберущийся».
																											5
Пример 6.7. Вычислить интегралы:						I					3						1 x2		dx;		I										dx				.
																							2
						1											x2											2x 3x 1
										1																	0

Решение. Для вычисления интегралов применим метод замены переменной в определенном интеграле.

1).

Для

вычисления

интеграла

3

1 x2

сделаем

замену

переменной

I

dx

x2

1

dt

1

x tgt , найдем dx

и новые пределы интегрирования (пределы изменения

cos2 t

переменной t): x 1 t arctg1

;

x

t arctg

. Получим:

3

3

4

3

1

dt

3

/3

/3

/3

/3

1 x

2

1 tg

2

t

dt

dt

sin

2

t cos

2

t

cos

t

dx

dt

x

2

tg

2

t

cos

2

2

2

cost

sin

2

t

cost sin

2

t

1

/4

t

/4

sin

t

cos

t

/4

/4

cos2 t

/3

dt

/3 costdt

1

/3

/3 d sint

1

/3

2

3

2

3

2

ln

tgt

ln

ln

2.

cost

sin2 t

sin2 t

sint

/ 4

2 1

3

cost

/4

2 1

/4

/4

/4

2).

Для

вычисления

интеграла

5

dx

сделаем

замену

переменной

I2

2x

3x 1

или x t2

1 /3,

0

t

найдем

dx 2tdt /3

и новые пределы интегрирова-

3x 1

ния (пределы изменения переменной t): x 0 t 1;

x 5

t 4. Получим

5

dx

4

2tdt

4

2tdt

4

4t 3

/2 3/2

dt

1 3 2 t2 1 /3 t

1

0 2x 3x 1

1 2t2 3t 2

2t2 3t 2

1

4 d 2t2 3t 2

3

4

d t

1

ln 2t2 3t 2 |

4

3

4

dt

2t

2

3t 2

4

t

2

3t/2 1

2

2 2

(t 3/4)

2

25/16

2

1

1

1

1

1

42

3

1

t 3/4 5/4

4

1

3

7

1

ln

ln

ln14

ln

ln112

2

3

4

2

5

t 3/4 5/4

1

2

10

2

5

4

45

Пример 6.8. Вычислить интеграл																								/4						x		7	5x					5	3x	3	8tg					2	x		dx.
																																							cos2 x
																								/4
Решение. При вычислении интеграла воспользуемся утверждениями:
a				─ для нечетной функции,																											a										a											─ для четной функции.
f (x)dx 0																																	f (x)dx 2 f (x)dx
a																															a										0
	x		7	5x		5		3x		3																																											/4				x	7				5					3x					3
Функция												является нечетной на [ /4; /4]																																				и													5x														dx 0.
				cos		2		x																																																					2							x
																																																				/4									cos
Функция		8tg2 x					является четной на [ /4; /4], поэтому
		cos2 x
				/4					2						/4							2											/4																					3
							8tg		xdx				16							tg			xdx						16 tg2 x d(tg x) 16																							tg				x	|					16			.
																																																										4
									2														2																																							3
				/4				cos			x					0				cos					x								0																				3				0
								Примеры для самостоятельного решения
1. Вычислить:									0															2						xdx											1					dx															3
						I1						1 x dx,								I2																	,		I3																,		I4 ln xdx ,
																										(x2 1)2																	x4 4x 5
									1															1																	0																				1
1/2																								8																1																						4
																															xdx														1 x2																							x2 8
I5 arcsin xdx,								I6 x3 sin xdx,														I7													,			I8														dx,					I9																		dx .
																																													x2																									x2
																															1 x
																																								2 /2																					2	2
0										0														3
								Ответы:										I1 2/3 ,														I2 3/20,										I3			arctg3 arctg2,																							I4			3ln3 2,
																																																																																			.
														I	5										3			1, I						6			3 6 , I													32				,			I		8		1										,			I	9					2
2. Доказать равенства:																	12							2																						7						3															4											96
/8													2																										1	x		7		3x			5						2		9x												1				2
а) x10 sin9 xdx 0;												б) cos4 xsin3 xdx 0;																										в)									x												dx 2												x dx										.
																																														x	6																								6							6
/8											0																												1									1																			0			x			1
В примере 2.б)							использовать свойство:																										2												f (x)dx , если																f (x 2 ) f (x) .
																																			f (x)dx

6.3.Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

Пусть фигура в	плоскости XOY ограничена			линиями y y y2 x
y y1(x), y y2(x), x a,	x b,	причем y2(x) y1(x) на a,b		(рис.10).
Площадь S такой фигуры
	b
	S [y2(x) y1(x)]dx.			O a	b	x
	a				y y1 x
					Рис.10

46

Пусть фигура в плоскости XOY (рис.11) ограничена

линиями x x1 y ,	x x2 y ,				y c, y d , причем
x2(y) x1(y) на c,d	Площадь S такой фигуры
		d	[x		(y) x (y)]dy.
		S
		c		2	1

y d

O
x x1 y	x
c	x x2 y
	Рис. 11

Пример

6.9.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной

параболой

y x2 2x 3 ,

осью ординат и касательной к параболе в точке M(2, 5).

Решение. Построим заданные линии (рис. 12).

y

Уравнение

y x2 2x 3

или y (x 1)2 4 определяет пара-

С

7

болу с вершиной в точке

A 1;4

с осью симметрии, парал-

лельной оси OY (прямая x 1). Составим уравнение касатель-

A

ной к параболе в точке M(2, 5). Угловой коэффициент каса-

В

тельной

k y

(2) ( 2x 2)|x 2 6.

Уравнение

касательной:

2

y 5 6(x 2)

или y 6x 7. Построим прямую по точкам

-1

x

M(2; 5)и C(0;7). В примере нужно вычислить площадь фигуры

MBC . Снизу

фигура ограничена

параболой

y1 x2 2x 3,

M

сверху прямой

y2 6x 7,

значения переменной x принадлежат

Рис. 12

отрезку [0;2]. Для вычисления площади воспользуемся форму-

b

лой: S y2(x) y1(x) dx. Получим:

a

2

2

2

(x 2)3

|02

8

.

S ( 6x 7 x2 2x 3)dx (x2 4x 4)dx (x 2)2dx

3

3

0

0

0

Пример 6.10. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y arcsin x, y arccosx и осью абсцисс.

Решение. Построим заданные линии и заштрихуем фигуру, площадь которой нужно вычислить (рис. 13). Найдем координаты точки пересечения линий, решив уравнение arcsin x arccosx. Из курса тригонометрии из-

вестно, что x

2

, y

. Площадь S

фигуры есть сумма y

y arcsin x

2

4

площадей двух фигур:

y arccosx

2/2

1

4

S S1 S2 , где S1

arcsin xdx,

S2

arccosxdx.

0

2

/2

O0

x

2 1

Площадь S этой же фигуры можно рассматривать как

2

разность площадей S3

и S4 двух криволинейных трапе-

Рис. 13

ций с основаниями на оси OY , где

47

	d		/4	cos ydy sin y|															2			,				/4	sin ydy cos y|0	/4			2	.
	S3 x(y)dy												04										S4						1
																	2													2
	c		0																							0
								2								2
	Площадь фигуры	S S				S																		2 1. Очевидно, что вычислений при
					3		4					1
																2
								2

решении задачи вторым методом значительно меньше, чем при решении первым.

			Примеры для самостоятельного решения
1.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
	а) y	x2	, y 4	2	x2 ; б) y 2x x2 , y x .	Ответ: а)		32	, б)	9	.
	3		3				3			2
2.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой y x3 , прямой						y 8 и
осью OY .							Ответ: 12.

Объем тела вращения

Объем VOX тела, полученного при вращении вокруг оси OX фигуры, ограни-

ченной кривой y y x , осью OX и прямыми x a, x b, вычисляется по формуле

b	b
VOX y2(x)dx , или	VOX y2dx	.
a	a

Аналогично вычисляется объем VOY тела, полученного при вращении вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией x x(y), осью OY , прямыми y c, y d :

d	d
VOY x2(y)dy , или	VOY x2dy .
c	c

Пример 6.11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y (x 1)2 , x 0, x 2, y 0, вокруг оси OX .

Решение. Построим линии, ограничивающие фигуру (рис. 14). Это – парабола y (x 1)2 с вершиной в точке (1;0) и осью симметрии параллельной оси OY , прямые x 0 (ось OY ), y 0 (ось OX ), прямая x 2, параллельная оси OY . Объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси OX (сечение см. на рис. 14), вычислим по формуле

b

Vox y2(x)dx .

a

Получим Vox 2 (x 1)4dx (x 51)5 |20 25 .

0

Пример 6.12. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями y x3 2 , x 1, y 1.

48

y

1

0

1

2 x

Рис 14

y

3

2

	1
-1	0	1	x
	Рис. 15

Решение. Построим линии, ограничивающие фигуру (рис. 15). Для вычисления объема тела вращения непосредственно воспользоваться формулой нельзя, т.к. снизу фигура ограничена не осью OX , а прямой y 1. Объем тела вращения бу-

дет равен разности объемов V1 и V2 :				Vox V1 V2,	где V1 есть объем тела вра-
щения	вокруг	оси	OX	фигуры,	ограниченной	линиями
y x3 2,	x 1, x 1,	y 0,	V объем цилиндра		радиусом r 1	и высотой
			2

h 2. Вычислим V1 и V2 :

	1	1				1				58
	V1 (x3 2)2dx x6 4 4x3 dx 2 (x6 4)dx 2 x7 /7 4x |10										.
										7
	1	1				0
				1			1
	Здесь мы воспользовались тем, что			(x6 4)dx 2 (x6 4)dx как интеграл от чет-
				1			0
		1
	ной функции,	4x3dx 0 как интеграл от нечетной функции,							V2 r2h 2 . Тогда
		1			58		44
		V V V				2		.
					7		7
		ox	1	2

Пример 6.13. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси OY криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс,

прямыми x 0,

x 2 и кривой y ex(рис.16).

y

e2

Решение. Объем тела вращения

Voy V1 V2 ,

где V1

объем

цилиндра радиусом r 2 и высотой

h e2 ,

V r2h 4 e2

,

1

V2 объем тела,

полученного при вращении вокруг оси OY

криволинейного треугольника, ограниченного линией

y ex,

1

прямыми

x 0,

y e2 . Объем V

вычислим

по

формуле

2

0

2

d

2

x

Voy x

(y)dy. Из уравнения y e

найдем x

ln y . Тогда

Рис. 16

х

c

e2

u ln2 y,

du 2ln y

dy

e

2

e2

u ln y,

du

dy

V2 ln

2

2

ydy

dv dy,

v y

y

yln

y|1

2

ln ydy

dv dy,

y

1

1

v y

e

2

e2

dy

e

2

4e2 4e2 2e2 2 (2e2 2).

4e2 2 yln y|

y

4e2

2

2e2

y|

1

y

1

1

Объем тела вращения первоначальной криволинейной трапеции вокруг оси OY :

Voy V1 V2 4 e2 (2e2 2) 2 (e2 1).

Примеры для самостоятельного решения

	1. Фигура, ограниченная эллипсом	x	2		y2	1 , вращается
		a	2		b2
	а) вокруг оси OX ,				б) вокруг оси OY .

49

f x

0.3 .

a,b

Найти объемы получающихся эллипсоидов вращения.				4			4
	Ответ: а)				ab2	; б)		a2b.
			3				3
2. Фигура, ограниченная дугами парабол y x2	и	y2 x ,	вращается вокруг
оси OX . Вычислить объем тела вращения.

Ответ:

7. Несобственные интегралы

При введении определенного интеграла мы предполагали, что отрезок

– конечный, а функция ограничена на этом отрезке. Если нарушается хотя

бы одно из этих условий, то вводят обобщение определенного интеграла – несобственные интегралы.

7.1. Несобственные интегралы первого рода

Несобственным интегралом первого рода (по бесконечному промежутку) от функции f x называется

b

	f(x)dx lim		f(x)dx	.
	b
a		a

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл и для промежутка ,b :

b b

			f(x)dx lim			f(x)dx	.
				a
					a
Несобственный интеграл f(x)dx				определяется равенством
				c
	f(x)dx f(x)dx f(x)dx							,
					c

где c любое число. Несобственный интеграл в левой части называется сходящимся, если сходится каждый несобственный интеграл в правой части.

Пусть	F x – первообразная для функции		f x		на промежутке a, и
F lim	F(b). Тогда
b
		f(x)dx F( ) F(a) F(x)
					a .
		a
Эту формулу называют обобщенной формулой Ньютона-Лейбница.
Аналогично, если обозначить F = lim F(b) , то
		b

50