Учебник

3. Линейная зависимость векторов. Понятие базиса

Так как прямые α , (OC ) è (OD) не параллельны между собой, то существуют точки пересечения прямой α с плоскостью (OCD):

F =α ∩(OCD).

(Ò 7.3)

Ðèñ. 3.2. Линейная зависимость четырех векторов в пространстве

Из построения следует, что направленный отрезок OA является суммой направленных отрезков OF è FA:

OA = OF + FA.

(Ò 7.4)

В то же время, отрезок OF компланарен отрезкам OC è OD, и следовательно, согласно теореме 6 существуют такие числа μ и ν, ÷òî OF = μOC +νOD. В соответствии с теоремой 5, существует число λ , выражающее отрезок FA через отрезок OB : FA = λOB. Теперь мы можем переписать соотношение (Т 7.4) следующим образом:

OA = λ OB + μOC +νOD,

(Ò 7.5)

43

I. Векторная алгебра

непосредственно выразив отрезок OA через OB, OC è OD. Это соотношение однозначно переносится на соответствующие векторы:

a = λb + μc +νd.

(Ò 7.6)

Теперь нам остается перенести все векторы в левую часть соотношения для того, чтобы справа появился ноль:

1 a −λ b −μ c −ν d = 0.

(Ò 7.7)

Таким образом, нам удалось подобрать равную нулю линейную комбинацию векторов a, b, c è d, в которой один из коэффициентов, а именно единица перед вектором a, не равен нулю. Отсюда следует, что система векторов a, b, c è d линейно зависима.

2. Если же среди векторов a, b, c è d есть компланарные, коллинеарные или нулевые, то из ранее доказанных теорем 6, 5, 3, соответственно, следует их линейная зависимость. ■

Здесь можно сделать вывод, аналогичный выводу из теоремы 6. Как мы видим, в пространстве достаточно задать три некомпланарных вектора a, b, c (которые будут называться основными) и затем любой вектор d будет выражаться через линейную комбинацию этих векторов: d =αa +βb +γ c. Коэффициенты α , β и γ будут называться координатами вектора d.

Только что доказанные теоремы очень важны для нового восприятия уже привычных нам геометрических объектов — прямых, плоскостей и т. д. Теперь мы можем отличать их не по тому, как они выглядят на рисунках, а алгебраически — по количеству векторов, которого достаточно, чтобы задавать все остальные векторы этого пространства.

4. РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА. ПОНЯТИЕ БАЗИСА

4.1. Размерность пространства

Следуя нашему принципу замены графических образов числовыми, мы замечаем, что прямая, плоскость и пространство отличаются друг от друга числом векторов, которое нужно задать, чтобы остальные векторы этих пространств описывались этими выбранными векторами. Более того, доказанные нами теоремы показывают, что количество таких векторов, в свою очередь, однозначно определяет вид пространства, с которым мы имеем дело (с прямой, с плоскостью или окружающим нас пространством). Однозначность связи количества таких векторов с видом пространства привела к тому, что для этого числа было введено специальное название — размерность пространства.

Определение 9а

Размерность пространства — максимально возможное для данного пространства количество векторов в линейно независимой системе.

Простейшее пространство имеет размерность d =1. Это — прямые. Плоскость представляет собой пример пространства с размерностью d = 2. Окружающее нас пространство можно описывать как пространство с размерностью d = 3. В нашем курсе мы познакомимся и с другими пространствами определенной размерности.

В частности, будет рассмотрено пространство цветов, в котором любой цвет представляется в виде линейной комбинации

45

I. Векторная алгебра

трех основных цветов (красного, синего и зеленого). Такая система используется, например, в телевидении, в цветной фотографии и при хранении оцифрованных изображений.

Кроме того, мы познакомимся с пространством красок, в котором любая краска может быть представлена в виде линейной комбинации трех основных красок — желтой, голубой и пурпурной. Эта система используется в полиграфии, в частности — на компьютерных принтерах.

Главным для нас будет понимание того, что аналитическая геометрия позволяет, освоив работу с векторами на наглядном примере направленных отрезков, перевести свойства векторов на язык чисел, а затем использовать на совершенно других объектах, в совершенно неожиданных областях физики, цифровой радиотехники, компьютерных науках.

4.2. Базис пространства

Предыдущие три теоремы показали нам, что если мы нашли для данного пространства систему линейно независимых векторов, количество которых равно размерности пространства, то любой вектор этого пространства можно выразить через эти векторы. Такая система векторов, являющихся в некотором смысле, «основными» получила название базиса пространства.

Определение 10а

Базис пространства — набор линейно независимых векторов, содержащий максимально возможное для данного пространства количество векторов.

Как мы уже выяснили, на прямой базисом может быть любой ненулевой вектор. На плоскости в качестве базиса можно брать любые два неколлинеарных вектора, а в объеме роль базиса могут играть любые три некомпланарных вектора. Векторы, которые образуют базис, называются базисными векторами, и если эти векторы обозначить, например, e1, e2 è e3 , то сам базис обоз-

46

4. Размерность пространства. Понятие базиса

начается следующим образом: ( e1, e2 , e3). Количество векторов в базисе, очевидно, совпадает с размерностью пространства и это позволяет нам дать еще одно, очень лаконичное, определение размерности.

Определение 9б

Размерность пространства — количество векторов в базисе этого пространства.

В дальнейшем мы будем рассматривать трехмерное пространство, в котором задан некоторый базис ( e1, e2 , e3). Тогда любой вектор a данного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов:

a = a1e1 + a2e2 + a3e3.

(4.1)

Такое представление вектора называется разложением вектора a по базису { e1, e2 , e3} и, естественно, возникает вопрос о единственности такого разложения, ответ на который дает следующая теорема.

Теорема 8

Разложение вектора пространства по базису этого пространства — единственно.

Доказательство

Пусть в пространстве задан базис {e1, e2 , e3} и произвольный вектор a. Предположим, что этот вектор можно разложить по этому базису двумя различными способами:

a = a1e1 + a2e2 + a3e3	(Ò 8.1)
è
a = a1′e1 + a2′e2 + a3′e3.	(Ò 8.2)
Вычитая одно из этих равенств из другого, получаем:
0 = (a1 −a1′)e1 +(a2 − a2′)e2 +(a3 − a3′)e3.	(Ò8.3)

47

I. Векторная алгебра

Мы получили равную нулю линейную комбинацию линейно независимых векторов. Согласно определению линейной независимости векторов, это возможно только в случае, когда все коэффициенты в этой линейной комбинации равны нулю:

a1 −a1′ = a2 − a2′ = a3 − a3′ = 0.

(Ò8.3)

Отсюда мы делаем вывод о равенстве коэффициентов в разложениях (Т 8.2) и (Т 8.3):

a1 = a1′, a2 = a2′, a3 = a3′,

(Ò8.4)

и, следовательно, о единственности разложения вектора пространства по базису этого пространства. ■

4.3. Упорядочение базиса

Присущее математике стремление к лаконичности побуждает нас в случае заданного базиса представлять вектор в виде трех чисел. Это можно сделать, например, таким образом:

a = a1e1 + a2e2 + a3e3 ≡ (a1, a2 , a3 ).

Однако вектор a = a1e1 + a2e2 + a3e3 , представленный в виде разложения по базису, может быть, конечно, записан и другими способами:

a = a3e3 + a2e2 + a1e1 = a2e2 + a1e1 + a3e3 =...,

которые отличаются друг от друга перестановкой слагаемых. Безусловно, это одно и то же разложение вектора по базису, состоящему из векторов e1, e2 è e3 . Но в новой записи векторы (a1 , a2 , a3 ) è (a2 , a3 , a1 ) не равны друг другу. Чтобы разрешить это противоречие, возникающее при переходе к записи в виде набора чисел, мы должны упорядочить базис, то есть выбрать вектор базиса, коэффициент перед которым будет записываться на первом месте, и назвать его первым вектором базиса. Затем выбрать

48

4. Размерность пространства. Понятие базиса

вектор базиса, коэффициент перед которым будет записываться на втором месте и т. д.

При этом надо помнить, что разложение по базису от порядка векторов не зависит, а упорядоченность становится необходимой, если мы хотим представить вектор в виде набора чисел. Можно изначально задавать базис как набор упорядоченных векторов, то есть определить его так:

Определение 10 б

Базис пространства — упорядоченный набор линейно независимых векторов, содержащий максимально возможное для данного пространства количество векторов.

Теперь мы можем уверенно переходить к координатной записи векторов и изучать свойства координат векторов.

4.4. Координаты вектора

«Вооруженные» теоремой о единственности разложения вектора по базису, мы можем утверждать, что существует однозначное соответствие между векторами в трехмерном пространстве и (упорядоченными) тройками вещественных чисел. Эти числа называются координатами вектора в заданном базисе. Единственность этих координат при заданном базисе позволяет при определении вектора задавать только его координаты и даже использовать такую запись для вектора, в которой присутствуют только его координаты:

a = (a1, a2 , a3 ) ≡ a1e1 + a2e2 + a3e3.

(4.2)

Это уже следующая ступень абстракции, которую мы используем в нашем курсе. Напомним, что ранее мы перешли от направленных отрезков к векторам как к множествам равных направленных отрезков. Теперь же мы можем перейти от старого определения векторов к векторам как определенным наборам чисел. В двумерном пространстве — на плоскости — каждый вектор будет однозначно связан с парой вещественных чисел.

49

I. Векторная алгебра

Векторы, параллельные одной прямой, однозначно связаны с одним определенным числом.

Введение координат позволяет полностью абстрагироваться от геометрического понятия вектора как «направления и расстояния»

èперейти к чисто алгебраическому определению вектора как определенного набора чисел. Однако сейчас мы еще не знаем, всякий ли набор чисел является вектором. Поэтому такой переход мы сделаем чуть позже, когда изучим преобразования координат при переходе от одной системы координат к другой. В нашем курсе мы будем ограничиваться одно-, двух- и трехмерными пространствами, которые можно наглядно представить как прямые, плоскости и весь объем. Пространства векторов с большими размерностями и их свойства рассматриваются в последующих курсах векторной алгебры.

Âкоординатном представлении можно выразить линейные операции над векторами и использовать эти соотношения при решении конкретных задач. Чтобы находить координаты суммы векторов

èпроизведения вектора на число, можно использовать теорему 9.

Теорема 9

При сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число — умножаются на это число.

c = a +b ci = ai +bi ,

c = λa ci = λai .

Доказательство

Доказательство этой теоремы, по-видимому, является одним из самых важных в начальном курсе векторной алгебры. Оно требует использования практически всех до сих пор доказанных теорем и свойств векторов. Мы рассмотрим только сложение векторов, а умножение вектора на число доказывается аналогично.

Пусть в пространстве задан базис {e1, e2 , e3} и произвольные векторы a è b. Эти векторы можно разложить по заданному базису следующими способами:

a = a1e1 + a2e2 + a3e3

(Ò 9.1)

è

50

4. Размерность пространства. Понятие базиса

b = b1e1 +b2e2 +b3e3.	(Ò 9.2)
Складывая эти равенства, получаем:
a +b = (a1 −b1)e1 +(a2 −b2 )e2 +(a3 −b3 )e3.	(Ò 9.3)

С другой стороны, сумма векторов a +b есть новый вектор c, который также может быть разложен по базису: c = c1e1 +c2e2 +c3e3. Тогда из (Т8.3) получаем:

c = c1e1 +c2e2 +c3e3 = (a1 −b1)e1 +(a2 −b2 )e2 + (a3 −b3 )e3.

(Ò9.4)

Но, в соответствии с теоремой о единственности разложения

по базису из (Т 8.3), получаем:
ci = ai +bi , i =1, 2,3. ■	(Ò 9.5)

4.5. Проекция вектора. Ортогональные проекции

Итак, мы доказали, что при наличии в пространстве базиса {e1, e2 , e3} любой вектор a может быть разложен по этому базису, то есть представлен в виде следующей линейной комбинации:

a = a1e1 + a2e2 + a3e3.

(4.1)

С другой стороны, если задана, например, тройка линейно независимых векторов {e1, e2 , e3}, то составляя из них все возможные комбинации типа (4.1), мы переберем все векторы некоторого пространства, базисом которого и будет эта тройка векторов. О таком пространстве говорят, что оно образовано векторами {e1, e2 , e3} èëè натянуто на векторы {e1, e2 , e3}. Например, любой ненулевой вектор задает одномерное пространство, состоящее из векторов, коллинеарных заданному.

Числа a1, a2 è a3 , как мы уже говорили, называются координатами вектора a = (a1, a2 , a3 ). Отдельные же слагаемые в разложении (4.1) также имеют важное математическое значение

51

I. Векторная алгебра

и называются компонентами èëè составляющими вектора a.

Заметим, что вектор a1e1 принадлежит пространству, образованному вектором e1, а вектор a1e1 + a2e2 принадлежит пространству, образованному векторами e1 è e2. То есть эти векторы сами по себе являются векторами в каких-то других пространствах с меньшей размерностью.

Такие векторы получили название проекции. В частности, вектор a3e3 является проекцией вектора a на пространство, образо-

ванное вектором e3 , что обозначается следующим образом:
a3e3 = Pre3a.		(4.3)
А вектор a1e1 + a2e2 может быть обозначен как
a1e1 + a2e2 = Pr	a,	(4.4)
e1,e2

так как он является проекцией вектора a на пространство, образованное векторами e1 è e2 , или, другими словами, просто проекцией на векторы e1 è e2.

Ðèñ. 4.1. Примеры проекций вектора a = a1e1 + a2e2 + a3e3 на различные подпространства

52