Глава 3. Описательная статистика

Любой объект или систему Sможно охарактеризовать множеством сведений, для получения которых проводят наблюдения или эксперименты. В процессе наблюдения или экспериментов субъект может получить одно, несколько или все сведения. Так как эксперимент проводится при определенном комплексе условий, то его результат носит случайный характер и наблюдаются случайные величины. Восприятие реального мира, его познание осуществляются через анализ наблюдений (полученных данных), их описание. При этом суть анализа сводится к поиску закономерностей. При решении многих прикладных задач для случайных величин определяются по экспериментальным данным их вероятностные и числовые характеристики. Статистическое описание результатов наблюдений, построение и проверка различных математических моделей, использующих понятие вероятности, составляют основное содержание математической статистики.

Все задачи математической статистики связаны с обработкой результатов наблюдений, т.е. экспериментальных данных. В зависимости от целей, от объема экспериментальных данных могут быть поставлены разные задачи, но общим в них является то, что решение задач связано с работой со случайными величинами.

3.1. Случайные выборки и их описание

Рассматривая понятия случайных величин X (см.гл.1), мы предполагали, что имеем бесконечно большое число наблюдений. В этом случае можно говорить о генеральной совокупности, которая характеризуется функцией распределенияF(x).

Генеральной совокупностьюназывают совокупность всех мыслимых наблюдений, которые могли бы быть произведены при данном реальном комплексе условий. Генеральная совокупность называется конечной или бесконечной в зависимости от того, конечна или бесконечна совокупность всех мыслимых наблюдений. Непрерывные генеральные совокупности всегда бесконечны. Дискретные генеральные совокупности могут быть как бесконечными, так и конечными. Например, если анализируется успеваемость студентов выбранного факультета, общее число которыхNконечно, то генеральная совокупность будет конечной.

На практике каждое экспериментальное исследование содержит конечное число наблюдений случайной величиныX. В этом случаеХназываютслучайной выборкой, содержащейnзначений . Выборку можно рассматривать как некий эмпирический аналог генеральной совокупности, то, с чем чаще на практике мы имеем дело, поскольку обследование всей генеральной совокупности бывает либо слишком трудоемко (в случае большихN), либо принципиально невозможно (в случае бесконечных генеральных совокупностей). Если выборка дает достаточное представление об особенностях генеральной совокупности, т.е. полно и адекватно описывает свойства всей генеральной совокупности, то ее называютпредставительнойилирепрезентативной.

Случайная выборка характеризуется выборочной функцией распределения , которая стремится кF(x)при большом объеме выборкиn. ФункциюF(x)называют теоретической функцией распределения, авыборочной или эмпирической функцией распределения. Соотношения между ними для любогохвыражаются формулой

при n

(3.1)

или

при nс вероятностью1,

(3.2)

которая следует из теоремы Гливенко. Формулы (3.1) и (3.2) практически дают возможность при большом объеме выборки заменить функцию распределения генеральной совокупности эмпирической функцией распределения. Основная задача математической статистики оценка закона распределения и числовых характеристик генеральной совокупностипо известной случайной выборке.

Поскольку элементы конечной выборки случайны, то случайными будут и значения числовых характеристик, определенных по этой выборке. Поэтому по случайной выборке мы можем лишь более или менее точно оценить числовые характеристики генеральной совокупности .

Например, если мы имеем выборку из генеральной совокупности случайной величиныXс математическим ожиданиеми дисперсией , то по ней можно определить оценки математического ожиданияи дисперсии.