Учебник

						11. Прямые на плоскости
11.	Ax + By +C				= 0 —	нормальное (нормированное)
						уравнение прямой.
	A	2	+ B	2

Нормальное уравнение прямой можно записать и в следующих видах:

Ax + By +C	=	Nr +C	= nr +	C	= nr +		C		= 0,
A2 + B2		A2 + B2		A2 + B2			N

выбирать из которых стоит наиболее подходящий для решения конкретной задачи.

Запомните!

1. Нормаль к прямой

N = ( A, B).

Возможные выражения для направляющего вектора:

1			1			q = (B, −A) è ò.ï.
q =		, −			,,
A			B

2. Отрезки, отсекаемые на осях

a = −CA , b = −CB .

3. Угловой коэффициент

k= − BA.

4.Абсолютное значение величины

ρ= Ax + By +C A2 + B2

определяет расстояние от точки до прямой, а ее знак — их взаимное расположение.

183

II. Прямые и плоскости. Кривые и поверхности

Таблица 11.1

Уравнения прямой на плоскости

¹

Название

Уравнение

1

Общее уравнение

Ax + By +C = 0

2

Нормальное

Ax + By +C

= 0

A2 + B2

3

В отрезках

x

+

y

=1

a

b

4

С угловым коэффициентом

y = kx +b

5

Каноническое

x − x0

=

y − y0

qx

qy

6

Через две точки

x − x0

=

y − y0

x1 − x0

y1 − y0

7

Параметрическое в

x = x0 + qxt

координатах

y = y0 + qyt

8

Параметрическое через две

x = x0 +(x1 − x0 )t

+( y1 − y0 )t

точки

y = y0

9

Векторное параметрическое

rM = r0 +qt

10

Векторное параметрическое

rM = r0 +(r1 −r0 )t

через две точки

11

Векторное

N(r −r0 ) = 0

12.УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ

ИПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

12.1.Параметрическое задание плоскости

При изучении плоскостей поступим так же, как и в случае с прямыми: используем векторы, чтобы получить уравнения для плоскостей.

Давайте представим, что мы исследуем некоторую плоскость σ , заданную в пространстве. Пусть в этой плоскости задан базис (p,q), состоящий из двух неколлинеарных векторов. Тогда любой вектор c, компланарный плоскости σ , может быть выражен через векторы (p,q):

f = λp + μq.

(12.1)

Если мы теперь выберем на плоскости σ любую точку, ей принадлежащую, например M0 , и отложим от нее направлен-

ные отрезки M0M1 = p, M0 M2 = q è M0M = f , то, согласно соотношению (12.1), между этими направленными отрезками будет

такая же связь:

M0M = λ M0M1 + μ M0M2 .	(12.2)
Представляя направленный отрезок M0 M â âèäå	разности
радиус-векторов его начала и конца M0M = r −r0 , для радиус-
вектора r точки M получаем:
r = r0 +λp + μq = r0 +λ M0M1 + μ M0M2.	(12.3)

185

II. Прямые и плоскости. Кривые и поверхности

Это соотношение, с одной стороны, представляет собой разложение вектора f , принадлежащего плоскости σ по базису (p,q), заданному на этой плоскости. Числа λ и μ являются координатами этого вектора в этом базисе.

С другой стороны, соотношение (12.3) описывает местоположение точки M на плоскости σ в системе координат с началом отсчета M0 и базисом (p,q), а числа λ и μ при этом являются координатами точки M в этой системе координат.

Теперь давайте посмотрим на соотношение (12.3) с иной точки зрения. Подставляя в это соотношение все возможные значения величин λ и μ, мы переберем все точки плоскости σ , то есть заданное значение величин λ и μ соответствует определенной точке плоскости σ . Поэтому можно сказать, что конкретные значения λ и μ задают какую-то точку, принадлежащую плоскости σ , а само соотношение (12.3) задает всю плоскость σ .

Значит, если мы строим геометрию, в которой основными понятиями являются векторы, то, как и в случае с прямой, уравнение (10.3) может являться определением плоскости, проходящей через некоторую точку и заданной двумя непараллельными векторами.

В этом случае соотношение (12.3), является уравнением плоскости, числа λ и μ называются параметрами уравнения, а векторы, p è q — направляющими векторами плоскости σ . Уравнение (12.3), записанное явно через направляющие векторы, называется векторным параметрическим уравнением плоскости.

векторное параметрическое 1à. r = r0 +λp + μq — уравнение плоскости.

Если же мы перепишем направленные отрезки M0 M1 = p è
M0 M2 = q через радиус-векторы трех несовпадающих точек M0 ,
M1 è M2 , которые принадлежат плоскости, то мы получим еще
одно параметрическое уравнение:
					векторное парамет-
1á. r = r	+λ (r	−r ) + μ (r		−r )	— рическое уравнение
0	1	0	2	0	плоскости, проходя-

щей через три точки.

186

12. Уравнения плоскости и прямой в пространстве

Безусловно, можно задать плоскость, если известны äâå несовпадающие точки, которые ей принадлежат, и îäèí направляющий вектор:

векторное параметрическое

уравнение плоскости, задан- 1â. r = r0 +λp + μ (r2 −r0 ) — ной двумя точками и одним

направляющим вектором.

Каждое из этих уравнение можно записать и в координатном виде, что приводит еще к трем видам уравнения плоскости:

x = x0 +λ px + μ qx

2à. y = y0 +λ py + μ qyz = z0 +λ pz + μ qz

x = x0 +λ (x1 − x0 )

2á. y = y0 +λ ( y1 − y0 )z = z0 +λ (z1 − z0 )

параметрическое уравнение

—плоскости, заданной двумя направляющими векторами.

+ μ (x2 − x0 )			параметрическое
+ μ ( y	− y )	—	уравнение плоскос-
2	0		ти, заданной тре-
+ μ (z2 − z0 )			мя точками.

	x = x0 +λ px + μ (x2 − x0 )		параметрическое урав-
			нение плоскости, задан-
2â.		+λ py + μ ( y2 − y0 ) —	ной двумя точками и
	y = y0
		+λ pz + μ (z2 − z0 )	одним направляющим
	z = z0		вектором.

12.2. Общее уравнение плоскости. Уравнение в отрезках

Теперь получим общее уравнение плоскости. Для этого в любой из вышеприведенных систем трех уравнений избавимся от переменных λ и μ. Сделаем это на примере параметрического уравнения 2а.

187

II. Прямые и плоскости. Кривые и поверхности

Определим λ и μ из первых двух уравнений:
λ =	(x − x0 )qy −( y − y0 )qx	è μ =	px ( y − y0 ) − py (x − x0 )
			px qy − py qx
	px qy − py qx
и подставим найденные выражения в третье уравнение:
(z − z0 )(px qy − py qx )=[(x − x0 )qy −( y − y0 )qx ] pz +
	=[ px ( y − y0 ) − py (x − x0 )]qz .			(12.4)

Это не что иное, как уравнение первой степени, так как степень уравнения не изменяется при линейных преобразованиях координат (см. теорему в разделе 14), то в любой системе координат плоскость описывается общим уравнением первого порядка.

3. Ax + By +Cz + D = 0 — общее уравнение плоскости.

Попробуйте самостоятельно доказать, что это уравнение описывает только плоскости, если называть плоскостью поверхность, заданную уравнением (10.3).

Как и в случае с прямой, общее уравнение плоскости можно представить в различных видах. Например, из него можно полу- чить уравнение в отрезках:

Ax + By +Cz + D = 0 Ax + By +Cz = −D

−Dx/ A + −Dy/ B + −Dz/ C =1.

4.ax + by + cz =1 — уравнение в отрезках.

Здесь величины a, b è c равны отрезкам, которые плоскость «отсекает» на координатных осях, то есть координаты точек пересечения плоскости с осями. Общее уравнение позволяет получить

188

12.Уравнения плоскости и прямой в пространстве

èразличные векторные формы записи уравнения плоскости, хотя их можно получить и прямо из определения (12.3).

12.3. Векторные уравнения плоскости

Определим какую-либо точку M0 = (x0 , y0 , z0 ), которая принадлежит плоскости: Ax0 + By0 +Cz0 + D = 0. Вычитая это уравнение из общего уравнения плоскости, мы получим следующее соотношение:

A(x − x0 )+ B(y − y0 )+C (z − z0 )= 0.

Это соотношение можно трактовать как скалярное произведе-

íèå N(r −r0 ) = 0 вектора r −r0 = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ), который параллелен плоскости, и вектора N = ( A, B,C). Так как это скалярное

произведении равно нулю, то вектор N перпендикулярен плоскости и, поэтому, называется нормалью к заданной плоскости.

5. N(r −r0 ) = 0 — векторное уравнение плоскости с нормалью.

Таким образом, можно представлять плоскость как множество точек, ортогональное заданному вектору. Базисом в этом множестве мы выбирали направляющие векторы. Следовательно, каждый из этих векторов перпендикулярен нормали. Значит, если нам даны направляющие векторы, то нормальный вектор можно определить как векторное произведение направляющих векторов:

N = p ×q.

(12.5)

Это следует из определения векторного произведения, согласно которому векторное произведение перпендикулярно каждому из сомножителей. Кстати, можно убедиться в полной эквивалентности уравнений (12.4) и (12.5).

Использование векторного произведения позволяет нам получить векторное уравнение прямо из параметрического: r −r0 = λp + μq. Если умножить это равенство на векторное

189

II. Прямые и плоскости. Кривые и поверхности

произведение p ×q, то справа получим смешанные произведения, содержащие одинаковые векторы. Следовательно, они равны нулю, и мы в итоге получаем еще несколько способов записи векторного уравнения плоскости.

векторное уравнение

6à. (r −r0 ) (p ×q) = (r −r0 ,p,q) = 0 — плоскости с направляющими векторами.

векторное уравнение плоскости, 6á. (r −r0 ,r1 −r0 ,q) = 0 — заданной двумя точками и одним

направляющим вектором.

векторное уравнение плос-

6â. (r −r0 ,r1 −r0 ,r2 −r0 ) = 0 — кости, заданной тремя точ- ками.

Каждое из смешанных произведений в этих уравнениях можно записать через координаты векторов, и мы тогда получим координатную запись векторного уравнения плоскости.

Ðèñ.12.1. Параметры плоскости. Общее уравнение плоскости

190

12.Уравнения плоскости и прямой в пространстве

7.Координатная запись векторного уравнения плоскости:

	x − x0	y − y0	z − z0		с направляющими век-
7à.	px	py	pz	= 0 —
	qx	qy	qz		торами.

x − x0

7á. x1 − x0 qx

x − x0

7â. x1 − x0 x2 − x0

y − y0 y1 − y0 qy

y − y0 y1 − y0 y2 − y0

z − z0 z1 − z0 qz

z − z0 z1 − z0 z2 − z0

ñвектором и двумя

=0 — точками.

=0 — с тремя точками.

Такое разнообразие видов записи уравнения плоскости позволит нам при решении задач выбирать наиболее подходящий вид для каждого конкретного случая. На рис. 12.1 приведен пример плоскости и ее характерные параметры, входящие в различные формы записи уравнения плоскости.

12.4. Взаимное расположение точки и плоскости. Нормированное уравнение плоскости

Рассмотрим точку K,		которая не лежит на плоскости. Пусть
точка	L является ортогональной проекцией точки K íà ïëîñ-
кость,	то есть вектор	LK = rK −rL параллелен нормали N,

и, очевидно, единичному вектору нормали:

LK = r	−r || n =	N		.
K	L	N
Тогда существует такое число	ρK , ÷òî
rK −rL = ρK n.					(12.6)

191

II. Прямые и плоскости. Кривые и поверхности

Абсолютное значение этого числа равно расстоянию от точки K до плоскости:

ρK = rK −rL = LK ,

а знак определяет местоположение точки K. Åñëè ρK > 0, òî rK −rL ↑↑n и точка K лежит в том полупространстве, в которое направлена нормаль.

Åñëè ρK < 0, òî rK −rL ↑↓n и точка K лежит в том полупространстве, из которого направлена нормаль. Если же ρK = 0, то точка K принадлежит плоскости.

Найти величину ρK можно прямо из соотношения (12.6) если умножить его на единичный вектор нормали:

ρ

K

= (r −r )n = r n −r n = r

K N

− rLN

= rK N −rLN .

K

L

K

L

N

N

N

Так как точка

L

принадлежит плоскости, то произведение

rL N оказывается равным коэффициенту D общего уравнения прямой взятым с обратным знаком:

					rLN = AxL + ByL +CzL = −D.
Отсюда для величины ρK							получаем различные формы записи:
ρ		= rK N + D			= r n +		D	= AxK + ByK +CzK + D . (12.7)
	K		N		K	A2	+ B2 +C2	A2 + B2 +C2

Для того чтобы при решении задач было удобно пользоваться этой формулой, вводится еще один вариант записи общего уравнения плоскости — нормированное уравнение.

8. Ax + By +Cz + D = 0 —			нормированное уравнение
	A2 + B2 +C2		плоскости.

192