Учебник

9. Преобразования систем координат

x = X0 +α xx x′+α yx y′							,	(9.15)
y =Y		+α	xy	x′+α	yy	y′
	0

где коэффициенты αik = eiek ≡ cos( eiek ), как мы уже знаем, есть координаты ортов нового базиса в старой системе координат:

e′	=α		e		+α		e	y èëè	αik = eiek ≡ cos( eiek ).
x		xx		x		xy				(9.16)
e′y =α yxex +α yyey

В этом случае соотношения (9.15) описывают оба вида преобразований — и повороты, и зеркальные отражения.

Для простейшего преобразования (9.14) формулы преобразования координат будут выглядеть следующим образом:

	x = x′ ≡1 x′+0 y	′	.	(9.17)
		y′
y = −y′ ≡ 0 x′+(−1)

Из этих соотношений и формул (9.4) в отсутствие переносов

x = x′cosϕ − y′sinϕ	(9.18)
y = x′sinϕ + y′cosϕ

следует одно важное отличие поворотов от зеркальных отражений. Поворот можно сделать сколь угодно малым, то есть при уменьшении угла поворота до нуля новая система координат совпадает со старой, а новые значения координат стремятся к старым:

ϕ → 0 x′→ x è y′ → y.

При зеркальных преобразованиях такой предельный переход невозможен. Смена ориентации системы происходит как бы скачком, например x′ → −x.

Это соответствует тому факту, что базисы одинаковой ориентации можно непрерывно перевести друг в друга с помощью вращений, а базисы противоположной ориентации невозможно совместить. По этой причине преобразования между базисами с одинаковой ориентацией (например, повороты) называют собственными преобразованиями, а преобразования от базиса с одной ориентацией к базису с другой ориентацией (например, зеркальные отражения) называют несобственными.

153

I. Векторная алгебра

Такое геометрическое определение, оказывается, допускает чисто алгебраическое описание. Давайте вычислим определители второго порядка, составленные из коэффициентов уравнения (9.18) для поворотов:

cosϕ −sinϕ = +1 sinϕ cosϕ

и уравнения (9.17) для зеркальных отображений:

1	0	= −1.
0	−1

Мы видим, что знак определителя det αik , составленного из коэффициентов αik , входящих в формулы преобразования координат, позволяет определить вид преобразования. В случае собственных преобразований этот определитель положителен, а для несобственных преобразований — отрицателен. В сложных векторных пространствах, у которых нет простой геометрической интерпретации, собственные и несобственные преобразования как раз и определяются с помощью знака этого определителя.

Можно заметить и еще одно любопытное свойство определителя det αik . Его абсолютное значение оказалось в обоих случаях равным единице. Такое значение определителя связано с тем, что преобразования происходят между ортонормированными системами координат, и поэтому эти преобразования называются ортогональными преобразованиями. Дальнейшее изучение этих и более сложных преобразований векторных пространств ждет вас в последующих курсах математики и физики, а мы перейдем к изучению преобразования векторов.

9.6. Полярные и аксиальные векторы. Псевдоскаляры

Теперь рассмотрим, как ведут себя координаты векторов при зеркальных отображениях. Причем сделаем это в трехмерном пространстве и ограничимся простейшим преобразованием ба-

154

9. Преобразования систем координат

зиса, аналогичном (9.14), в котором базисы отличаются лишь направлением базисного вектора ey :

ex →e′x = ex ey →e′y = −ey ez → e′z = ez .

Ðèñ. 9.5 Пример несобственного преобразования в пространстве

Мы уже знаем, что при этом преобразовании меняется знак координаты, которая соответствует меняющемуся орту, в данном случае — координаты y :

x = x′, y = −y′ è z = z′.

Естественно, мы ожидаем, что координаты векторов тоже будут меняться аналогичным образом. Действительно,

a = a1e1 + a2e2 + a3e3 ≡ a1′e1′ + a2′e′2 + a3′e′3 = a1′e1 + a2′(−e2 ) + a3′e3 ,

следовательно

a1 = a1′, a2 = −a2′ è a3 = a3′.

(9.19)

Но не все оказывается так просто. Давайте возьмем два вектора, параллельных плоскости зеркального отражения XOZ, например

a = (ax ,0,0) è b = (0,0,b z ).

(9.20)

Результатом их векторного произведения будет вектор

c = a ×b = (0,cy ,0) = (0,−axbz ,0),

перпендикулярный плоскости XOZ. Значит, можно ожидать, что и этот вектор при отражении в этой плоскости поменяет свое направление на обратное.

Проверим это, найдя векторное произведение векторов a è b в новом базисе. Так как в соответствии с преобразованиями

155

I. Векторная алгебра

(9.19) координаты этих векторов не изменяются, то есть ax = ax′ è bz = bz′, то результатом их векторного произведения в новом базисе будет вектор

c′ = a ×b = (0,c′y ,0) = (0,−ax′bz′,0) = (0,−ax′bz′,0) ≡ (0,cy ,0).

Мы видим, что c′y = cy , следовательно, вектор c = a ×b не поменялся после зеркального отражения! Этот результат говорит о том, что результат векторного произведения отличается по своей сути от обычных векторов, которые мы вводили как обобщение направленных отрезков. Мы показали, что обычные векторы преобразуются так же, как координаты радиус-вектора (9.12), и при зеркальных преобразованиях их соответствующая координата меняет свое значение на противоположное. Векторное произведение мы впервые вводили при описании вращения вокруг определенной оси. А если эта ось направлена перпендикулярно некоторой плоскости, то направление вращения действительно не будет изменяться при зеркальном отражении в этой плоскости (см. рис. 9.6).

Чтобы отличать эти два вида векторов друг от друга, были введены специальные термины. Так, векторы, которые обобщают понятие направленных отрезков, называются полярными векторами, а векторы, которые обобщают понятие вращения вокруг оси, называются аксиальными.

Ðèñ. 9.6. Отражения полярного и аксиального векторов в зеркале

156

9. Преобразования систем координат

Если координаты векторов a è b (9.20), как и сами векторы, не изменились при зеркальном преобразовании (9.19), то результат их векторного произведения, казалось бы, тоже должен был оставаться неизменным. Однако мы только что выяснили, что не изменилась координата вектора c = a ×b : c′y = cy . Следовательно, в новом базисе результат векторного произведения a ×b будет противоположен результату произведения этих же векторов в старом базисе:

c′ = a ×b = c′ye′y = cye′y = −cyey = −c.

Значит, геометрическое определение векторного произведения описывает более частный случай, чем его алгебраические определения, и должно быть видоизменено следующим образом: «Вектор a ×b направлен так, что тройка векторов a, b, a ×b обладает той же ориентацией, что и базис».

Алгебраические же определения, например, с помощью тензора Леви-Чивита

3	3
c = a ×b = eici = ei ∑∑εikl akbl ,
k=1	l=1

не содержат в явном виде информацию об ориентации базиса. Кроме того, они позволяют обобщать понятие векторного произведения, которое можно наглядно представить лишь в трехмерном пространстве, на более сложные пространства большей размерности.

Мы видим, что результатом векторного произведения полярных векторов оказался аксиальный вектор. Если же взять векторное произведение полярного и аксиального векторов, то в результате получится некоторый полярный вектор. А вот векторное произведение двух аксиальных векторов дает опять аксиальный вектор. Чтобы убедиться в этом, достаточно произвести зеркальное отражение и определить, меняет ли знак все произведение, если известно, как меняется знак каждого из сомножителей. Исследуем таким же способом скалярное произведение.

В предыдущем параграфе мы показали, что скалярное произведение двух векторов является скаляром. Представим теперь,

157

I. Векторная алгебра

что один из сомножителей является полярным вектором, а второй — аксиальным. Тогда при зеркальном отражении соответствующие компоненты полярного вектора изменят знак на противоположный, а у аксиального произведения не поменяют знак. Следовательно, скалярное произведение таких векторов поменяет знак при зеркальном отображении. Такие скалярные величины, которые меняют знак при несобственных преобразованиях, называются псевдоскалярами.

Известным для вас примером псевдоскаляра является смешанное произведение трех векторов полярных векторов (a,b,c) = (a ×b) c, которое по определению есть скалярное произведение полярного вектора c на векторное произведение a ×b полярных векторов a, b.

Ðèñ. 9.7. Пример скаляра и псевдоскаляра

Ðèñ. 9.8. Площадь как пример компоненты аксиального вектора

158

9. Преобразования систем координат

Давайте проверим это, вычислив смешанное и скалярное произведения в двух базисах разной ориентации, отличающихся друг от друга направлением орта ey (9.18). Координаты векторов в этих двух базисах связаны следующим образом (9.19):

a1 = a1′, a2 = −a2′, a3 = a3′, b1 = b1 ,b2 = −b2′,b3 = b3′ è c1 = c1′′,c2 = −c2′,c3 = c3′.

Поэтому скалярное произведение двух векторов не изменяется, например:

a′ b′ = a1′b1′+a2′b2′ + a3′b3′ =

=a1b1 +(−a2 )(−b2 ) + a3b3 = a1b1 +a2b2 + a3b3 = a b.

Àсмешанное произведение, равное

(a,b,c) =		a1′ a2′	a3′				a1	−a2
		b1′ b2′ b3′			=		b1	−b2
		c1′ c2′	c3′				c1	−c2

a3		a1	a2	a3	= −(a,b,c).
b3	= −	b1	b2	b3
c3		c1	c2	c3

меняет знак на противоположный. Следовательно, объем параллелепипеда, построенного на трех (полярных) векторах, является псевдоскаляром.

Другим примером величины, которая имеет разный знак в базисах различной ориентации, может являться площадь параллелограмма, построенного на двух полярных векторах a, b как на сторонах. Однако это не псевдоскаляр, а компонента аксиального вектора a ×b. Попробуйте самостоятельно разобраться в различии этих двух случаев. Примером зависимости площади от направления осей координат является определенный интеграл, который вводится как площадь под графиком функции на плоскости.

10. ТРЕХМЕРНАЯ ПРИРОДА ЦВЕТА

Одним из неожиданных применений понятия векторов, координатного метода и преобразований координат оказалось описание цвета в компьютерных приложениях.

При передаче цвета так называемыми аналоговыми устройствами — на кинопленке, фотографиях, на экране телевизора или при цветной печати в полиграфии — уже около ста лет используется принцип основных цветов. Согласно этому принципу, практически любой цвет можно представить в виде смеси трех основных цветов. Это явление объясняется природой восприятия цвета человеком.

Ðèñ. 10.1. Сложение потоков света

Чтобы разобраться с этим, давайте предположим, что в глаз попадает два потока света, «окрашенных» в разные цвета — например, красный и зеленый. Под словом «окрашенные» мы имеем в виду то, что эти световые потоки состоят из света с определенной длиной волны. В «красном» световом потоке длина

160

10. Трехмерная природа цвета

волны равна примерно 700 нм (нанометр — это 10-9 м), а в «зеленом» — около 540 нм. Оказывается, в этом случае человеку кажется, что он наблюдает только один поток света, причем окрашенный в желтый цвет. Аналогичный эффект возникает при слиянии синего и зеленого потоков света, когда создается впечатление голубого цвета, и при слиянии красного и синего потоков, приводящих к эффекту пурпурного цвета.

Если падающие потоки света имеют разную интенсивность, то мы получим другие, не чистые тона результирующего цвета, а если складывать òðè потока света — красного, зеленого и синего цветов, то мы сможем получить практически всю палитру цветов, воспринимаемых человеком. Такая система сложения цветов получила название «система со сложением», или RGB-система. В этой системе так называемыми основными или «базисными» цветами являются красный (red), зеленый (green) и синий (blue — примерно 440 нм) цвета, а все остальные цвета полу- чаются их линейной комбинацией:

colour = ared red + agreen green + ablue blue = (ared , agreen , ablue ). (10.1)

То есть дело обстоит практически так же, как и в обычном трехмерном векторном пространстве. Каждому цвету соотносят некоторый вектор, представленный своими тремя координатами в некотором базисе. В качестве базиса выбирают три основных цве-

та, а координаты вектора (ared , agreen , ablue ) определяют количество соответствующего основного цвета в этой смеси цветов. Под «сме-

шением» или «комбинацией» цветов здесь мы понимаем, конечно же, смешение световых потоков с определенной длиной волны.

Заметьте, что в пространстве цветов мы пользуемся как сложением векторов, так и умножением вектора на число:

(ared , agreen , ablue ) → k (ared , agreen , ablue ) = (kared , kagreen , kablue ). (10.2)

С точки зрения восприятия человеком, умножение на число больше единицы дает тот же цвет, но большей интенсивности. Например, если вектор (2,0,0) соответствует световому потоку красного цвета данной яркости, то вектор (10,0,0) соответствует

161

I. Векторная алгебра

световому потоку красного цвета с интенсивностью в пять раз большей, или в пять раз более яркому красному цвету. Вектор (1,0,0) соответствует более приглушенному красному цвету.

В таком, цветовом, пространстве можно выбрать начало отсче- та — точку, координаты которой будут равны нулю O = (0,0,0). Такая точка соответствует полному отсутствию световых потоков и называется черным цветом:

black = 0red +0green +0blue = (0,0,0).

(10.3)

Заметим, что в реальных системах этот черный цвет соответствует цвету экрана выключенного прибора — телевизора или монитора компьютера.

Наличие базиса и начала отсчета позволяет нам ввести в цветовом пространстве систему координат, аналогичную декартовой системе, и каждый цвет будет соответствовать некоторой точке в этой системе (см. рис. 10.4).

Основное отличие такой системы координат от пространственных координат является то, что цветовые координаты не могут быть отрицательными величинами, а в реальных приборах они имеют еще и верхние границы, которые определяются максимальной яркостью экрана.

Отдельно среди всех цветов в такой системе координат стоит белый цвет. Этот цвет получается при смешении основных цве-

тов в одинаковых пропорциях:
white = N red + N green + N blue = (N, N, N).	(10.4)

Здесь число N соответствует интенсивности максимального светового потока, создаваемого конкретным прибором. Цвет, координаты которого, как и у белого, равны между собой (n, n, n), но при этом не достигают максимально возможного значения N, называют серым цветом:

grey = n red + n green + n blue = (n, n, n), 0 < n < N. (10.5)

Величина n может меняться от нуля до максимального N, давая все возможные оттенки серого цвета, с помощью которых в

162