Презентация_диплома_С.А.Лобов

РАЗРАБОТКА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЫ СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ «К МОМЕНТУ»

Лобов С.А.

		Постановка задачи.
Рассматривается				дифференциальная игра с
динамикой:
dx	g x B x u C x v,
dt
							, t 0,T .
x R		n	, u P R	n	, v Q R	n

На правую часть дифференциального уравнения накладываются условия, обеспечивающие существование решения динамической системы.

(1) Красовский Н.Н., Субботин А.И.

Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

Качество конфликтно управляемого процесса

оценивается функционалом

x min x t ,

t 0,T

где x – функция, удовлетворяющая локальному условию Липшица.

x min,

u

x max.

v

Будем считать дифференциальная игру решенной, если построена ее функция цены .

Аппроксимационная схема построения функции цены

Рекуррентная формула

(t

i 1

, x)

sup

max

max

{co

(t

, y)

( p, g(x)

y O( x, ( x)

)

j,k

p co

(t

,x, y, j ,k )

i

i

i

i

p, B(x)u( j ) p,C(x)v

tN , x x .

(k )

) p, x y }, i N , N 1,

,1.

•Тарасьев А.М., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Аппроксимационные схемы и конечноразностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби //Изв. РАН Техн. Кибернетика. 1994. №3. С. 173-185

•	co		y	субдифференциал выпуклой
	оболочки, вычисленный в точке у .
•	Символом			co		ti ,x, y, j,k	обозначено

пересечение субдифференциала выпуклой оболочки с конусом линейности гамильтониана, определяемого паройu j , v k .

• x - константа Липшица гамильтониана.

• Введем гамильтониан динамической системы

H x, s min maxs, g x B x u C x v. u P v Q

• Конус линейности гамильтониана – множество, где гамильтониан линеен по последнему аргументу. В нашем случае конус определяется вершинами u j , v k многогранников P и Q.

Алгоритм программы

•Задаются начальные данные

•Инициализируются сетки для каждого шага по времени t

•Задается значение функции цены на сетке в момент t=T

•Для каждой итерации выполняются шаги [4a-4f]

–Для каждой точки сетки х находятся точки из O(x,r), r (x)dt

–Строится выпуклая оболочка полученных точек

–Строится субдифференциал для каждой точки

–Строятся конусы линейности гамильтониана

–Находится пересечение субдифференциала с конусами линейности

–Находим значение V(ti-1,x) по формуле

•Возвращаемся к шагу 4

Алгоритм построения выпуклой

оболочки “Quick Hull”

•Строится начальная выпуклая оболочка

•Для каждой грани 1)Находится наиболее отдаленная точка от

данной грани в сторону внешней нормали 2)Если точка существует

a)Удаляются грани, которые видны из найденной точки

b)Строятся грани, содержащие эту точку и точки, лежащие на ранее построенной выпуклой оболочке.

Алгоритм

начальной выпуклой оболочки

•Строится начальная грань 1)Находятся точки с максимальным значением по каждой

координате, из полученных точек находятся лежащие на наибольшем расстоянии друг от друга.

2)Если число точек меньше размерности пространства, то добавляем точки аналогичным образом с минимальным значением координат.

3)По первым четырем точкам строится грань.

•Находится наиболее отдаленная точка от полученной грани

•Используя найденную точку и грань, строится начальная выпуклая оболочка

Алгоритм построения субдифференциала