ПП_17_Неопр_инт_3

= 2x2 −3x−2 +

5

x−

3

+ x2

3

x−1

+C,

ln

−

2

2

4

2

C =C1 +C2.

Вычислите ∫

256 −x2 dx

Решение:

=16 sin t,

x

2

∫

256

− x

dx

=

= dx

=16 cos t,

x

t =arcsin

16

x

128 arcsin 16 +

ПП 17 №13

=162 ∫ cos2 tdt =128∫(1 +cos 2t)dt =

+

1

x

256 −x

2

+

sin 2t

2

=128 t

+

+C

=

2

+C.

=128 arcsin

x

+64 2 sin t cos t +C =

16

x

x

x

2

=128 arcsin

+128

1−

+C =

16

16

16

=128 arcsin

x

+

1

x 256 − x2 +C.

16

2

11

ПП17. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

3.Разные задачи

№ п/п

Задача

Ответ

ПП 17 №14

Вычислите ∫

dx

cos x

Решение:

∫

dx

=

∫

cos x

dx = ∫

cos x

dx =

cos x

cos

2

1−sin

2

x

x

sin x =t,

=

=

dt =cos x dx

+t

1−t

)

dt

1

1

+

= ∫

=

∫

(

dt

=

2

2

1−t

(1+t)(1−t)

=

1

∫

dt

+

1

∫

dt

=

x π

2

1−t

1+t

2

ln

tg

+

+C

=−

1

ln

1−t

+

1

ln

1 +t

+C =

2

4

2

2

1

1 +t

1

1 +sin x

=

ln

+C =

ln

+C =

1−t

2

1−sin x

2

x

x

2

sin

+cos

1

2

=

ln

2

+C =

x

x

2

2

sin

−cos

2

2

x

π

=ln

tg

+

+C.

4

2

ПП 17 №15

Вычислите

∫

dx

3

x

Решение:

cos

2

1

sin x

dx

x

dx

∫

=∫

sin

dx + ∫

.

+

2

cos2 x

cos3

x

cos

3

x

cos x

I1

I2

1

x

π

+

ln

tg

+

+

sin x

2

I1

=

∫

sin x

dx =

2

4

cos3

x

+C

sin x

u = sin x

dv =

3

cos

x

dx

=

=

−2

cos

x

du = cos x dx

v =

2

12

=12 cossin2xx − 12 ∫ cosdxx

−12I2

∫

dx

=

1

sin x

+

1

∫

dx

=

3

x

2

2

cos x

cos

cos

x

2

1

sin x

1

x

π

=

+

ln

tg

+

+C.

2

2

cos

x

2

2

4

ПП 17 №16

Вычислите ∫ x2 arctgx dx

Решение:

u = arctgx

2

dv = x dx

∫

x

2

arctgx dx =

3

=

1

x

dx

v =

du =

2

3

1 + x

=

x3

arctgx −

1

∫

x3

dx =

3

3

x

2

+1

x3

arctgx −1 x2 +

выделимцелуючасть

=

3

6

неправильнойрациональнойдроби:

+

1

ln

(

x2

+1

+C

_ x

3

x

2

+1

x3

x

6

)

x3 +x

x

= x −

}=

x2 +1

x2 +1

−x

=

x3

arctgx −

1

∫ xdx +

1

∫

xdx

=

3

3

3

x

2

+

1

=

x3

arctgx −

1 x2

+ 1 ln

(

x2

+1

+C.

3

6

6

)

ПП 17 №17

Вычислите ∫ shax cosbxdx .

Решение:

∫shaxcosbxdx =

bshax sin bx

u = shax

dv = cos bx dx

+

2

2

=

sin bx

=

a

+b

= a chax dx

v =

du

b

achax cos bx

1

a

+

=

shax sin bx −

∫ chax sin bx dx =

a2 +b2

b

b

u = chax

dv = sin bx dx

=

cos bx

=

du = a shax dx

v =

b

13

=

1 shax sin bx +

a

chax cos bx −

b 2

b

2

∫ shax cos bx dx

− a 2

b

I

b2 I =bshaxsin bx +achaxcosbx −a2 I

I =

bshax sin bx +achax cos bx

a2 +b2

ПП 17 №18

Вычислите ∫

dx

(x2 +2)2

Решение:

x =

2

tgt,

dx

dt

∫

=

dx =

2

,

=

2

2

2

(

x

+

2

)

cos t

x

t = arctg

2

2

dt

1

cos 4 t dt

= ∫

cos2 t

=

∫

=

1

arctg

x

+

+ 2 )

2

cos

2

t

2

2 2

4 2

2

(( 2 tg t)

x

1

1

1 + cos

2t

1

+C

=

∫ cos2 t

dt =

∫

dt =

+

4

(2 + x2 )

2

2

2

2

2

1

sin 2t

=

t +

+ C =

4

2

2

1

x

1

x

=

arctg

+

sin 2arctg

+ C =

4

2

2

2

2

x

2tg arctg

1

x

1

2

+C =

=

arctg

+

4 2

2

2

x

2

1

+tg

arctg

2

1

x

1

x

=

arctg

+

+C.

4

2

2

4

(2 + x2 )

14