Elektrodinamika

рПМЕ УЧС БОО И БТСДПЧ. н РПЛБ БМЙ (У. 16), ФП ЧОЕ ОЕЕ РПМЕ НПЦЕФ РПМСТЙ ПЧБФ ДЙ МЕЛФТЙЛ; Ч ТЕ ХМ ФБФЕ РПСЧМСАФУС Ó×Ñ-ÁÎÎ Å ÁÒÑÄ , ЛПФПТ Е Ч УПЧПЛХРОПУФЙ ПРЙУ ЧБАФУС ЛБЛ РПМЕ РМПФОПУФЙ РПМСТЙ БГЙЙ (РМПФОПУФЙ ДЙРПМ О И НПНЕОФПЧ). оБРПНОЙН ЖПТНХМ (3.2), (3.3):

div D = div(E + 4 P) = 4 ;

) div E = 4 ( + P ); ÇÄÅ P = div P:

ъДЕУ P { РПМЕ РМПФОПУФЙ РПМСТЙ БГЙЙ; P { РМПФОПУФ УЧС БООПЗПБТСДБ. оБКДЕН РПФЕОГЙБМ, РПТПЦДЕОО К УЧС БОО НЙ БТСДБНЙ

'P (r) = Z			P (r0)			dV 0 = Z	div P(r0)		dV 0	:
			jr r0j					jr r0j
йУРПМ ХЕН ФПЦДЕУФЧП
divr0		P(r0)			divr0 P(r0) +			P(r0) (r r0)			:
	jr r0j jr r0j							jr r0j3

фЕРЕТ РПФЕОГЙБМ НПЦОП БРЙУБФ ФБЛ:

'P (r) = Z

div P(r0)

dV 0

= Z

n

div

P(r0)

jr r0j

jr r0j

0

0

o

I

0

Z

0

0

P(r ) (r r )

dV 0

=

P(r )

d 0 +

P(r ) (r r

) dV 0:

jr r0j3

jr r0j

jr r0j3

|

!0

}

{z

рПЧЕТИОПУФО К ЙОФЕЗТБМ ЧУЕЗДБ НПЦОП УДЕМБФ ТБЧО Н ОХМА, РПМБЗБС, ФП ЗТБОЙГБ ПВМБУФЙ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙС МЕЦЙФ Б РТЕДЕМБНЙ ПВТБ ГБ.

úÁÍÅ ÁÎÉÅ. нПЦОП РПЛБ БФ , ФП РТЙНЕОЕОЙЕ ФЕПТЕН пУФТПЗТБДУЛПЗПБХУУБ ЛПТТЕЛФОП, ОЕУНПФТС ОБ УЙОЗХМСТОПУФ ЖХОЛГЙЙ jr r0j 1 ÐÒÉ r = r0; ФБЛЦЕ ДПРХУФЙН ТБ Т Ч (УЛБ ЛЙ) РПМСТЙ БГЙЙ.

ч ТЕ ХМ ФБФЕ РТЙИПДЙН Л УМЕДХА ЕНХ Ч ТБЦЕОЙА ДМС РПФЕОГЙБМБ УЧС БОО И БТСДПЧ:

'P (r) =	Z	P(r0) (r r0) dV 0	:
		jr r0j3

50

E = grad '

ьФПФ ТЕ ХМ ФБФ НПЦОП РТЕДУФБЧЙФ Ч ЧЙДЕ
'P (r) = div (r);
ЗДЕ ЧЧЕДЕО ЧЕЛФПТ ЕТГБ:
P(r0)
(r) = Z jr r0j3 dV 0	:	(8.13)

тЕ ЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ Ч УЖЕТЙ ЕУЛЙИ ЛППТДЙОБФБИ.

ч ПВ ЕН УМХ БЕ РТЙ ОБМЙ ЙЙ РТПУФТБОУФЧЕООП-ТБУРТЕДЕМЕООПЗП Б- ТСДБ Й ОЕПДОПТПДОПК ДЙ МЕЛФТЙ ЕУЛПК РТПОЙГБЕНПУФЙ РТЙИПДЙФУС ТЕ БФ ХТБЧОЕОЙЕ:

div D = div "E = 4 )

) div (" grad ') = 4 :

УМЙ УТЕДБ ПДОПТПДОБ (" = const), РПУМЕДОЕЕ ХТБЧОЕОЙЕ РТЕЧТБ-

БЕФУС Ч ХТБЧОЕОЙЕ рХБУУПОБ:

r2' = 4 " 1 :

рТЙ ПФУХФУФЧЙЙ РПМСТЙ ХА ЕКУС УТЕД ( БТСД ТБУРТЕДЕМЕО Ч ЧБ- ЛХХНЕ) " = 1 Й ХТБЧОЕОЙЕ РТЙПВТЕФБЕФ ВПМЕЕ РТПУФПК ЧЙД:

r2' = 4 :

п ЕО БУФП РТЙИПДЙФУС ТЕ БФ БДБ Й, ЛПЗДБ БТСД ОЕ БРПМОСАФ РТПУФТБОУФЧП ЛПОФЙОХБМ ОП, Б МЙВП ПВТБ ХАФ УЙУФЕНХ ФП Е - О И БТСДПЧ, МЙВП МЕЦБФ ОБ РПЧЕТИОПУФСИ; Ч ФЙИ УМХ БСИ Ч ПВМБУФЙ, ЗДЕ ОЕФ БТСДПЧ, ХТБЧОЕОЙЕ рХБУУПОБ РЕТЕИПДЙФ Ч ХТБЧОЕОЙЕ

мБРМБУБ:

r2' = 0:

чП НОПЗЙИ УМХ БСИ ОЕПВИПДЙНП ОБФ ПВ ЕЕ ТЕ ЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ Ч УЖЕТЙ ЕУЛЙИ ЛППТДЙОБФБИ. ч ФЙИ ЛППТДЙОБФБИ ПОП ЙНЕЕФ ЧЙД:

1 @

@u

1

r2u(r; ; ) =

r2 @r

+

u = 0;

(8.14)

r2

@r

r2

1 @

@u

1

@2u

u =

sin

@ +

:

(8.15)

sin

@

sin2

@ 2

51

й МПЦЙН ЛТБФЛП РТПГЕДХТХ ТЕ ЕОЙС. ч РПМОЙН ТБ ДЕМЕОЙЕ РЕТЕНЕОО И, ПФДЕМСС ЖХОЛГЙА ТБДЙБМ ОПК РЕТЕНЕООПК r ПФ ЖХОЛГЙЙ ХЗМПЧ: u(r; ; ) = R(r) Y ( ; ). УМЙ РПДУФБЧЙФ ФП Ч ТБЦЕОЙЕ Ч ХТБЧОЕОЙЕ мБРМБУБ, ФП НПЦОП РПМХ ЙФ УМЕДХА ЕЕ УППФОП ЕОЙЕ:

1 @				@R	1
			r2		=		'Y = = const:
R		@r		@r		Y

рПУМЕДОЕЕ ТБЧЕОУФЧП Х ЙФ ЧБЕФ ФПФ ЖБЛФ, ФП МЕЧБС БУФ БЧЙ- УЙФ ФПМ ЛП ПФ r, РТБЧБС { ФПМ ЛП ПФ ХЗМПЧ. фПЦДЕУФЧЕООПЕ ТБЧЕОУФЧП НЕЦДХ ЖХОЛГЙСНЙ, БЧЙУС ЙНЙ ПФ ТБ О И РЕТЕНЕОО И, НПЦЕФ ДПУФЙЗБФ УС ФПМ ЛП Ч ФПН УМХ БЕ, ЕУМЙ ЛБЦДБС Й ОЙИ { ЛПОУФБОФБ;ДЕУ ФБ ЛПОУФБОФБ ПВП ОБ ЕОБ (ЛПОУФБОФБ ТБ ДЕМЕОЙС). ч ЙФПЗЕ РТЙИПДЙН Л УЙУФЕНЕ ХТБЧОЕОЙК, УЧС БОО И ЛПОУФБОФПК ТБ ДЕМЕОЙС:

r2R00 + 2r R0	R = 0;	(8.16)
'Y + Y	= 0:	(8.17)

ч РПМОЙН ЧФПТПЕ ТБ ДЕМЕОЙЕ РЕТЕНЕОО И: Y ( ; ) = ( ) ('). фПЗДБ, У Х ЕФПН (8.15), Й ХТБЧОЕОЙС (8.17) РПМХ БЕН:

sin2	1 @					@		1 @2
					sin		+ =		@ 2	= m2;
		sin		@		@

ЗДЕ В МБ ЧЧЕДЕОБ Е Е ПДОБ ЛПОУФБОФБ ТБ ДЕМЕОЙС (ПВП ОБ ЕОЙЕ m2 ОЕ П ОБ БЕФ, ФП ФБ ЧЕМЙ ЙОБ ДПМЦОБ В Ф РПМПЦЙФЕМ ОПК, Ф.Л. m НПЦОП У ЙФБФ НОЙН Н). рПМХ БЕН Е Е ПДОХ УЙУФЕНХ ХТБЧОЕОЙК:

	d2									(8.18)
	d'	2 + m2 = 0;
1				d	d			m2
					sin d	+			= 0:	(8.19)
	sin			d				sin2
уЙУФЕНБ		ПВ ЛОПЧЕОО И					ДЙЖЖЕТЕОГЙБМ О И			ХТБЧОЕ-

ОЙК (8.16), (8.18), (8.19) ЛЧЙЧБМЕОФОБ ЙУИПДОПНХ ХТБЧОЕОЙА мБРМБУБ (8.14). рЕТЕКДЕН Л РПУМЕДПЧБФЕМ ОПНХ ТЕ ЕОЙА ХТБЧОЕОЙК, ОБ ЙОБС У (8.18). ьФП ХТБЧОЕОЙЕ ТЕ БЕФУС ФТЙЧЙБМ ОП:

= A cos m' + B sin m' = C(+)eim' + C( )e im':

52

й ЗЕПНЕФТЙ ЕУЛЙИ УППВТБЦЕОЙК СУОП, ФП БНЕОБ ' ! ' + 2 ТБЧОПУЙМ ОБ ПФУХФУФЧЙА РТЕПВТБ ПЧБОЙС. уМЕДПЧБФЕМ ОП, ЖХОЛГЙС(') ДПМЦОБ В Ф РЕТЙПДЙ ЕУЛПК У РЕТЙПДПН 2 . ьФП ВХДЕФ ФБЛ,

ÅÓÌÉ РБТБНЕФТ m { ЧЕ ЕУФЧЕООПЕ ГЕМПЕ ЙУМП.

БМЕЕ ТЕ БЕН ХТБЧОЕОЙЕ (8.19). нПЦОП РПЛБ БФ , ФП ЕЗП ТЕ Е- ОЙС ПЗТБОЙ ЕО РТЙ ЧУЕИ , ФПМ ЛП ЕУМЙ = l(l+1), ЗДЕ l = 0; 1; 2; : : :.

÷ ÔÏÍ ÓÌÕ ÁÅ

( ) = Plm(cos );

ÇÄÅ Plm { РТЙУПЕДЙОЕОО Е РПМЙОПН (ЖХОЛГЙЙ) мЕЦБОДТБ. рЕТЕКДЕН Л ТБДЙБМ ОПНХ ХТБЧОЕОЙА (8.16). ХДЕН ЙУЛБФ ЕЗП

ÒÅ ÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ: R = rk. фПЗДБ

r2 k(k 1)rk 2 + 2r k rk 1 l(l + 1) rk = 0:

фБЛЙН ПВТБ ПН, ДПРХУФЙН Е ОБ ЕОЙС k { ФП ЛПТОЙ ЛЧБДТБФОПЗП ХТБЧОЕОЙС:

k2 + k l(l + 1) = 0 ) ( k1 = l;

k2 = l 1:

ъБРЙ ЕН ЙФПЗПЧПЕ ТЕ ЕОЙЕ:

X X

h

1

l

u =

P m(cos )

A(+) cos m' + B(+) sin m'

rl +

l

lm

lm

l=0 m= l

+ Alm( ) cos m' + Blm( ) sin m' r l 1i =

1

l

X X

m

h

(+) l

( )

l 1

i

im'

=

P

l

(cos )

C

lm

r

+ C

lm

r

e

:

(8.20)

l=0 m= l

рТПЧПДОЙЛ ЧП ЧОЕ ОЕН МЕЛФТПУФБФЙ ЕУЛПН

ÐÏÌÅ. ðÕÓÔ

ЙНЕЕФУС ДЙ МЕЛФТЙ ЕУЛБС УТЕДБ, Ч ЛПФПТПК ОБИПДЙФУС РТПЧПДС БС ПВМБУФ ; ФБЛЦЕ ЙНЕЕФУС ЧОЕ ОЕЕ МЕЛФТПУФБФЙ ЕУЛПЕ РПМЕ. уДЕМБЕН ОЕЛПФПТ Е Ч ЧПД ПФОПУЙФЕМ ОП ЛПОЖЙЗХТБГЙЙ РПМЕК.

уРТБЧЕДМЙЧ БЛПО пНБ: j = E; РП ФПК РТЙ ЙОЕ Ч УФБФЙ Е- УЛПК УЙФХБГЙЙ, ЛПЗДБ БТСД ОЕРПДЧЙЦО , ЧОХФТЙ РТПЧПДОЙЛБ E = 0.

53

õ ÉÔ ×ÁÑ, ÔÏ E = grad ', ЧОХФТЙ РТПЧПДОЙЛБ ' = const:

рПУЛПМ ЛХ 4 = div E, ЧОХФТЙ РТПЧПДОЙЛБ = 0.

пФУХФУФЧЙЕ РПМС ЧОХФТЙ РТПЧПДОЙЛБ (РТЙ ОБМЙ ЙЙ ЧОЕ ОЕЗП РПМС) УЧЙДЕФЕМ УФЧХЕФ П ФПН, ФП ЙНЕАФУС БТСД , УП ДБА ЙЕ РПМЕ, ЛПФПТПЕ ЛПНРЕОУЙТХЕФ ЧОЕ ОЕЕ РПМЕ. рПУЛПМ ЛХ ЧОХФТЙ РТПЧПДОЙЛБ ОЕФ ПВ ЕНО И БТСДПЧ, ДПМЦЕО УХ ЕУФЧПЧБФ ТБУРТЕДЕМЕОО К БТСД

ОБ РПЧЕТИОПУФЙ РТПЧПДОЙЛБ.

оБ ЗТБОЙГЕ МАВ И ДЧХИ УТЕД Ч РПМОСАФУС ЗТБОЙ О Е ХУМПЧЙС (6.1), (6.4):

n (D2 D1) = 4 ; [n (E2 E1)] = 0;

ЗДЕ { РМПФОПУФ РПЧЕТИОПУФО И БТСДПЧ. рПУЛПМ ЛХ Ч РТПЧПДОЙЛЕ (УТЕДБ 1) E1 = D1 = 0, ЙНЕЕН Ч ДЙ МЕЛФТЙЛЕ ОБ ЧОЕ ОЕК ЗТБОЙГЕ РТПЧПДОЙЛБ:

(n D) = " (n r') = 4 ; [n E] = 0:

рПУМЕДОЕЕ ХУМПЧЙЕ П ОБ БЕФ, ФП ОБ ЗТБОЙГЕ РТПЧПДОЙЛБ ЛБУБФЕМ ОБС УПУФБЧМСА БС ЧОЕ ОЕЗП РПМС ТБЧОБ ОХМА (УЙМПЧ Е МЙОЙЙ РЕТРЕОДЙЛХМСТО РПЧЕТИОПУФЙ). Й Й ЕУЛЙ ФП МЕЗЛП РПОСФ : РПСЧМЕОЙЕ ЛБУБФЕМ ОПК УПУФБЧМСА ЕК РПТПДЙФ ФПЛ ЧДПМ РПЧЕТИОПУФЙ, ЛПФПТ К РЕТЕТБУРТЕДЕМЙФ БТСД .

тЕ ЕОЙЕ БДБ Й ПВ ПФ УЛБОЙЙ РПМС E ЧОЕ РТПЧПДОЙЛБ УПУФПЙФ Ч ТЕ ЕОЙЙ ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ УП УМЕДХА ЙН ЗТБОЙ О Н ХУМПЧЙЕН ОБ РПЧЕТИОПУФЙ РТПЧПДОЙЛБ:

n r' = 4 " 1 ;

(8.21)

(НПЗХФ ФБЛЦЕ РПФТЕВПЧБФ УС ОЕЛПФПТ Е ДПРПМОЙФЕМ О Е ЗТБОЙ О Е ХУМПЧЙС).

тБУУНПФТЙН ФЕРЕТ ДЧБ РТБЛФЙ ЕУЛЙ ЧБЦО И РТЙНЕТБ РТЙНЕОЕОЙС Й МПЦЕООПК ФЕПТЙЙ.

рТПЧПДС ЙК БТ ЧП ЧОЕ ОЕН РПМЕ. тБДЙХУ БТБ ПВП ОБ ЙН a. чВМЙ Й ПФ БТБ ОБВМАДБЕФУС УХРЕТРП ЙГЙС ЧОЕ ОЕЗП РПМС Й РПМС,

54

тЙУ. 8.6. ыБТ Й РТПЧПДОЙЛБ ЙМЙ ДЙ МЕЛФТЙЛБ РПНЕ ЕО Ч РПУФПСООПЕ Й ПДОПТПДОПЕ МЕЛФТЙ ЕУЛПЕ РПМЕ (ЙУЛБЦЕОЙС УЙМПЧ И МЙОЙК РПМС ЧВМЙ ЙБТБ ОЕ РПЛБ БО )

РПТПЦДЕООПЗП БТПН. рПУМЕДОЕЕ ДПМЦОП УРБДБФ Л ОХМА ОБ ВПМ -ЙИ ТБУУФПСОЙСИ, РП ФПНХ ЧДБМЙ ПФ БТБ (r a) ПУФБЕФУС ФПМ ЛП ЧОЕ ОЕЕ РПМЕ. рХУФ ЧОЕ ОЕЕ РПМЕ ПДОПТПДОП. оБРТБЧЙН ПУ Oz ЧДПМ ЧОЕ ОЕЗП РПМС (ТЙУ. 8.6). фПЗДБ

(E ! E0 = kE0;

r ! 1 ) ' ! E0 z = E0 r cos :

ч ВЕТЕН ФХ БУФ ТЕ ЕОЙС ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ (8.20), ЛПФПТБС РТЙ r ! 1 ПВМБДБЕФ ЙНЕООП ФБЛЙН РПЧЕДЕОЙЕН:

' = P10(cos ) A(+)10 r + A(10 )r 2 ;

ЗДЕ ОХЦОП РПМПЦЙФ A(+)10 = E0. фПЗДБ

' = E0 r cos 1 A=r3 :

рПФЕОГЙБМ ОБ РПЧЕТИОПУФЙ БТБ ДПМЦЕО В Ф РПУФПСОО Н (ТБ - ОПУФ РПФЕОГЙБМПЧ РПТПДЙМБ В ФПЛ, ЛПФПТ К Ч ТПЧОСМ В РПФЕОГЙБМ). ч ВЕТЕН ЕЗП ТБЧО Н ОХМА. фПЗДБ ЗТБОЙ ОПЕ ХУМПЧЙЕ ЙНЕЕФ

55

×ÉÄ: 'jr=a = 0, ПФЛХДБ A = a3. ч ЙФПЗЕ БРЙУ ЧБЕН ТЕ ЕОЙЕ БДБ Й:
' = 80;	a3	r 6 a;
<E0 r cos r3 1 ;		r > a:
п ЕЧЙДОП, МЕО У a3 ÏÐÉÓ:	ЧБЕФ РПМЕ, РПТПЦДБЕНПЕ БТПН. уТБЧОЙ-

ЧБС ФХ БУФ ТЕ ЕОЙС У РПФЕОГЙБМПН ФП Е ОПЗП ДЙРПМС (Ч ТБЦЕОЙЕ (8.9)), ЧЙДЙН, ФП БТ ЧЕДЕФ УЕВС ЛБЛ ДЙРПМ У НПНЕОФПН

d = a3E0:

фЕРЕТ РП ЖПТНХМЕ (8.21) НПЦОП ОБКФЙ РМПФОПУФ БТСДБ ОБ РП-

ЧЕТИОПУФЙ БТБ:

"		" @'				3
=		(n r') =		@r	=		" E0	cos :
	4		4			4

Й МЕЛФТЙ ЕУЛЙК БТ ЧП ЧОЕ ОЕН РПМЕ. тБУУНПФТЙН БДБ Х ПВ ПДОПТПДОПН ДЙ МЕЛФТЙ ЕУЛПН БТЕ ТБДЙХУБ a, РПНЕ ЕООПН Ч РХУФПЕ РТПУФТБОУФЧП, Ч ЛПФПТПН УП ДБОП МЕЛФТЙ ЕУЛПЕ РПМЕ, РТЙ ЕН ЧДБМЙ ПФ БТБ (r a) РПМЕ ПДОПТПДОП. оБРТБЧЙН ПУ Oz ЧДПМ ОБРТБЧМЕОЙС, ЛПФПТПЕ РПМЕ ЙНЕЕФ РТЙ r ! 1 (ÒÉÓ. 8.6). ëÁË É × ÐÒÅÄ ÄÕ ÅÍ ÓÌÕ ÁÅ,

(E ! E0 = kE0;

r ! 1 ) ' ! E0 z = E0 r cos :

тЕ ЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ (8.20), ПВМБДБА ЕЕ ФБЛЙН РПЧЕДЕОЙЕН РТЙ r ! 1, ЙНЕЕФ ЧЙД:

' = P10(cos ) A(+)10 r + A(10 )r 2 cos A(+)10 r + A(10 )r 2 :

úÁÍÅ ÁÎÉÅ. н Ч ВЙТБЕН Ч ЖПТНХМЕ (8.20) ФПМ ЛП МЕО У ПУЕ- ЧПК УЙННЕФТЙЕК, Ф.Е. У m = 0. нПЦОП В МП В ЧЛМА ЙФ Ч ТЕ Е-

ÎÉÅ ×ÓÅ ÌÅÎ ×ÉÄÁ P 0 r l 1 У l = 1, ЛПФПТ Е ФБЛЦЕ ЙНЕАФ ПУЕЧХА
l	6

УЙННЕФТЙА Й ПВТБ БАФУС Ч ОХМ Ч РТЕДЕМЕ r ! 1. оП РПУЛПМ ЛХ ЧОЕ ОЕЕ РПМЕ ПРЙУ ЧБЕФУС Ч ТБЦЕОЙЕН, УПДЕТЦБ ЙН ФПМ ЛП ЖХОЛГЙА P10(cos ) cos , ХТБЧОЕОЙС ДМС ЛП ЖЖЙГЙЕОФПЧ, УФПС ЙИ РЕТЕД

56

ЖХОЛГЙСНЙ У l = 1, ВХДХФ МЙОЕКО НЙ ПДОПТПДО НЙ ХТБЧОЕОЙСНЙ У

6

ОХМСНЙ Ч РТБЧ И БУФСИ; Ч ЙФПЗЕ ЙИ ТЕ ЕОЙС ПЛБЦХФУС ТБЧО НЙ ОХМА.

ТБОЙ О Е ХУМПЧЙС ОБ ЗТБОЙГЕ ДЙ МЕЛФТЙЛПЧ РТЙ ПФУХФУФЧЙЙ РП- ЧЕТИОПУФО И БТСДПЧ ЙНЕАФ ЧЙД (УН. ЖПТНХМ (6.1), (6.4)):

n D1 = n D2; [n (E1 E2)] = 0:

УМЙ УТЕДБ 1 { ЧБЛХХН, Б УТЕДБ 2 { ДЙ МЕЛФТЙЛ У РПУФПСООПК ДЙ МЕЛФТЙ ЕУЛПК РТПОЙГБЕНПУФ А ", ФП ЛЧЙЧБМЕОФО Е ХУМПЧЙС ДМС РПФЕОГЙБМПЧ ЙНЕАФ ЧЙД:

n r ('1 " '2) = 0;	(8.22)
[n r('1 '2)] = 0:	(8.23)

оБРПНОЙН, ФП РПФЕОГЙБМ ПРТЕДЕМСАФУС У ФП ОПУФ А ДП БДДЙФЙЧ- ОПК ЛПОУФБОФ . оХЦОП Ч ВТБФ ФЙ ЛПОУФБОФ , ЙУИПДС Й ТБ ХНО И ЖЙ Й ЕУЛЙИ УППВТБЦЕОЙК. УФЕУФЧЕООП У ЙФБФ , ФП ЕУМЙ ОБ РПЧЕТИОПУФЙ ТБ ДЕМБ ОЕФ БТСДПЧ, ФП Ч ЛБЦДПК ФП ЛЕ РПЧЕТИОПУФЙ '1 = '2: ДЕКУФЧЙФЕМ ОП, УЛБ ПЛ РПФЕОГЙБМБ РТЙЧПДЙМ В Л ВЕУЛПОЕ ОПК ОБРТСЦЕООПУФЙ РПМС. пФУАДБ ХУМПЧЙЕ (8.23) УМЕДХЕФ БЧФПНБФЙ ЕУЛЙ, ФБЛ ФП СЧО Н ПВТБ ПН ОХЦОП ВХДЕФ Х ЙФ ЧБФ ФПМ ЛП (8.22).

МС БТБ ЕДЙОЙ О К ЧЕЛФПТ ОПТНБМЙ Л РПЧЕТИОПУФЙ ТБЧЕО n = r=r, РП ФПНХ n r = @=@r { ТБДЙБМ ОБС ЛПНРПОЕОФБ ЧЕЛФПТБ ОБВМБ. фБЛЙН ПВТБ ПН, УЙУФЕНБ ЗТБОЙ О И ХУМПЧЙК ЙНЕЕФ ЧЙД:

		'1 = '2		9 ÐÒÉ r = a:
		@'1	@'2				(8.24)
		@r	= " @r	=
рТЙ ФПН ТЕ ЕОЙЕ ЧОЕ БТБ ЙНЕЕФ;×ÉÄ:
' = cos		A(+)r + A( )r 2			!		E0 r cos
		10	10
					r!1	:
					A1
=) '1 = E0 r cos 1 r3

тЕ ЕОЙЕ ЧОХФТЙ БТБ ДПМЦОП ЙНЕФ ФБЛХА ЦЕ УФТХЛФХТХ, ОП МЕО У 1=r2 Ч ОЕН ОЕДПРХУФЙН, Ф.Л. ЧОХФТЕООСС ПВМБУФ БТБ УПДЕТЦЙФ

57

ФП ЛХ r = 0, ЗДЕ ФП Ч ТБЦЕОЙЕ ВХДЕФ ХИПДЙФ Ч ВЕУЛПОЕ ОПУФ . рП ФПНХ

'2 = A2 r cos :

пФУАДБ ЧЙДОП, ФП ЧОХФТЙ БТБ РПМЕ ПДОПТПДОПЕ.

у ЙЧЛБ ТЕ ЕОЙК, УПЗМБУОП ТБЧЕОУФЧБН (8.24), ДБЕФ:
							A1	= A2
'1 = '2 ) E0 a cos (1 A1=a3) = aA2 cos ) E0 1 a3									;
@'1	@'2	cos =a3 = "A2 cos )
@r	= " @r ) E0 cos 2E0 A1
						2A1	= "A2:
			) E0 1 + a3
тБ ТЕ БС УЙУФЕНХ МЙОЕКО И ХТБЧОЕОЙК ПФОПУЙФЕМ ОП A1;2, ОБИПДЙН:
	A1 = a3 " 1; A2	=		E0	3	:
					" + 2
	" + 2

пФУАДБ РПМХ БЕН ПЛПО БФЕМ О Е Ч ТБЦЕОЙС ДМС РПФЕОГЙБМБ УОБ-

ТХЦЙ Й ЧОХФТЙ БТБ:							" + 2	r3
8
>	'1	=	E0 r cos				" 1	a3		1 ;
>				3E0
:		=				r cos :
< '2			" + 2

рПМ ХСУ ФЙНЙ Ч ТБЦЕОЙСНЙ, НПЦОП РПМХ ЙФ ТСД РПМЕ О И ТЕ-ХМ ФБФПЧ.

рПМЕ ЧОХФТЙ БТБ: E2 = grad'2 =				3		E0.
				" + 2
	рМПФОПУФ РПМСТЙ БГЙЙ: P =	" 1	E2 =			3	" 1	E0.
		4			4 " + 2

ЙРПМ О К НПНЕОФ БТБ: d = V ÁÒ P = a3 " 1 E0.

"+ 2

3 " 1

рПЧЕТИОПУФО К БТСД: = (n P) = 4 " + 2 E0 cos .

58

тЙУ. 8.7. оЙЦОЕЕ РПМХРТПУФТБОУФЧП (z < 0) БРПМОЕОП РТПЧПДС ЕК УТЕДПК; Ч ЧЕТИОЕН РПМХРТПУФТБОУФЧЕ (z > 0) ТБУРПМБЗБАФУС ФП Е О Е БТСД

нЕФПД ПФТБЦЕОЙК. рТЙ ТЕ ЕОЙЙ БДБ МЕЛФТПУФБФЙЛЙ БУФП В ЧБЕФ ХДПВОП ЙУРПМ ПЧБФ УЙННЕФТЙКО Е УППВТБЦЕОЙС. рПЛБЦЕН РТЙНЕТ ФБЛПЗП РПДИПДБ. рХУФ РПМХРТПУФТБОУФЧП z < 0 БРПМОЕОП РТПЧПДС ЕК УТЕДПК; ПВМБУФ z > 0 { ДЙ МЕЛФТЙЛПН У ДЙ МЕЛФТЙ Е- УЛПК РТПОЙГБЕНПУФ А "; Ч ДЙ МЕЛФТЙЛ РПЗТХЦЕОП ОЕРТЕТ ЧОПЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ БТСДПЧ ЙМЙ УЙУФЕНБ ФП Е О И БТСДПЧ (ТЙУ. 8.7). фТЕВХЕФУС ОБКФЙ РПФЕОГЙБМ ' РТЙ z > 0 У Х ЕФПН ОБМЙ ЙС РТПЧПДОЙЛБ. тЕ ЕОЙЕ НПЦОП ОБКФЙ УМЕДХА ЙН ПВТБ ПН.

ðÕÓÔ '1 { ТЕ ЕОЙЕ БДБ Й РТЙ ОБМЙ ЙЙ БТСДПЧ Й ДЙ МЕЛФТЙЛБ, ОП Ч ПФУХФУФЧЙЕ РТПЧПДОЙЛБ. оБИПДЙ ХТБЧОЕОЙЕ:

div D1 = div " E1 = " r2'1 = 4 (x; y; z):

ъБНЕФЙН, ФП РПУЛПМ ЛХ БТСД ЕУФ ФПМ ЛП Ч ЧЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ, r2'1 = 0 ÐÒÉ z < 0.

рПУФТПЙН ЙУЛХУУФЧЕООП ЖХОЛГЙА '2(x; y; z) '1(x; y; z).ЕМБС Ч БРЙУБООПН Ч Е ХТБЧОЕОЙЙ БНЕОХ: z ! z, '1 ! '1, РТСНПК РПДУФБОПЧЛПК ХВЕЦДБЕНУС, ФП

" r2'2 = 4 (x; y; z):

фБЛЙН ПВТБ ПН, ЖХОЛГЙС '2 ПРЙУ ЧБЕФ РПФЕОГЙБМ Ч ФПН УМХ-БЕ, ЛПЗДБ БТСД РЕТЕОЕУЕО Ч ОЙЦОЕЕ РПМХРТПУФТБОУФЧП Й

ЙОЧЕТФЙТПЧБО РП ОБЛХ.

59