Учебник

1. Направленные отрезки

Простейшим примером направленных отрезков, в частности, в физике, является перемещение материальной точки. Для этой величины естественным образом вводится понятие начала направленного отрезка — точки, в которой движение началось, и конца направленного отрезка — точки, в которой движение закончилось. Кроме того, перемещение обладает основными двумя характеристиками направленных отрезков — направлением и расстоянием. Этими же свойствами обладают и многие другие физические величины — силы, ускорения и т. д. Поэтому их тоже можно привести в качестве примера направленных отрезков.

à)

á)

â)

ã)

Ðèñ. 1.1. От отрезка к направленным отрезкам. Аналогии с перемещением и силой

Пример перемещения позволяет наглядно ввести понятие равенства направленных отрезков. Когда говорят, что два тела совершили одинаковое перемещение, то имеют в виду, что они переместились в одном направлении и на одинаковое расстояние. При этом не утверждается, что они обязательно вышли из одной

13

I. Векторная алгебра

точки и пришли в одну точку. Такое определение «одинаковости», или равенства, перемещений можно обобщить на любые направленные отрезки. Будем называть направленные отрезки равными, если их длины и направления совпадают.

Определение 1а
			AB		=		CD
AB = CD									.
	AB ↑↑ CD

Такое определение, однако, требует введения понятия сонаправленности направленных отрезков. Это можно сделать различными способами. В частности, отрезки AB è CD можно считать сонаправленными, если они параллельны ( AB || CD), а концы отрезков (точки B è D) лежат с одной стороны от прямой, соединяющей начала отрезков (прямая AC). Если концы параллельных отрезков оказались в различных полуплоскостях относительно прямой, соединяющей начала отрезков, то такие направленные отрезки называются противоположно направленными: AB ↑↓ CD.

Приведенное определение равенства направленных отрезков не является единственным. Пользуясь свойствами параллелограмма, можно дать еще несколько определений равенства направленных отрезков. Так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, направленные отрезки, построенные на этих сторонах, будут равны.

Определение 1б

AB = DC, åñëè ABCD — параллелограмм.

Свойство диагоналей параллелограмма, точка пересечения которых делит их пополам, также может использоваться при определении равенства направленных отрезков.

Определение 1в

AB = DC, если точка пересечения отрезков [ AC] è [DB] существует и делит каждый из этих отрезков пополам.

14

1. Направленные отрезки

Из каждого из этих определений следует свойство равенства направленных отрезков, которое необходимо при доказательстве многих теорем.

Ðèñ. 1.2. Равенство направленных отрезков

Свойство 1

AB = DC AD = BC.

Это свойство, а также определения для наглядности показаны на рис. 1.2.

1.2. Сложение направленных отрезков

Понятие перемещения необходимо и для введения одной из важных операций, которую можно производить с направленными отрезками — операции сложения.

15

I. Векторная алгебра

Представим, что материальная точка совершает два последовательных перемещения. В начале — из точки A в точку B, а затем — из точки B в точку C. Полное перемещение из точки

A в точку C	можно назвать суммой перемещений из A â B
è èç B â C,	практически в том же смысле, в каком мы назы-

ваем суммой результат сложения двух чисел. Продолжая эту аналогию и на направленные отрезки, введем понятие суммы направленных отрезков:

AB + BC = AC.

(1.3)

à)

á)

â)

Ðèñ. 1.3. Сложение направленных отрезков и умножение их на числа

16

1. Направленные отрезки

В этом определении важным является то, что конец первого отрезка AB совпадает с началом второго отрезка BC, а суммарный отрезок AC выходит из начала первого отрезка и заканчивается в конце второго отрезка. То есть, сумма направленных отрезков является результатом последовательного «добавления» одного отрезка к другому. Из геометрического построения (см. рис.1.3) видно, что результат сложения AC двух направленных отрезков AB è BC является третьей стороной треугольника, построенного на слагаемых как на сторонах. Такое правило построения суммы направленных отрезков известно как правило треугольника. В то же время, очевидно, что отрезок AC направлен по диагонали параллелограмма ABCD, построенного на отрезках AB è AD = BC как на смежных сторонах. Этот способ вычисления суммы двух направленных отрезков, известный как правило параллелограмма, имеет глубокие физические аналогии

èвозник при вычислении суммарной силы, действующей на тело. Понятие суммы отрезков поможет нам научиться умножать

направленные отрезки на числа.

1.3. Произведение направленных отрезков на число. Нулевой направленный отрезок

Давайте теперь сложим два одинаковых направленных отрезка. С одной стороны, результат будет понятен, так как мы уже определили понятие сложения. Результирующий направленный отрезок будет иметь то же направление, что и начальные отрезки, а длина его будет в два раза больше.

С другой стороны, сложение двух одинаковых величин напоминает нам умножение на число 2. Поэтому вполне логичной выглядит следующая запись, которую мы будем рассматривать как определение:

2 AB = AB + AB.	(1.4)
Как уже было сказано, по направлению отрезок	2 AB
коллинеарен отрезку AB, а по длине — в два раза	больше:

17

I. Векторная алгебра

2 AB = 2 AB . Эти соотношения можно обобщить для произведения направленного отрезка на любое положительное число p следующим образом:

			AC		= p		AB
AC = p AB									.	(1.5)
			AC ↑↑ AB

Теперь сложим отрезок AB и отрезок BA. Мы получим направленный отрезок, который начинается и заканчивается в одной и той же точке A. Если использовать понятие перемещений, это соответствует ситуации, когда тело никуда не переместилось, или, другими словами, совершило нулевое перемещение. Такая трактовка помогает нам ввести понятие нулевых направленных отрезков, которые в полном соответствии с правилами сложения векторов (1.3) задаются следующим образом:

AA = AB + BA ≡ 0.

(1.6)

Нулевому направленному отрезку 0 среди других отрезков отведена такая же роль, как и нулю во множестве вещественных чисел. Для нас наиболее важным из этих свойств является использование нуля для определения противоположных величин. Напомним, например, что, отрицательное число −4 определяется, как число противоположное числу 4, то есть как число, которое в сумме с числом 4 äàåò íóëü:

4 +(−4) = 0.

Поступим аналогично и с направленными отрезками. Направленный отрезок BA из соотношения 1.6 будем называть отрезком, противоположным отрезку AB, так как он в сумме с отрезком, AB дает нулевой вектор.

Далее, действуя в полной аналогии с множеством вещественных чисел, введем, во-первых, удобную запись для противоположных векторов:

BA ≡ −AB,

(1.7)

а, во-вторых, используем эту запись для определения произведения направленных отрезков на отрицательные числа:

−1 AB ≡ −AB = BA.

(1.8)

18

1. Направленные отрезки

Это определение окончательно позволяет нам ввести понятие умножения направленного отрезка на любое вещественное число:

AC = 0,

если r = 0

AC = r AB

AC

= r

AB

,

AC ↑↑ AB, если r > 0

. (1.9)

AC

=

r

AB

,

AC ↑↓ AB, если r < 0

Очевидно, что это определение может быть записано и так:

AC = 0,

AC = r AB

AC

=

r

AB

,

при этом

если r = 0

AC ↑↑ AB,

если r > 0 .

AC ↑↓ AB, если r < 0

1.4.Недостатки определений операций

снаправленными отрезками

Давайте рассмотрим два направленных отрезка, AB è CD, которые имеют одинаковое направление, а длина CD в два раза больше, чем длина AB. Эти направленные отрезки задают одно и то же направление, а CD задает в два раза большее расстояние, чем AB. Но можно ли в этом случае утверждать, что

2 AB = CD ?

Такой же вопрос возникает, если мы захотим применить правило параллелограмма при сложении двух отрезков, не выходящих из одной точки, или применить правило треугольника при сложении двух отрезков, когда второй отрезок не выходит из конца первого.

Для преодоления этих трудностей можно предложить следующий выход. Пусть какой-то отрезок, например, AC равен удво-

енному отрезку	AB : AC = 2 AB, и, кроме того, некий отрезок
EF равен AC.	В этой ситуации мы можем постулировать (или

принять по определению), что направленный отрезок EF также

19

I. Векторная алгебра

равен удвоенному отрезку AB. Такой постулат, с одной стороны, вполне естественен, так как напоминает цепочку равенств:

EF = AC, AC = 2 AB EF = 2 AB.

С другой стороны, этот постулат не очевиден, так как он не применим к таким простым аналогиям для направленных отрезков, как перемещения (которые складываются, если происходят последовательно) и силы (которые складываются, если приложены к одной материальной точке).

Таким образом, мы должны отказаться от простых аналогий — перемещений и сил — для того, чтобы перейти к таким более абстрактным понятиям, как направленные отрезки. Такое обобщение напоминает одно из самых знакомых математических обобщений, когда мы от сложений определенных объектов переходим к сложению натуральных чисел.

Однако, после такого обобщения результатом операций является не какой-то определенный направленный отрезок, а все равные между собой отрезки, каждый из которых (или хотя бы один из которых) является результатом этой операции.

Причина этого в том, что мы в понятие равенства отрезков заложили только совпадение их длин и направлений, а не стали требовать, чтобы равные отрезки выходили из одной точки. Если мы интересуемся только расстоянием и направлением, то конкретный направленный отрезок с таким направлением и длиной как математический объект несет излишнюю информацию, а именно из какой точки он выходит. Любой другой равный ему направленный отрезок задает то же направление и имеет ту же длину, и он в этом смысле ничуть не хуже первого отрезка. Более того, из каждой точ- ки пространства можно построить направленный отрезок, равный исходному отрезку, и каждый из этих отрезков будет задавать то же направление и расстояние, но при этом каждый из них будет нести и излишнюю информацию о своей начальной точке.

Тогда в качестве математического объекта, который задает только направление и расстояние (и не «привязан» к какой-то точке пространства), можно взять все это множество равных между собой направленных отрезков.

20

1. Направленные отрезки

Это множество, конечно, является довольно абстрактным понятием, его даже нельзя нарисовать или измерить, как направленный отрезок, но при этом оно является полезным и важным математическим понятием. Такое множество равных между собой направленных отрезков называется вектором. Изучению свойств векторов мы посвятим первую часть курса аналитической геометрии.

Для освоения линейных операций над направленными отрезками попробуйте решить следующую задачу.

Задача 1.1. Представьте направленный отрезок, соединяющий любые две точки на рис. 1.4 в виде линейной комбинации ука-

занных на рисунке отрезков a = A02 A24 è b = A22 A10 . Например:
A A		=	1	a +b.
01	00	2

Попробуйте получить общую формулу для произвольного направленного отрезка:

Anm Akl = ?a +?b.

Ðèñ. 1.4

2. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА. ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

2.1.Определение вектора

Âпредыдущем разделе мы пытались ввести такую математи- ческую величину, которая бы определяла некоторое направление и смещение в этом направлении. Направленные отрезки не подходят, так как они зависят еще и от точек, от которых отложены. Поэтому мы объединили все равные между собой направленные отрезки в одно множество. Так как в качестве начальных точек для этих отрезков были взяты все точки пространства, то ни одна из них не оказалась выделенной, и, следовательно, такое множество вполне может считаться объектом, определяющим только направление и расстояние. Такое множество было названо вектором.

Определение 2

Вектор — множество равных между собой направленных отрезков.

Векторы в дальнейшем будут обозначаться маленькими жирными буквами, и определение вектора может быть записано в следующем виде:

a ≡{AB} ={AB, A1B1, A2 B2 , A3B3 ,...},	ãäå
AB = A1B1 = A2 B2 = A3 B3 =...	(2.1)

Запись a ≡{AB} обозначает, что вектор a составлен из направленных отрезков, равных AB. Но так как эти направленные отрез-

22