Случайное событие оценивают числом, определяющим интенсивность проявления этого события. Это число называют вероятностью события P(). Вероятность элементарного события – . Вероятность события есть численная мера степени объективности, возможности этого события. Чем больше вероятность, тем более возможно событие.

Любое событие, совпадающее со всем пространством исходов S, называетсядостоверным событием, т.е. таким событием, которое в результате эксперимента обязательно должно произойти (например, выпадение любого числа очков от 1 до 6 на игральной кости). Если событие не принадлежит множествуS, то оно считаетсяневозможным (например, выпадение числа очков, большего 6, на игральной кости). Вероятность невозможного события равна 0, вероятность достоверного события равна 1. Все остальные события имеют вероятность от 0 до 1.

События Еиназываютсяпротивоположными, еслиЕнаступает тогда, когда не наступает. Например, событиеЕ– «выпадение четного числа очков», тогда событие– «выпадение нечетного числа очков». Два событияЕ₁иЕ₂ называютсянесовместными, если не существует никакого исхода, общего для обоих событий.

Для определения вероятностей случайных событий используют непосредственные или косвенные способы. При непосредственном подсчете вероятности различают априорную и апостериорную схемы подсчетов, когда проводят наблюдения (опыты) или априорно подсчитывают число опытовm, в которых событие проявилось, и общее число произведенных опытовn. Косвенные способы основываются на аксиоматической теории. Поскольку события определяются как множества, то над ними можно совершать все теоретико-множественные операции. Теория множеств, функциональный анализ были предложены академиком А.Н. Колмогоровым и составили основу аксиоматической теории вероятности. Приведем аксиомы вероятностей.

Аксиома I. Поле событий F(S) является алгеброй множеств.

Эта аксиома указывает на аналогию теории множеств и теории вероятности.

Аксиома II. Каждому множеству из F(S) поставлено в соответствие действительное число P(), называемое вероятностью события _:

P()  0.

(1.2)

Аксиома III. Вероятность достоверного события равна 1:

P(S) = 1.

(1.3)

Аксиома IV. Если S₁ и S₂ несовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей.

Для двух событий

P(S1 + S2) = P(S1) + P(S2),

(1.4)

при условии S₁  S₂ = (для несовместных событийS₁ иS₂), или для множества несовместных событий

.

(1.4а)

1.1.2. Определение априорной вероятности

Вероятность элементарного события априорно определяется следующим образом¹:

,

(1.5)

где N– количество элементарных событий (возможных исходов).

Вероятность случайного события

,

(1.6)

где– вероятности элементарных событий, входящих в подмножество.

Пример1.1. Определить вероятность выпадения каждого числа при бросании игральной кости, выпадения четного числа, числа4.

Решение. Вероятность выпадения каждого числа из множества

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1/6.

Вероятность выпадения четного числа, т.е.={2, 4, 6},исходя из (1.6) будетP() = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Вероятность выпадения числа  4, т.е. = {4, 5, 6 },

P() = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Задания для самостоятельной работы

1. В корзине 20 белых, 30 черных и 50 красных шаров. Определите вероятность того, что первый вынутый из корзинки шар будет белым; черным; красным.

2. В студенческой группе 12 юношей и 10 девушек. Какова вероятность того, что на семинаре по теории вероятности будут отсутствовать: 1) юноша; 2) девушка; 3) два юноши?

3. В течение года 51 день отличался тем, что в эти дни шел дождь (или снег). Какова вероятность того, что вы рискуете попасть под дождь (или снег): 1) отправляясь на работу; 2) отправляясь в поход на 5 дней?

4. Составьте задачу на тему данного задания и решите ее.

1.1.3. Определение апостериорной вероятности (статистической вероятности или частоты

случайного события)

При априорном определении вероятности предполагалось, что равновероятны. Это далеко не всегда соответствует действительности, чаще бывает, чтопри. Допущениеприводит к ошибке в априорном определенииP() по установленной схеме. Для определения, а в общем случаеP() проводят целенаправленные испытания. В ходе проведения таких испытаний (например, результаты испытаний в примерах 1.2, 1.3) при различном состоянии разнообразных условий, воздействий, причинных факторов, т.е. в различныхслучаях,могут возникнуть различныеисходы(различные проявления сведений исследуемого объекта).Каждый исход испытаний соответствует одному элементу или одному подмножеству множества S. Если определять m как число благоприятных событию А исходов, полученных в результате n испытаний, то апостериорная вероятность (статистическая вероятность или частота случайного события А)

.

(1.7)

Из ранее приведенного определения вероятности следует, что

.

(1.8)

На основании закона больших чисел для A

, n  ,

(1.9)

т.е. при увеличении числа испытаний частота случайного события (апостериорная, или статистическая, вероятность) стремится к вероятности этого события.

Пример 1.2. Определенная по схеме случаев вероятность выпадения решки при подбрасывании монеты равна 0,5. Требуется подбросить монету 10, 20, 30 ... раз и определить частоту случайного события решка после каждой серии испытаний.

Решение. К. Пуассон подбрасывал монету 24000 раз, при этом решка выпадала 11998 раз. Тогда по формуле (1.7) вероятность выпадения решки

.

Задания для самостоятельной работы

1. На основании большого статистического материала (n  ) были получены значения вероятностей появления отдельных букв русского алфавита и пробела () в текстах, которые приведены в табл.1.1.

Таблица 1.1. Вероятность появления букв алфавита в тексте

Буква	^___ 0,175	О 0,090	Е, Ё 0,072	А 0,062	И 0,062	Т 0,053	Н 0,053	С 0,045
Буква	Р 0,040	В 0,038	Л 0,035	К 0,028	М 0,026	Д 0,025	П 0,023	У 0,021
Буква	Я 0,018	Ы 0,016	З 0,016	Ь,Ъ 0,014	Б 0,014	Г 0,013	Ч 0,012	Й 0,010
Буква	Х 0,009	Ж 0,007	Ю 0,006	Ш 0,006	Ц 0,004	Щ 0,003	Э 0,003	Ф 0,002

Возьмите страницу любого текста и определите частоту появления различных букв на этой странице. Увеличьте объем испытаний до двух страниц. Полученные результаты сравните с данными таблицы. Сделайте вывод.

2. При стрельбе по мишеням был получен следующий результат (см. табл.1.2).

Таблица 1.2. Результат стрельбы по мишеням

Количество очков	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число попаданий	1	1	3	2	2	8	8	6	10	7	0

Какова вероятность того, что цель была бы поражена с первого выстрела, если бы по своим размерам она была меньше «десятки», «девятки» и т.д.?

3. Спланируйте и проведите аналогичные испытания для других событий. Представьте их результаты.