Учебник

7. Векторное произведение векторов

Соотношения (7.23) и (7.24) (а также (7.21)) представляют собой так называемые правила раскрытия определителей, только некоторые из них. Общие правила раскрытия определителей любого порядка изучают в дальнейших курсах алгебры. Здесь можно упомянуть еще более компактное правило раскрытия трехмерного определителя:

a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

i=3	j=3	k=3
= ∑∑∑εijk aibjck .			(7.25)
i=1	j=1	k=1

Теперь сравним выражение (7.24) с векторным произведением (7.22). Мы видим, что векторное произведение может быть записано в виде определителя третьего порядка:

	e1	e2	e3
a ×b =	a1	a2	a3	.	(7.26)
	b1	b2	b3

Такая запись векторного произведения векторов является самой компактной для запоминания и удобной для вычисления. Поэтому необходимо освоить насколько простых правил вычисления определителей.

Правило 1. Раскрытие по строке (по столбцу)

Âэтом курсе мы изучим только один вариант этого правила,

àименно — раскрытие определителя по первой строке. Согласно этому правилу, определитель третьего порядка представляет собой сумму произведений элементов первой строки на соответствующие определители второго порядка:

a1

a2

a3

b2

b3

b1

b3

b1

b2

b

b

b

= a

−a

+ a

.

(Правило 1)

1

2

3

1

c c

2

c c

3

c c

c1

c2

c3

2

3

1

3

1

2

113

I. Векторная алгебра

Правило 2

Это правило помогает запомнить соотношение (7.23).

a1 a2 a3

b1 b2 b3 = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a1b3c2 − a2b3c1 − a3b1c2 c1 c2 c3

с помощью такого рисунка:

. (Правило 2)

На рисунке линиями соединены коэффициенты, которые входят в соответствующие произведения, а знаки плюс и минус указывают на знак, с которым это произведение входит в определитель.

Правило 3. Использование дополнительных столбцов

Согласно этому правилу, достаточно справа от определителя дописать первый, а затем второй столбец. Далее в определитель включаются со знаком плюс произведения коэффициентов, стоящих по главной диагонали и параллельной ей диагоналях, а со знаком минус — коэффициенты, стоящие по малой диагонали и параллельной ей диагоналях.

a1 a2 a3

b1 b2 b3 = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a1b3c2 − a2b3c1 − a3b1c2 = c1 c2 c3

(Правило 3)

Выбор правила раскрытия определителей является делом вкуса каждого учащегося. Однако следует сказать, что наиболее удоб-

114

7. Векторное произведение векторов

ным и универсальным является правило 1, так как оно позволяет, во-первых, раскрывать определители любого порядка (сводя их к определителям меньшего порядка). Во-вторых, это правило позволяет раскрывать определитель по любой строке или столбцу, давая возможность выбрать наиболее удобную для вычислений строку (столбец) (например, содержащий наибольшее число нулей).

7.6. Сведения о векторном произведении

Основные свойства векторного произведения

1. Антикоммутативность (переместительное свойство) a ×b = −b ×a.

2. Ассоциативность (сочетательное свойство)

(λa) ×b = λ (a ×b).

3. Дистрибутивность (распределительное свойство)

(a1 +a2 ) ×b = a1 ×b +a2 ×b.

4. Параллельность векторов и векторное произведение a ×b = 0 a || b.

5. Площадь параллелограмма и модуль векторного произведения

a ×b = Sa,b .

Векторное произведение в декартовом базисе

a ×b = (a2b3 − a3b2 )e1 +(a3b1 − a1b3 )e2 +(a1b2 − a2b1 )e3 ,

a ×b = (a2b3 − a3b2 , a3b1 − a1b2 , a1b2 − a3b1 ).

Запись с помощью тензора Леви-Чивита

i=3 j=3 k=3

a ×b == ∑∑∑εijk aibjek . i=1 j=1 k=1

115

I. Векторная алгебра

Запись с использованием определителей второго порядка

a ×b =

a2

a3

e

−

a1

a3

e

+

a1

a2

e

,

b

b

1

b

b

2

b

b

3

2

3

1

3

1

2

a ×b =

a

a

, −

a

a

,

a

a

2

3

1

3

1

2

.

b2

b3

b1

b3

b1

b2

Запись с помощью определителя третьего порядка

e1 e2 e3 a ×b = a1 a2 a3 .

b1 b2 b3

8. СМЕШАННОЕ И ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

8.1. Определение смешанного произведения

Результатом векторного произведения двух векторов a è b является вектор a ×b. Поэтому к нему можно опять применить операции, характерные для векторов. В частности, этот вектор можно умножить на какой-нибудь третий вектор c. Причем умножить можно и векторным способом — (a ×b) ×c, и скалярным — (a ×b) c. Такие произведения трех векторов часто встречаются при решении различных задач, поэтому и возникает необходимость их отдельного рассмотрения.

Произведение (a ×b) c содержит как скалярное, так и векторное произведения, поэтому оно называется смешанным произведением векторов. Оказывается, смешанное произведение имеет вполне определенное математическое значение. Для выяснения смысла смешанного произведения докажем следующее утверждение.

Основное свойство смешанного произведения

Смешанное произведение (a ×b) c трех векторов a, b, c равно ориентированному объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, как на сторонах:

(a ×b) c =V (orient ) .	(8.1)
abc

117

I. Векторная алгебра

Доказательство

1. Правая тройка векторов a, b, c.

Рассмотрим правую (и следовательно — некомпланарную) тройку векторов a, b, c. Возьмем в пространстве точку O и отложим от нее направленные отрезки, равные соответствую-

щим векторам: OA = a, OB = b è	OC = c. Из точек A, B è
C проведем отрезки CE = BD = a,	CG = AD = b è AE = BG = c,
а затем — отрезки GF = a, EF = b	è DF = c так, чтобы достро-
ить фигуру до параллелепипеда.

Теперь из точки O отложим направленный отрезок OL = a, равный векторному произведению a ×b. Длина отрезка OL = a ×b

представляет собой вектор, модуль которого

a ×b

равен площа-

äè Sab , а значит — площади параллелограмма

OADB,

который

является основанием параллелепипеда OADBCEFG :

a ×b

=

OL

= SOADB .

(ÑÏ 1)

Направлен же этот вектор, согласно определению векторного произведения, перпендикулярно плоскости (OAB). Более того, так как тройка векторов a, b, c правая, то векторы c è a ×b направлены в одну сторону от плоскости (OAB).

Опустим из точки C перпендикуляр на прямую (OL) и отметим точку M , которая является основанием этого перпендикуляра. Направленный отрезок OM есть не что иное, как проекция вектора c на вектор a ×b, поэтому скалярное произведение c íà a ×b равно:

(a ×b) c = (a ×b) Prabc = OL OM = OLOM = OLOM . (ÑÏ 2)

Последние соотношения справедливы в силу сонаправленности отрезков OL è OM . Если теперь из точки C опустить перпендикуляр CN на плоскость (OAB), то величина отрезка CN будет совпадать с величиной отрезка OM и в то же время будет являться высотой параллелепипеда OADBCEFG :

	CN		=		OM		= h.	(ÑÏ 3)

118

8. Смешанное и двойное векторное произведение векторов

Таким образом, смешанное произведение оказывается равным произведению площади основания параллелепипеда на его высоту, проведенную к этому основанию:

(a ×b) c =		OL				OM		= SOADB h.	(ÑÏ 4)

А смешанное произведение (a ×b) c равно объему этого параллелограмма:

(a ×b) c =Vabc ( a, b , c — правая тройка).

(ÑÏ 5)

Ðèñ. 8.1. Смешанное произведение векторов (правая тройка векторов)

2. Компланарные векторы a, b, c.

Если вектор c лежит в плоскости, образованной векторами a, b, то он перпендикулярен векторному произведению этих векторов c a ×b, и следовательно, скалярное произведение векторов

c è a ×b равно нулю, то есть
(a ×b) c = 0 ( a, b,	c — компланарны).	(ÑÏ 6)
3. Левая тройка векторов a,	b, c.

Предположим, что тройка векторов a, b, c является левой тройкой векторов. Тогда векторы c è a ×b направлены в разные стороны от плоскости, образованной векторами a, b, и следовательно, их скалярное произведение отрицательно. Абсолютное

119

I. Векторная алгебра

значение величины (a ×b) c находится аналогично пункту 2 этого доказательства и равно (a ×b) c =Vabc. Следовательно,

(a ×b) c = −Vabc ( a, b, c — левая тройка).

(ÑÏ 7)

4. Объем ориентированного параллелепипеда.

Полученные соотношения можно объединить в одно, если ввести понятие объема ориентированного параллелепипеда. Для этого обычный объем параллелепипеда, который всегда положителен, доопределим знаком, который будет нести информацию, на какой тройке векторов — левой или правой — построен параллелепипед:

	V		, a, b, c — правая тройка
V (orient ) =	0,abcесли a, b, c — компланарны .				(ÑÏ 8)
abc				, если a, b, c — левая тройка
	–V
		abc

5. Смешанное произведение в общем случае.

Теперь, исходя из результатов пунктов 1, 2, 3 и определения ориентированного объема, получаем окончательное выражение для смешанного произведения:

(a ×b) c =V (orient ) . ■	(ÑÏ 9)
abc

8.2. Свойства смешанного произведения

Основные свойства смешанного произведения следуют как раз из геометрического смысла смешанного произведения как объема параллелепипеда, построенного на сомножителях. Поэтому, если, например, все векторы лежат в одной плоскости, то объем такого параллелепипеда равен нулю. Таким образом, смешанное произведение компланарных векторов равняется нулю:

(a ×b) c = 0.

120

8. Смешанное и двойное векторное произведение векторов

Это соотношение оказывается настолько удобным для определения компланарности векторов, что в задачах вместо слов о том, что векторы лежат или параллельны одной плоскости, просто указывают соотношение: (a ×b) c = 0. К этому же свойству относится и правило, которое гласит, что смешанное произведение, содержащее два одинаковых вектора, равно нулю.

Второе свойство мы получим, если попытаемся вычислить смешанное произведение, в котором переставим векторы циклически: (b ×c) a = ? Очевидно, что результатом такого произведения будем объем того же ориентированного параллелепипеда:

(b ×c) a =Vbca =Vabc ,

и следовательно, циклические перестановки сомножителей в смешанном произведении не изменяют его. Если же просто переставить какие-нибудь два вектора, то опять получим такой же параллелепипед, но с другой ориентацией векторов. Значит,

обычные перестановки меняют знак смешанного произведе-

íèÿ (b ×a) c =Vacb = −Vabc. Два этих правила можно представить такой цепочкой равенств:

(a ×b) c = (b ×c) a = (c×a) b = −(b ×a) c = −(c×b) a = (a×c) b .(8.2)

Теперь воспользуемся коммутативностью скалярного произведения и в смешанном произведении поменяем местами векторы a ×b è c :

(a ×b) c = c (a ×b).

В правой части этого равенства можно, пользуясь равенствами (8.2), циклически переставить векторы:

c (a ×b) = a (b ×c).

Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем еще одно свойство смешанного произведения:

(a ×b) c = a (b ×c).

(8.3)

121

I. Векторная алгебра

Это свойство можно выразить в виде следующего правила:

âсмешанном произведении знаки умножения можно менять местами.

Это правило означает, что величина смешанного произведения не зависит от того, где стоит какой-либо знак произведения, а значит, мы вообще можем не указывать местоположение этих знаков. Поэтому в геометрии используется следующая специальная запись для смешанного произведения, в которой просто

âзаданном порядке перечисляются векторы-сомножители:

(a ×b) c = (a,b,c).

(8.4)

Таким же образом, как величина смешанного произведения позволяет найти объем, знак произведения должен помочь нам найти ориентацию набора векторов, входящих в произведение. Согласно определению, если сомножители образуют правую тройку, то смешанное произведение положительно, а если левую тройку, — отрицательно. Значит, если нам известен знак смешанного произведения, мы с уверенностью можем сказать, какова ориентация набора векторов-сомножителей:

(a,b,c) > 0		{a,b,c}	— правая тройка векторов;	(8.5 à)
(a,b,c) < 0		{a,b,c}	— левая тройка векторов.	(8.5 á)

Это свойство и тот факт, что объем параллелограмма равен смешанному произведению векторов, пока бесполезны, так как мы для нахождения самого смешанного произведения должны знать и объем, и ориентацию. Поэтому нам необходим альтернативный способ вычисления смешанного произведения, который мы рассмотрим в следующем подразделе.

В частности, для того, чтобы в смешанном произведении можно было использовать координатное представление векторов, необходимо убедиться, что для смешанного произведения справедливо распределительное свойство.

Распределительный закон смешанного произведения может быть доказан (не снижая общности) хотя бы для одного из век-

122