6.3. Метод полного факторного эксперимента

Полный факторный эксперимент (ПФЭ)  эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней факторов или независимых переменных, причем каждый фактор принудительно варьируется на заранее выбранном количестве уровней. Таким образом, мы имеем дело с активным экспериментом, т.е. с активным вмешательством экспериментатора в исследуемый процесс. Такой эксперимент выполняется в соответствии с заранее подготовленным планом. Рассмотрим ПФЭ при числе уровней, равных 2. В этом случае количество наблюдений определяется следующим образом: n = 2^k, где k  количество независимых переменных, включаемых в уравнение регрессии.

Использование ПФЭ позволяет повысить статистическую достоверность вычисляемых оценок уравнения регрессии при минимальном количестве опытов. В ходе планирования исходные независимые переменные преобразуются к безразмерному виду следующим образом:

,

(6.17)

где x_i  текущее наблюдаемое значение независимой переменной;

базовое, установившееся значение;

шаг варьирования независимой переменной.

Таким образом, если в ходе активного эксперимента мы будем сами устанавливать текущие значения х, то независимая переменная будет принимать два значения:

, где +  = , , где –  = .

(6.18)

Таким образом, в ходе эксперимента безразмерные величины будут принимать значения +1 и –1 (верхний и нижний уровни).

6.3.1. Полный факторный эксперимент 22

Матрица плана эксперимента для двух факторов приведена в табл.6.3.

Таблица 6.3. Матрица ПФЭ 2²

Наблюдения	Матрица ПФЭ			Y
	z0	z1	z2
1	+1	–1	–1	y1
2	+1	+1	–1	y2
3	+1	–1	+1	y3
4	+1	+1	+1	y4

Полученная матрица плана ортогональна, т.е. взаимное произведение двух любых столбцов матрицы равно нулю. В силу ортогональности возможно раздельное вычисление коэффициентов регрессии:

,

по формуле

, где i = 1,…k .

(6.19)

Для проверки адекватности модели необходимо рассчитать дисперсии эксперимента, адекватности и вычислить критерий Фишера по формулам (6.14) – (6.16).

6.3.2.Полный факторный эксперимент 23

Рассмотрим план ПФЭ для трех факторов. Матрица плана для приведенных по формуле (6.17) переменных представлена в табл.6.4. Количество опытов N = 2³= 8.

Таблица 6.4. Матрица ПФЭ 2³

Опыт		Основная				Дополнительная				Отклики
		z0		z1	z2	z3	z1 z2	z2 z3	z1 z3		z1 z2 z3
1	+		–	–	–	+	+	+	–
2	+		+	–	–	–	+	–	+
3	+		–	+	–	–	–	+	+
4	+		+	+	–	+	–	–	–
5	+		–	–	+	+	–	–	+
6	+		+	–	+	–	–	+	–
7	+		–	+	+	–	+	–	–
8	+		+	+	+	+	+	+	–

Примечание: z₀ – фиктивная переменная, используемая для определения коэффициента b₀ .

Основная матрица служит для обеспечения варьирования фактора в заданной последовательности. Плюс или минус показывает, что тот или иной фактор принимает значение верхнего или нижнего уровня. Дополнительная матрица отражает результаты взаимодействия факторов. Она потребуется для вычисления коэффициентов регрессии при комбинации соответствующих факторов.

Перед реализацией плана необходимо установить базовые значения факторовили шаги их варьирования. Установив в ходе экспериментаи используя (6.19), получим уравнение регрессии

Проверка адекватности полученной модели и оценки значимости полученных коэффициентов выполняется аналогично ПЭФ 2².

Пример 6.2. Пусть имеем наблюдения за фактором y (количество выпускаемой продукции), зависящим от себестоимости х₁ и затрат на рекламу х₂. Используем вместо х₁ и х₂ приведенные переменные z₁ и z₂. Матрица плана соответствует табл. 6.3, где у₁ = 10, у₂ = 18, у₃ = 20, у₄ = 40.

Решение. Вычислим коэффициенты по формуле (6.19). Свободный член уравнения регрессии

.

Коэффициенты при z₁, z₂:

Полученное уравнение регрессии можно записать следующим образом:

.

Необходимо учесть, что коэффициенты, связанные с откликом, являются безразмерными переменными, т.е. уравнение регрессии

должно быть переписано в виде

.

Расчет дисперсии эксперимента, дисперсии адекватности и вычисление критерия Фишера выполняются по формулам (6.14) – (6.16) аналогично примеру 6.1. Если в ходе проверки адекватности установлена неадекватность линейного уравнения, то в матрицу ПФЭ можно включить взаимодействие факторов, т.е. в матрицу плана необходимо добавить еще один столбец (табл.6.5).

Таблица 6.5. Матрица плана ПФЭ для двух факторов с учетом взаимодействия

Опыт	z0	z1	z2	z1 z2	Y
1	+1	–1	–1	+1
2	+1	+1	–1	–1
3	+1	–1	+1	–1
4	+1	+1	+1	+1

В данном случае уравнение регрессии может быть дополнено таким образом, чтобы оно отражало взаимное влияние двух факторов; коэффициент вычисляется аналогично.

В рассмотренном примере .

Таким образом, уравнение регрессии запишется как .

Задания для самостоятельной работы

1. Для условия примера 6.2 определите коэффициенты регрессии по результатам наблюдений, где =3, = 7, = 10, = 14.

2. Пусть имеем наблюдения за фактором y (количество проданной продукции в тыс.шт.), зависящим от покупательской способности (прожиточного минимума) , себестоимости , затрат на рекламу . Составьте матрицу плана и найдите коэффициенты уравнения регрессии при следующих значениях фактора: = 15, = 18, = 22, = 30, = 18, = 18, = 31, = 43.

3. Сформулируйте задачу аналитической обработки экспериментальных данных методом ПФЭ. Подготовьте матрицу плана, выборку исходных данных и приведите решение.