Учебник

8. Смешанное и двойное векторное произведение векторов

торов в произведении, например, для вектора, стоящего на последнем месте:

(a,b,λ1c1 +λ2c2 ) = λ1 (a,b,c1) +λ2 (a,b,c2 ).

(8.6)

Чтобы доказать это равенство, достаточно представить смешанное произведение (a,b,λ1c1 +λ2c2 ) в его изначальном виде:

(a,b,λ1c1 +λ2c2 ) = (a ×b) (λ1c1 +λ2c2 ),

(8.7)

а затем воспользоваться дистрибутивностью скалярного произведения, которое позволяет нам раскрывать скобки:

(a ×b) (λ1c1 +λ2c2 ) = λ1 (a ×b) c1 +λ2 (a ×b) c2 .

(8.8)

Правая часть этого соотношения есть не что иное, как правая часть соотношения (8.6), поэтому можно считать, что распределительный закон смешанного произведения доказан.

Этот закон позволяет нам доказать распределительный закон векторного произведения векторов. В предыдущем разделе это свойство не было доказано, потому что доказательство этого свойства с помощью смешанного произведения выглядит более лаконичным, чем доказательство, снованное на определении векторного произведения.

Давайте в смешанных произведениях, входящих в соотношение (8.8), поменяем местами знаки умножения:

a {b ×(λ1c1 +λ2c2 )} = λ1a (b ×c1 ) +λ2a (b ×c2 ).

(8.9)

Перенесем все слагаемые в левую часть равенства и вынесем вектор a за скобки:

a {b ×(λ1c1 +λ2c2 ) −λ1b ×c1 −λ2b ×c2} = 0.

(8.10)

Это соотношение справедливо при любых векторах a , поэтому считаем, что из (8.10) следует:

123

I. Векторная алгебра

b ×(λ1c1 +λ2c2 ) −λ1b ×c1 −λ2b ×c2 = 0.

Перенося два последних слагаемых влево, получаем распределительный закон векторного произведения векторов.

8.3. Смешанное произведение в декартовом базисе

Мы сможем использовать свойства смешанного произведения, если сумеем вычислять его, не обращаясь к определению. Координатный метод, как и в случае скалярного и векторного произведений, позволит нам создать способ нахождения смешанного произведения.

Допустим, что нам заданы три вектора a, b è c со своими координатами:

i=3	i=3
a = (a1 , a2 , a3 ) = ∑aiei , b = (b1 ,b2 ,b3 ) = ∑biei
i=1	i=1

i=3

èc = (c1,c2 ,c3 ) = ∑ciei .

i=1

Для того, чтобы вычислить смешанное произведение (a,b,c) = (a ×b) c этих векторов, сначала нужно найти векторное произведение векторов a è b. Это можно сделать, пользуясь

правилами раскрытия векторного произведения:

a ×b =

a2

a3

e −

a1

a3

e

+

a1

a2

e

.

b

b

1

b

b

2

b

b

3

2

3

1

3

1

2

i=3

Умножим этот вектор на вектор c = (c1,c2 ,c3 ) = ∑ciei .

i=1

Скалярное произведение представляет собой сумму произведений соответствующих координат, поэтому для выражения

(a,b,c) = (a ×b) c получаем:

(a ×b) c =

a2

a3

c −

a1

a3

c +

a1

a2

c .

b

b

1

b

b

2

b

b

3

2

3

1

3

1

2

124

8. Смешанное и двойное векторное произведение векторов

Мы видим, что справа в этом равенстве стоит определитель третьего порядка, составленный из координат всех трех векторов, входящих в смешанное произведение, то есть:

c1 c2 c3

(a ×b) c = a1 a2 a3 .

b1 b2 b3

А так как векторы в смешанном произведений можно циклически переставлять, то этот же результат можно записать и в таком виде:

a1 a2 a3

(a ×b) c = b1 b2 b3 . c1 c2 c3

Это и есть искомое выражение для смешанного произведения векторов.

8.4. Примеры применения смешанного произведения при решении задач

Здесь мы приведем две задачи, демонстрирующие применение смешанного произведения.

Задача 8.1. Представить данный вектор d в виде разложения произвольного вектора по трем заданным некомпланарным векторам a, b è c.

Решение. По условию задачи необходимо представить вектор

d в следующем виде:
d =αa +βb +γ c.	(3.8.1.1)

Искомые коэффициенты α , β и γ представляют собой не что иное, как координаты вектора d в базисе, составленном из векторов a, b è c. Существование и единственность такого представления мы исследовали в разделах 3 и 4 (теоремы 7 и 8).

125

I. Векторная алгебра

Для решения задачи воспользуемся тем свойством смешанного произведения, согласно которому смешанное произведение, содержащее два одинаковых вектора, равно нулю. Умножим соотношение (3.8.1.1) слева и справа на векторное произведение a ×b :

d (a ×b) =αa (a ×b) +βb (a ×b) +γ c (a ×b) = γ c (a ×b).	(3.8.1.2)
Отсюда можно найти коэффициент γ :
γ = d (a ×b) .	(Ç.8.1.3)
c (a ×b)

Заметим, что согласно условию задачи величина c (a ×b), стоящая в числителе, не равна нулю. Полученный результат можно переписать другим образом:

γ =	(a,b,d)	.	(Ç.8.1.4)
	(a,b,c)

Аналогично получаем коэффициенты α и β , умножая соотношение (З.8.1.1) на величины c ×b è a ×c соответственно:

α =	(d,b,c)	,	β =	(a,d,c)	.	(Ç.8.1.5)
	(a,b,c)			(a,b,c)

Полученные результаты можно запомнить с помощью такого простого правила. Коэффициент в разложении вектора по базису равен дроби, в знаменателе которой стоит смешанное произведение базисных векторов, а в числителе — это же смешанное произведение, в котором данный вектор стоит вместо базисного вектора, соответствующего искомой координате.

Задача 8.2. Определить вектор d по заданным скалярным произведениям α = ad, β = bd è γ = cd.

Решение

1. Прием, который мы применили в первой задаче, может помочь нам и здесь. Но для этого необходимо придумать такое

126

8. Смешанное и двойное векторное произведение векторов

разложение вектора d, чтобы после соответствующих скалярных умножений получались наиболее простые выражения, желательно содержащие по одному из неизвестных коэффициентов разложения. Одно и таких разложений имеет вид:

d = d1 (b ×c) + d2 (c ×a) + d3 (a ×b).

(Ç.8.2.1)

Действительно, после скалярного умножения на любой из векторов a, b è c справа будет оставаться только одно из слагаемых. В то же время слева будут получаться заданные по условию задачи соответствующие скалярные произведения. Например:

d a ≡α = d1 (b ×c) a + d2 (c ×a) a + d3 (a ×b) a = d1 (b ×c) a. (Ç.8.2.2)

Отсюда получаем:

d =

α

=

α

.

(Ç.8.2.3)

1

(b ×c) a

(abc)

Аналогично и для других коэффициентов:

d2

=

β

è d3

=

γ

.

(Ç.8.2.4)

(abc)

(abc)

В итоге, для вектора d получаем окончательное выражение:

	d =	α	(b ×c) +	β	(c ×a) +	γ	(a ×b). (Ç.8.2.5)
		(abc)		(abc)		(abc)

Мы видим, что для существования решения необходимо, чтобы знаменатели в (З.8.2.5) не равнялись нулю, то есть векторы a,

bè c не были компланарными.

2.Однако для того чтобы такое решение было возможным, нам необходимо убедиться в существовании разложения (З.8.2.1),

то есть надо доказать, что векторы b ×c, c ×a è a ×b могут быть выбраны в качестве базиса. Для этого необходимо убедиться в их некомпланарности, то есть определить, когда их смешанное произведение не равняется нулю:

127

I. Векторная алгебра

((b ×c),(c ×a),(a ×b)) = (b ×c) ×(c ×a) (a ×b) ≠ 0. (Ç.8.2.5)

В следующем разделе мы докажем, что это выражение сводится к смешанному произведению (a,b,c) и тем самым мы снова, в качестве условия существования решений этой задачи, получа- ем, что векторы a,b,c должны быть некомпланарными.

8.4. Двойное векторное произведение векторов

Теперь рассмотрим векторное произведение вектора a ×b на третий вектор c, то есть комбинацию (a ×b) ×c. В этом выражении два раза вычисляется векторное произведение, поэтому такое соотношение получило название двойное векторное произведение. Такая комбинация довольно часто встречается при решении задач, и, в частности, мы с ней столкнулись только что, в задаче 8.2. Оказывается, выражение для двойного векторного произведения можно упростить и представить в виде линейной комбинации, содержащей лишь скалярные произведения. Вывод этого соотношения представляет собой доказательство следующего правила.

Правило раскрытия двойного векторного произведения (a ×b) ×c = b(ac) −a(bc)

Двойное векторное произведение равно разности произведения среднего вектора на скалярное произведение остальных векторов и произведения другого вектора в скобках на скалярное произведение остальных векторов.

Доказательство 1

1. Рассмотрим частный случай, в котором векторы a è b коллинеарны: a || b. Тогда векторное произведение этих векторов равно нулю a ×b = 0, а вместе с ним равняется нулю и левая часть равенства (a ×b) ×c = b(ac) −a(bc).

Для вычисления правой части введем орт e, параллельный и вектору a, и вектору b, например e = aa . Далее выбираем этот

128

8. Смешанное и двойное векторное произведение векторов

вектор в качестве базисного и выражаем векторы a è b через их координаты в этом одномерном базисе: a = a1e è b = b1e. Проекцию вектора c на векторы a, b è e также можно выразитть

через вектор e : c = c1e.

Теперь правая часть в силу определения (16 в) скалярного произведения может быть записана в виде

b(ac) −a(bc) = b(aPrac) −a(bPrbc) =

=b1e(a1c1 )−a1e(b1c1 )= e(b1a1c1 − a1b1c1 ) = 0,

èтакже оказывается равной нулю.

2.Частный случай равенства нулю любого из трех векторов a, b èëè c тривиален, так как при этом и правая, и левая сторона

равенства равны нулю.

3. Еще один частный случай, когда вектор c параллелен вектору a ×b и, следовательно, перпендикулярен векторам a è b ( ac = bc = 0). В этом случае (a ×b) ×c как векторное произведение параллельных векторов равно нулю.

4. Рассмотрим случай, когда a ×b ≠ 0 è c не параллелен a ×b. 4.1. Если векторы a è b неколлинеарны, то результатом их векторного произведения является не равный нулю вектор a ×b, который перпендикулярен и вектору a, и вектору b. Следова-

тельно, векторное произведение (a ×b) ×c	вектора	a ×b	íà âåê-
òîð c, которое перпендикулярно вектору	a ×b,	будет	лежать

в плоскости, образованной векторами a è b. А так как векторы a è b не коллинеарные, то они могут быть выбраны в качестве базиса в этой плоскости. Следовательно, вектор (a ×b) ×c может быть представлен в виде разложения по этим векторам:

(a ×b) ×c =αa +βb. (ÄÂÏ 1)

4.2.Теперьумножимэтосоотношениескалярнонавектор c. Слева мы получим смешанное произведение (a ×b) ×c c = (a ×b,c,c) = 0, которое равно нулю, потому что содержит два одинаковых вектора. Следовательно, из (ДВП1) после умножения на вектор c получаем:

α (ac) +β (bc) = 0.

(ÄÂÏ 2)

129

I. Векторная алгебра

Это соотношение позволяет найти связь между коэффициентами α и β :

	α	= −	β	≡ λ.	(ÄÂÏ 3)
	(bc)		(ac)

Здесь введена величина λ , через которую удобно выразить коэффициенты α и β. Знаменатели в этих дробях не равны нулю, так как мы рассматриваем случай, когда вектор c не ортогонален векторам a è b. С помощью величины λ произведение (a ×b) ×c можно записать в виде:

(a ×b) ×c = λ (b(ac) −a(bc)).

(ÄÂÏ 4)

4.3. Левая часть этого соотношения и выражение в фигурных скобках в правой части являются линейными функциями по отношению к любому из векторов. Поэтому величина λ не может зависеть ни от одного из векторов, входящих в двойное векторное произведение, а, следовательно, может быть определена в каком-ни- будь частном случае. Рассмотрим для простоты двойное векторное произведение для таких векторов: a = ex , b = ey è c = ey . Тогда

(a ×b) ×c = (ex ×ey ) ×ex

= ez

×ex = ey .

(ÄÂÏ 5)

А правая часть равенства (ДВП4) равна:

λ (b(ac) −a(bc))= λ e

(e

e

x

) −e

x

(e

e

x

)

)

=

( y

x

y

(ÄÂÏ 6)

= λ (ey 1−ex 0)= λey .

Сравнивая последнее соотношение и

(ÄÂÏ 5),

окончательно

получаем, что λ =1, а, следовательно, справедливо соотношение

(a ×b) ×c = b(ac) −a(bc), (ÄÂÏ 7)

которое требовалось доказать.

4.4. В приведенном доказательстве возникают сомнения в независимости величины λ от векторов a, b è c. Чтобы показать это, давайте предположим, что λ зависит, например, от вектора a, òî åñòü λ = λ (a), и в соотношение (ДВП 5) подставим удвоенный вектор a :

130

8. Смешанное и двойное векторное произведение векторов

(2a ×b) ×c = λ (2a)(b(2ac) − 2a(bc)).

С другой стороны, умножим соотношение (ДВП 4) на 2:

2(a ×b) ×c = 2λ (a)(b(ac) −a(bc)).

Теперь вычтем эти два выражения друг из друга:

0 =[λ (a) −λ (2a)](b(ac) −a(bc)).

Это соотношение справедливо при любых векторах a, b è c, поэтому из него следует, что 0 = λ (a) −λ (2a), а значит, что λ , по крайней мере, не зависит от величин векторов. Аналогично можно показать, что λ не зависит и от направления векторов a, b è c, и следовательно, вообще не зависит от них. ■

Правило раскрытия двойного векторного произведения отли- чается многообразием имеющихся доказательств. Мы привели только одно из них. Смысл этого доказательства в том, что мы не вводим специальную систему координат, а пользуемся принципом, что соотношение (a ×b) ×c = b(ac) −a(bc) справедливо вне зависимости от того, чему равны координаты векторов.

Очевидно, что это правило можно просто проверить подстановкой векторов в их координатном виде.

Доказательство 2

Найдем первую координату выражения (a ×b) ×c :

{(a ×b) ×c}1 = (a ×b)2 c3 −(a ×b)3 c2 = (a3b1 −b3a1 )c3 −(a1b2 − a2b1 )c2 =

= a3b1 c3 −b3a1 c3 − a1b2 c2 + a2b1c2 = b1 (a2c2 + a3c3 ) − a1 (b2 c2 +b3c3 ) =

=b1 (a2c2 + a3c3 ) − a1 (b2 c2 +b3c3 ) +b1a1c1 −b1a1c1 =

=b1 (a1c1 + a2c2 + a3c3 ) − a1 (b1c1 +b2 c2 +b3c3 ) =

=b1(ac) −a1 (bc) ={b(ac) −a(bc)}1.

131

I. Векторная алгебра

Мы видим,	что первые компоненты векторов (a ×b) ×c è
b(ac) −a(bc)	совпадают. Проведя аналогичные доказательства

для каждой из компонент этих векторов, получаем, что и сами эти векторы равны:

(a ×b) ×c = b(ac) −a(bc). ■

Заметим, что преимущество этого доказательства состоит в том, что оно является фактически выводом соотношения (a ×b) ×c = b(ac) −a(bc), а не его проверкой.

Второе доказательство может быть представлено в более лаконичном виде, если использовать прием, который заключается в выборе наиболее оптимальной системы отсчета.

Доказательство 3

Предположим, что нам дано три вектора a, b è c, причем векторы a è b не параллельны друг другу. Выберем такую декартову систему отсчета, в которой ось абсцисс направлена вдоль вектора a. Тогда вектор a в этой системе отсчете будет иметь координаты a = (ax ,0,0). В качестве плоскости xOy выберем

плоскость, параллельную плоскости, образованной векторами a è b (она существует, так как мы рассматриваем случай, когда эти векторы не параллельны). Тогда третья координата вектора b будет равна нулю: b = (bx ,by ,0). Вектор c в этой системе координат будет иметь координаты c = (cx ,cy ,cz ).

Координаты векторного произведения векторов a ×b равны

(a ×b)x = aybz −azby = 0, (a ×b)y = azbx − axbz = 0,

(a ×b)z = axby −aybx = axby .

Òî åñòü:

a ×b = (0,0, axby ).

(ÄÂÏ 3.1)

Компоненты векторного произведения этого вектора на вектор c = (cx ,cy ,cz ) равны

((a ×b) ×c)x = (a ×b)y cz −(a ×b)z cy = −(a ×b)z cy = −axbycy ,

132