Elektrodinamika

тЙУ. 9.3. ХОЛГЙС мПТЕОГБ У ТЕ ПОБОУОПК БУФПФПК !0

РТЕГЕУУЙЙ ПФМЙ БЕФУС ПФ ЖБ РПМС. юФПВ ОБКФЙ ЧЕМЙ ЙОХ ПФЛМПОЕОЙС, ОБКДЕН НПДХМ m+:

			q
								h m0
j	m+	=		mx2 + my2	=	p					:
	j					(!			2	2
									!0)	+ 1=T2

í ÐÏÌÕ ÉÌÉ ÔÉÐÉ ÎÕÀ ТЕ ПОБОУОХА ЛТЙЧХА, ЛПФПТХА ПРЙУ ЧБЕФ

ЖХОЛГЙС мПТЕОГБ (МПТЕОГЙБО).

рПМЕ ПДОПТПДОП ОБНБЗОЙ ЕООПК УТЕД . ч Е Н ТБУУНБФТЙ- ЧБМЙ НБЗОЙФО К НПНЕОФ, УП ДБОО К ЗТХРРПК БУФЙГ, Ф.Е. ПУОПЧ ЧБ- МЙУ ОБ ДЙУЛТЕФОПК НПДЕМЙ. пДОБЛП НБЗОЙФОБС РПМСТЙ БГЙС (ОБНБЗОЙ ЕООПУФ ) НПЦЕФ В Ф ТБУУНПФТЕОБ Й Ч РТЙВМЙЦЕОЙЙ УРМП ОПК УТЕД (Н ФП ПВУХЦДБМЙ ТБОЕЕ).

чЕЛФПТО К РПФЕОГЙБМ НБЗОЙФОПЗП РПМС, РПТПЦДЕООПЗП РТПУФТБОУФЧЕООП-ТБУРТЕДЕМЕОО НЙ НБЗОЙФО НЙ НПНЕОФБНЙ, НПЦОП ОБКФЙ, ПРЙТБСУ ОБ БОБМПЗЙА У МЕЛФТПУФБФЙЛПК, ЗДЕ УЛБМСТО К РПФЕОГЙБМ ФП Е ОПЗП ДЙРПМС, ОБИПДС ЕЗПУС Ч ОБ БМЕ ЛППТДЙОБФ,

ТБЧЕО

'(r) = dr3r;

Б РПФЕОГЙБМ ОЕРТЕТ ЧОПК РПМСТЙ ПЧБООПК УТЕД

'(r) =	ZV	P(r0) (r r0) dV 0	:
		jr r0j3

70

фПЗДБ ДМС ЧЕЛФПТОПЗП РПФЕОГЙБМБ ЙНЕЕН:

A(r) = [m r]	= A(r) =			ZV	[M(r0) (r r0)]			dV 0:
r3	)					jr r0j3
ьФХ ЖПТНХМХ НПЦОП РЕТЕРЙУБФ Ч ОЕУЛПМ ЛП ЙОПН ЧЙДЕ, ЙУРПМ ХС
ФПЦДЕУФЧП: r(1=r) = r=r3. йНЕЕН:							M(r0)
	M(r0)
A(r) = ZV rr		dV 0		=	rr ZV			dV 0 :
	jr r0j3						jr r0j3
ьФПФ ТЕ ХМ ФБФ НПЦОП ФБЛЦЕ БРЙУБФ Ч ЧЙДЕ:
	A(r) = rot Z(r);
	Z(r) = ZV		M(r0)
						dV 0:
			jr r0j

рП БОБМПЗЙЙ У ЧЕЛФПТПН (8.13) ЧЕЛФПТ Z ОБ ЧБЕФУС НБЗОЙФО Н ЧЕЛФПТПН ЕТГБ. рПМ ХСУ ДБМЕЕ БОБМПЗЙЕК У ЖПТНХМБНЙ МЕЛФТПУФБФЙЛЙ, НПЦОП ХУФБОПЧЙФ ХТБЧОЕОЙЕ, ЛПФПТПНХ ХДПЧМЕФЧПТСЕФ НБЗОЙФО К ЧЕЛФПТ ЕТГБ { УЛБМСТО К РПФЕОГЙБМ (8.7) СЧМСЕФУС ТЕ Е- ОЙЕН ХТБЧОЕОЙС рХБУУПОБ

'(r) = ZV		(r0)			=) r2 ' = 4 ;
				dV 0
		jr r0j
УППФЧЕФУФЧЕООП
Z(r) = ZV	M(r0)				=) r2 Z = 4 M:
			dV 0
	jr r0j

тБУУНПФТЙН ФЕРЕТ ПВ О Е ЖПТНХМ , РП ЧПМСА ЙЕ Х ЕУФ ОБМЙ-ЙЕ УТЕД РХФЕН ЧЧЕДЕОЙС РПМЕК B Й H:

B = rot A = rot (rot Z) = grad (div Z) r2Z = rdiv Z + 4 M: пФУАДБ УМЕДХЕФ ЖПТНХМБ ДМС ОБРТСЦЕООПУФЙ НБЗОЙФОПЗП РПМС:

H = B 4 M = grad (div Z) :

úÁÍÅ ÁÎÉÅ. ч ЧПДС НХМ ФЙРПМ ОПЕ ТБ МПЦЕОЙЕ, Н У ЙФБМЙ, ФП ОБНБЗОЙ ЕООПК УТЕД ОЕФ. ч ФПН УМХ БЕ РТЙ ТБВПФЕ Ч УЙУФЕНЕБХУУБ = 1 Й B = H = rot A, ФБЛ ФП НПЦОП ЙУРПМ ПЧБФ МАВПЕ Й ПВП ОБ ЕОЙК. фЕРЕТ УМЕДХЕФ ЧУРПНОЙФ , ФП РП ФТБДЙГЙЙ УПВУФЧЕООП РПМЕ (ВЕ Х ЕФБ УТЕД ) ПРЙУ ЧБЕФ ЧЕЛФПТ НБЗОЙФОПК ЙО-

ДХЛГЙЙ B, ФБЛ ФП B = rot A = H.

6

71

div H = 4 M

div E = 4 ( + P )

div D = div (E + 4 P) = 4 )

уЛБМСТО К НБЗОЙФО К РПФЕОГЙБМ. ч НБЗОЙФПУФБФЙ ЕУЛПК УЙФХБГЙЙ, ЛПЗДБ УХ ЕУФЧХАФ ФПМ ЛП НПМЕЛХМСТО Е ФПЛЙ, РПТПЦДБА-ЙЕ НБЗОЙФО Е НПНЕОФ , ОП ОЕФ ОЙ ФПЛПЧ РТПЧПДЙНПУФЙ j, ОЙ ФПЛПЧ РПМСТЙ БГЙЙ @@tP É ÓÍÅ ÅÎÉÑ @@tE, ЧУЕ ХТБЧОЕОЙС ПЛБ ЧБАФУС ЖПТНБМ ОП БОБМПЗЙ О НЙ ХТБЧОЕОЙСН МЕЛФТПУФБФЙЛЙ. ьФП РП ЧПМСЕФ ЧЧЕУФЙ УЛБМСТО К НБЗОЙФО К РПФЕОГЙБМ:

H = grad (div Z) ) rot H = 0 ) H = grad ( = div Z):

нБЗОЙФО Е БТСД . уЙННЕФТЙ ОПУФ ЖПТН ХТБЧОЕОЙК нБЛУ- ЧЕММБ ПФОПУЙФЕМ ОП Ч БЙНОПК РЕТЕУФБОПЧЛЙ МЕЛФТЙ ЕУЛЙИ Й НБЗОЙФО И РПМЕК:

E; D; t H; B; t;

ДБМБ ПУОПЧБОЙЕ ДМС ФПЗП, ФПВ РПУФБЧЙФ ЧПРТПУ П УХ ЕУФЧПЧБ- ОЙЙ НБЗОЙФО И БТСДПЧ Й ФПЛПЧ. нОПЗПМЕФОЙЕ РПР ФЛЙ ОБКФЙ Б- УФЙГ , СЧМСА ЙЕУС ОПУЙФЕМСНЙ НБЗОЙФОПЗП БТСДБ (НПОПРПМЙ), ОЕ

РТЙЧЕМЙ Л ХУРЕИХ: Ч ФП ЧТЕНС ЛБЛ div E = 4 = 0, ЧУЕЗДБ ПЛБ ЧБ-

ЕФУС, ФП div H = 0 пДОБЛП РТЙ РТПЧЕДЕОЙЙ ТБУ ЕФПЧ ЙОПЗДБ ХДПВОП

: 6

ЧЧПДЙФ ЖЙЛФЙЧО Е БТСД { ЛБЛ МЕЛФТЙ ЕУЛЙЕ, ФБЛ Й НБЗОЙФО Е. н РПЛБ ЧБМЙ, ФП РТПУФТБОУФЧЕООПЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ ДЙРПМ ОПЗП НПНЕОФБ Ч ДЙ МЕЛФТЙЛЕ ( МЕЛФТЙ ЕУЛХА РПМСТЙ БГЙА) НПЦОП ПРЙ- У ЧБФ ДЧПСЛЙН ПВТБ ПН: ЛБЛ ЧЕЛФПТОПЕ РПМЕ P МЙВП ЛБЛ РМПФОПУФБТСДБ P :

=) P = div P:

ъБРЙУ ЧБС БОБМПЗЙ О Е ЖПТНХМ , НПЦОП ЧЧЕУФЙ (ЖЙЛФЙЧОХА) РМПФОПУФ НБЗОЙФОПЗП БТСДБ:

div B = div (H + 4 M) = 0)

=) M = div M:

уИПДО Н ПВТБ ПН, Ч СЧ ЖПТНХМХ, УЧС ЧБА ХА УЛБ ПЛ РПМСТЙ БГЙЙ У РМПФОПУФ А МЕЛФТЙ ЕУЛПЗП БТСДБ (УН. У. 31),

n (D2 D1) = 4 ) =) n (P2 P1) = P ;

D = E + 4 P

72

НПЦОП ЧЧЕУФЙ ЕЕ НБЗОЙФО К БОБМПЗ:

n (M2 M1) = M :

ьОЕТЗЙС НБЗОЙФОПЗП РПМС УФБГЙПОБТО И ФПЛПЧ. тБОЕЕ Н РПЛБ БМЙ (У. 39), ФП Ч МЕЛФТПУФБФЙЛЕ ОЕТЗЙС РПУФПСООПЗП МЕЛФТЙ ЕУЛПЗП РПМС ТБЧОБ УХННЕ ОЕТЗЙК РБТО И Ч БЙНПДЕКУФЧЙК БТСДПЧ. ч ЧЕДЕН БОБМПЗЙ ОХА ЖПТНХМХ ДМС НБЗОЙФОПЗП РПМС Й ФПЛПЧ.

рПМБЗБС, ФП E = D = 0, БРЙ ЕН ФПМ ЛП "НБЗОЙФОХА" БУФ РПМОПК ОЕТЗЙЙ МЕЛФТПНБЗОЙФОПЗП РПМС:

	1
U =	8 ZV	B HdV:

ч РПМОЙН РТЕПВТБ ПЧБОЙС:

B = rot A ) B H = H rot A = A rot H div [H A]:

рПДУФБЧЙН B H, БРЙУБООПЕ Ч ФПН ЧЙДЕ, РПД ОБЛ ЙОФЕЗТБМБ Й Ч РПМХ ЙЧ ЕНУС Ч ТБЦЕОЙЙ РТЕПВТБ ХЕН ПВ ЕНО К ЙОФЕЗТБМ ПФ ДЙ- ЧЕТЗЕОГЙЙ Ч РПЧЕТИОПУФО К ЙОФЕЗТБМ:

1

ZV

1

I

U =

(A rot H) dV

S

[H A] d~ :

8

8

!0

нПЦОП РПЛБ БФ , ФП ЕУМЙ РПЧЕТИОПУФ| , ПИЧБФ{z ×ÁÀ} ÕÀ Ï ÅÍ

V , ОЕПЗТБОЙ ЕООП ТБУ ЙТСФ Ч ВЕУЛПОЕ ОПУФ , ЧЛМБД РПЧЕТИОПУФ-

ОПЗП ЙОФЕЗТБМБ ТБЧЕО ОХМА.

юФПВ РТЕПВТБ ПЧБФ РЕТЧ К МЕО,

ОБРПНОЙН ТБОЕЕ РТПДЕМБОО Е Ч ЛМБДЛЙ:

( )

4

j

4

4

4

rot H =

c

c rot M =

j ) rot B =

(j + jM ) ;

9 ) rot B c

c

c

;

| {z }

2

2

H = B

4 M=

jM

rot B = rot rot A = grad(divA) r A = r A;

2

4

| {z( }) 1

j(r0) + jM (r0)

0

!0

Z

r A = c (j + jM ) ) A(r) = c

dV :

jr r0j

73

рПДУФБЧМСС ТБЧЕОУФЧБ (*) Й (**) Ч ЙОФЕЗТБМ, РПМХ БЕН

U = 2c2	ZZ			jr r0j	dV dV 0:
1		j(r)		(j(r0) + jM (r0))

ч ОБЙВПМЕЕ РТПУФПН УМХ БЕ, ЛПЗДБ B = H, = const, ЙНЕЕН:
rot B =	4	(j + jM ) = rot H =				4	j, ПФЛХДБ
	c					c
				j + jM = j:
фЕРЕТ ОЕТЗЙА НПЦОП БРЙУБФ Ч ЧЙДЕ
			2c2	ZZ	jr r0j
		U =			j(r) j(r0) dV dV 0			:

МС ОЕРЕТЕУЕЛБА ЙИУС (ЛЧБ Й)МЙОЕКО И РТПЧПДОЙЛПЧ ЧНЕУФП ПВ ЕНОПК РМПФОПУФЙ ФПЛБ ВПМЕЕ ХДПВОП ПРЕТЙТПЧБФ УЙМПК ФПЛБ: jdV = I dl; Ч ФЙИ ПВП ОБ ЕОЙСИ ЖПТНХМБ РТЙОЙНБЕФ ЧЙД:

U =		1		LikIiIk;
	2c2		i;k
			X
ÇÄÅ
Lik =				dli dlk	:
		ICi ICk jri rkj
úÄÅÓ Ci { БНЛОХФ Е ЛПОФХТ У ФПЛПН, Ii { УЙМБ ФПЛБ Ч i-Н ЛПОФХТЕ;

Lik	{ Ч БЙНО Е ЙОДХЛФЙЧОПУФЙ (i = k) Й ЙОДХЛФЙЧОПУФЙ (i = k)
ЛПОФХТПЧ У ФПЛПН.		6

74

ÌÁ×Á 10

чПМОПЧ Е ТЕ ЕОЙС ХТБЧОЕОЙК нБЛУЧЕММБ

рПМЕ, УП ДБЧБЕНПЕ ДЧЙЦХ ЙНЙУС БТСДБНЙ. рТЙОГЙРЙБМ ОП ЧБЦО Н ФЙРПН ТЕ ЕОЙК ХТБЧОЕОЙК нБЛУЧЕММБ СЧМСАФУС ОЕОХМЕЧ Е ТЕ ЕОЙС, ХДПЧМЕФЧПТСА ЙЕ ХТБЧОЕОЙСН ВЕ ЙУФП ОЙЛПЧ (Ч ПФУХФУФЧЙЕ БТСДПЧ Й ФПЛПЧ). ьФЙ ТЕ ЕОЙС ПРЙУ ЧБАФ УБНПРПДДЕТЦЙЧБА ХАУС ЧПМОХ МЕЛФТПНБЗОЙФОПЗП РПМС (Й НЕОСА ЕЕУС ЧП ЧТЕНЕОЙ МЕЛФТЙ ЕУЛПЕ РПМЕ РПТПЦДБЕФ НБЗОЙФОПЕ РПМЕ, Й ОБПВПТПФ).

ъБРЙ ЕН ХТБЧОЕОЙС нБЛУЧЕММБ Ч РХУФПН РТПУФТБОУФЧЕ Й Ч ПФУХФУФЧЙЕ БТСДПЧ Й ФПЛПЧ:

rot E =	1 @H	;	div H = 0;
	c @t
	1 @E
rot H =	c @t ;		div E = 0:

рТЙНЕОСС ЖПТНХМХ РТЕПВТБ ПЧБОЙС ДЧПКОПЗП ЧЕЛФПТОПЗП РТПЙ - ЧЕДЕОЙС, ЙНЕЕН:

1 @

1

@2

rot rot E = grad (div E) r2 E = c

rot H =

E;

@t

c2

@t2

rot rot H = grad |(di{zv H})

2H = 1 @ rot E =

1

@2

H:

=0

| {z }

r

c @t

c2

@t2

=0

75

тЙУ. 10.1. рПЧЕТИОПУФЙ, ОБ ЛПФПТ И РТЙ ТБУРТПУФТБОЕОЙЙ РМПУЛПК ЧПМО ЖБ ЛПМЕВБОЙК ПДЙОБЛПЧ . оБРТБЧМЕОЙЕ ДЧЙЦЕОЙС ЧПМО ПРТЕДЕМСЕФУСОБЛПН ЛТХЗПЧПК БУФПФ !

ч ЙФПЗЕ Н РПМХ БЕН ЧПМОПЧ Е ХТБЧОЕОЙС:

1		@2			1		@2
r2E				E = 0;	r2H				H = 0:	(10.1)
	c2		@t2			c2		@t2

чПУРПМ ХЕНУС Й ЧЕУФО Н НБФЕНБФЙ ЕУЛЙН ТЕ ХМ ФБФПН: У РПНП-А НЕФПДБ ' МБНВЕТБ НПЦОП РТЕДУФБЧЙФ ТЕ ЕОЙЕ ПДОПТПДОПЗП ЧПМОПЧПЗП ХТБЧОЕОЙС Ч ЧЙДЕ УХРЕТРП ЙГЙЙ ЧУФТЕ О И ВЕЗХ ЙИ ЧПМО:

@2f	= c	2 @2f	=) f(x; t) = (x ct):	(10.2)
@t2		@x2

тПМ ЖХОЛГЙЙ НПЦЕФ ЙЗТБФ РТПЙ ЧПМ ОБС ДЧБЦД ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНБС ЖХОЛГЙС. УМЙ РПДУФБЧЙФ Ч ЧЙДЕ ТБ МПЦЕОЙС Ч ТСД (ЙОФЕЗТБМ) ХТ Е, НПЦОП РПМХ ЙФ ТЕ ЕОЙЕ ЧПМОПЧПЗП ХТБЧОЕОЙС Ч ЧЙДЕ УХРЕТРП ЙГЙЙ ЗБТНПОЙ ЕУЛЙИ (УЙОХУПЙДБМ О И) ВЕЗХ ЙИ ЧПМО. ч ЖЙ ЙЛЕ ЧБЦО ЙНЕООП ФБЛЙЕ ТЕ ЕОЙС, Ф.Л. БУФП ЗБТНПОЙ ЕУЛЙ ПУГЙММЙТХА ЙК ФПЛ РПТПЦДБЕФ ЙНЕООП УЙОХУПЙДБМ ОХА ЧПМОХ. лТПНЕ ФПЗП, Й Х ЙЧ УЧПКУФЧБ ПДЙОП ОПК УЙОХУПЙДБМ ОПК ЧПМО , Н НПЦЕН РПФПН "УПВТБФ " Й ФБЛЙИ ЧПМО РТПЙ ЧПМ ОПЕ ТЕ ЕОЙЕ. уЙОХУПЙДБМ ОХА ЧПМОХ НПЦОП БРЙУБФ ЛБЛ

f(x; t) = A cos(!t kx + '0); ! = k c:

76

ХДЕН ТБУУНБФТЙЧБФ ЗБТНПОЙ ЕУЛЙЕ ВЕЗХ ЙЕ ЧПМО Ч ФТЕИНЕТОПН УМХ БЕ. оЕ РТЕДУФБЧМСЕФ ПУПВПЗП ФТХДБ УДЕМБФ ПВПВ ЕОЙЕ ДМС ФТЕИНЕТОПЗП УМХ БС:

E = E n cos(!t k r + '0) =

) (

r2E = k2

E n Re ei (!t k r+'0)

;

2

•

•

= E nRe e

i (!t k r+'0)

!

2

E nRe e

i (!t k r+'0)

E =

:

рПДУФБЧМСС r

E Й E Ч ЧПМОПЧПЕ ХТБЧОЕОЙЕ, Н ХВЕЦДБЕНУС Ч ФПН,

ФП ТБЧЕОУФЧП ЙНЕЕФ НЕУФП РТЙ

c2 k2 = !2:

УМЙ k, БДБА ЕЕ ОБРТБЧМЕОЙЕ, РЕТРЕОДЙЛХМСТОПЕ ЖТПОФХ ЧПМО , Ч ВТБОП ПРТЕДЕМЕОО Н ПВТБ ПН, ДЧХН ЧПМОБН, ВЕЗХ ЙН Ч РТПФЙЧПРПМПЦО И ОБРТБЧМЕОЙСИ, УППФЧЕФУФЧХАФ ЛТХЗПЧ Е БУФПФ (ТЙУ. 10.1):

! = jkj c:

ОБМПЗЙ О Н ПВТБ ПН НПЦОП БРЙУБФ ТЕ ЕОЙЕ ЧПМОПЧПЗП ХТБЧ-
		1 @H
ОЕОЙС ДМС НБЗОЙФОПЗП РПМС: H = H qRe		ei (!t k r+'0)	. рБТБНЕФТ

РПМЕК ДПМЦО В Ф УПЗМБУПЧБО : РТЙТБЧОЙЧБС, Ч УППФЧЕФУФЧЙЙ У ХТБЧОЕОЙЕН нБЛУЧЕММБ, Ч ТБЦЕОЙС ДМС rot E Й c @t :

rot E = [r E] = [k n] E Im ei (!t k r+'0)

=

=

1 @H

=

1

i (!t k r+'0)

c @t

c

! H qIm e

;

РПУМЕ УПЛТБ ЕОЙС ПВ ЙИ НОПЦЙФЕМЕК ЙНЕЕН

[k n] E

1

! H q = jkjH q;

= c

ÉÌÉ

k

k n E = qH:

é

[(k=k)

n]

1 É

q

= 1 УМЕДХЕФ, ФП E

H. мЕЗЛП ЧЙ-

j

j

j

j

1

@E

ДЕФ , ФП БОБМПЗЙ О Е Ч ЙУМЕОЙС ДМС ХТБЧОЕОЙС rot H = c @t

ÐÒÉ-

ЧЕДХФ Л ЖПТНХМЕ, РПМХ БА ЕКУС Й РПМХ ЕООПК Ч Е РХФЕН БНЕО

77

n; E ! q; H Й РЕТЕНЕО ОБЛБ. й ФПК ЖПТНХМ , Ч БУФОПУФЙ, ВХ-
ДЕФ УМЕДПЧБФ , ФП H E: х ЙФ ЧБС, ФП jnj = jqj = 1, Н ОБИПДЙН
ÏËÏÎ ÁÔÅÌ ÎÏ:
k	k
q = n k ;	n = q k ; E = H:

оБКДЕООПЕ ТЕ ЕОЙЕ ПРЙУ ЧБЕФ РМПУЛХА МЕЛФТПНБЗОЙФОХА ЧПМОХ, Ч ЛПФПТПК ОБРТБЧМЕОЙС ЧЕЛФПТПЧ МЕЛФТЙ ЕУЛПЗП Й НБЗОЙФОПЗП РПМЕК, Б ФБЛЦЕ ЧПМОПЧПЗП ЧЕЛФПТБ k Ч БЙНОП РЕТРЕОДЙЛХМСТО ; РТЙ ФПН БНРМЙФХД ЛПМЕВБОЙК МЕЛФТЙ ЕУЛПЗП Й НБЗОЙФОПЗП РПМЕК ТБЧО .

лБМЙВТПЧЛБ мПТЕОГБ. чПМОПЧ Е ХТБЧОЕОЙС ДМС РПФЕОГЙБМПЧ. ч ОЕЛПФПТ И УМХ БСИ ВПМЕЕ ХДПВОП ЙУРПМ ПЧБФ ТЕ ЕОЙС ЧПМОПЧ И ХТБЧОЕОЙК ДМС РПФЕОГЙБМПЧ ', A. МС РПМХ ЕОЙС ФБЛЙИ ХТБЧОЕОЙК ОХЦОП Ч ВТБФ ЛБМЙВТПЧЛХ РПФЕОГЙБМПЧ (УН. У. 62) РПОПЧПНХ. рПЛБЦЕН, ФП ХУМПЧЙЕ

1 @'	+ div A = 0	(10.3)
c @t

НПЦЕФ ЙЗТБФ ТПМ ЛБМЙВТПЧЛЙ (ЛБМЙВТПЧЛБ мПТЕОГБ). МС ФПЗП ЧП НЕН УППФОП ЕОЙС ЛБМЙВТПЧП ОПК ЙОЧБТЙБОФОПУФЙ Й РПЛБЦЕН,ФП Ч ВПТПН ЖХОЛГЙЙ f, ЧИПДС ЕК Ч УППФОП ЕОЙС (9.1), НПЦОП ДПВЙФ УС Ч РПМОЕОЙС БРЙУБООПЗП ХУМПЧЙС. йНЕЕН:

A ! A0	= A + grad f		9 )
	1 @f		;
' ! '	= ' c @t
			=
0
	@2f	c2r2f
	@t2

1 @'0
c	@t		+ div A0 =
	1		@'		1 @2f
=		@t				@t2	+ div (A + grad f) =
	c				c2
= 0
	+		1 @'	+ div A :
= c2		c @t

н РПМХ ЙМЙ ОЕПДОПТПДОПЕ ЧПМОПЧПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ДМС ЖХОЛГЙЙ f; ЕУМЙ ДМС ', A ХУМПЧЙЕ ЛБМЙВТПЧЛЙ мПТЕОГБ ОЕ Ч РПМОСЕФУС, Н НПЦЕН ОБКФЙ f ЛБЛ ТЕ ЕОЙЕ ФПЗП ХТБЧОЕОЙС { РТЙ ФБЛПН Ч ВПТЕ f ДМС ОПЧ И РПФЕОГЙБМПЧ '0, A0 ХУМПЧЙЕ ЛБМЙВТПЧЛЙ ВХДЕФ Ч РПМОЕОП.

78

ч ЧЕДЕН ЧПМОПЧ Е ХТБЧОЕОЙС ДМС РПФЕОГЙБМПЧ. уОБ БМБ РПМХ ЙН ХТБЧОЕОЙЕ ДМС A:

<

1 @E

4

<

1 @A

@t grad '

8rot H c @t

= c j ЧНЕУФЕ У 8E = c

div E = 4

:

H = rot A

РП ЧПМСЕФ:

ОБКФЙ:

1 @

1 @A

rot [rot A] c

c @t

grad '

=

@t

1 @'

1 @2A

4

= grad

c @t

+ div A

+

@t2

r2A =

j

c2

c

+ |

{z

}

=0 ДМС ЛБМЙВТПЧЛЙ (10.3)

r2A

1 @2A

4

j:

@t2

= c

(10.4)

c2

хТБЧОЕОЙЕ ДМС ' РПМХ БЕФУС УМЕДХА ЙН ПВТБ ПН:

1 @A

1 @ 1 @'

1 @2'

div c @t

grad ' = c

c @t

+ div A

+

@t2

r2' = 4

@t

c2

+ 1 @2'

|

{z

}

=0

r2' c2 @t2 = 4 :

рПМЕ, УП ДБЧБЕНПЕ БЧЙУС ЙН ПФ ЧТЕНЕОЙ ОЕРПДЧЙЦО Н Б- ТСДПН. МС РПМХ ЕОЙС ТЕ ЕОЙК, ПРЙУ ЧБА ЙИ ТЕБМ О Е ЖЙ Й Е- УЛЙЕ УЙФХБГЙЙ, ОБН РПОБДПВЙФУС (Ч ЛБ ЕУФЧЕ ЧУРПНПЗБФЕМ ОПЗП ТЕ-ХМ ФБФБ) ТЕ ЕОЙЕ РТПУФПК БДБ Й П РПМЕ, УП ДБЧБЕНПН ÔÏ Å Î Í

БТСДПН e(t), НЕОСА ЙНУС УП ЧТЕНЕОЕН РП ЧЕМЙ ЙОЕ, ÎÏ ÎÅ ÍÅÎÑ-

А ЙН РПМПЦЕОЙС Ч РТПУФТБОУФЧЕ. ч ФПН УМХ БЕ Ч ТБЦЕОЙЕ ДМС РМПФОПУФЙ БТСДБ ЙНЕЕФ ЧЙД:

(r; t) = e(t) Æ(r)

79