2. Список основных рекомендуемых источников

1. Малышев Р. А. Вычислительная математика: Учебное пособие/РГАТА. – Рыбинск, 2008. – 77 с.

2. Шуп Т. Прикладные численные методы в физике и технике: Пер. с англ. С. Ю. Славянова/под ред. С. П. Меркурьева. – М.: Высш. шк., 1990. – 255 с.

3. Васильков Ю. В., Васильков Н. Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании – М.: Финансы и статистика, 2002.

4. Завьялов Ю. С., Леус В. А., Скороспелов В. А. Сплайны в инженерной геометрии – М.: Машиностроение, 1985. – 224 с.

5. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. – М.: Наука, 1976. – 248 с.

3. Рекомендации по изучению дисциплины

Изучение дисциплины носит информационно-познавательный характер и предполагает углубленное познание вычислительных аспектов математики.

При оформлении контрольной работы следует придерживаться принципов систематизации в изложении материала: широко использовать табличное представление информации, применять рисунки, диаграммы и графики, позволяющие избавиться от избытка текста и одновременно с этим показать состав и связи всех элементов и структурных составляющих. Записка должна содержать основные термины и определения и иметь ссылки на соответствующие источники.

Чем ответственнее подойти к решению этой задачи, тем более ощутимые плоды будут получены в будущем.

4. Выполнение контрольной работы

В качестве формы промежуточного контроля за изучением и освоением теоретического материала учебным планом предусмотрена контрольная работа. Оценка за контрольную работу участвует в формировании итоговой оценки по курсу (см. разд. 1). Контрольная работа заключается в написании программ для реализации рассмотренных методов вычислительной математики на ЭВМ. Задание для каждого студента определяется по приложению 1 и задачами из п.4.1. Программы должны иметь возможность легко менять исходные данные, строить графики полученных функций, отображать исходные формулы для поиска функций и формулы с рассчитанными значениями коэффициентов.

4.1 Задания на контрольную работу

Задача 1.1. Пусть задана таблица

xi	yi
10	0,17365
20	0,34202
30	0,50000
40	0,64279
50	0,76604
60	0,86603

Эти данные соответствуют функции у = sin(х_град.). Необходимо написатьпрограммуна любом языке программирования (кроме Бейсика), используя метод интерполяции по Лагранжу, найти значениеу прих = 23.

Числовое значение у(23) при применении метода Лагранжа к этим данным получают используя приведенную формулу суммирования (см. выше)

Задача 1.2. Применить метод разделенных разностей для отыскания значения у(23), используя данные из задачи 1.

На основе этих данных может быть построена следующая таблица разностей.

xi, град	уi	Dуi	D^2уi	D^3уi	D^4уi	D^5уi
10	0,17365	-
		0,16837	-
20	0,34202		- 0,01039	-
		0,15798		- 0,00480	-
30	0,50000		- 0,01519		0,00045	-
		0,14279		- 0,00435		0,00018
40	0,64279		- 0,01954		0,00063	-
		0,12325		- 0,00372	-
50	0,76604		- 0,02326	-
		0,09999	-
60	0,86603	-

За х₀ можно принять любоех_i, напримерх = 20°. Необходимые разности стоят на диагонали, идущей отx₀ вниз. Число используемых разностей высших порядков может быть любым, но чем оно больше, тем выше точность. Одно из достоинств рассматриваемого метода состоит в том, что он позволяет уточнять результат, используя дополнительные разности, причем нет необходимости начинать вычисления сначала. Поэтому в случае, если неизвестно, сколько членов следует взять, их число можно увеличивать до тех пор, пока их вклад не станет пренебрежимо малым. В данном случаеh= 10°. Используя только первую разность, найдем

y(23) =y+(Dy₀)/ h (23 –x₀) = 0,34202+(0,15798/10) • 3 = 0,38941.

Введя дополнительно вторую разность, получим

у(23) = 0,38941 + (Dy₀)/h(23 –x) (23 –х₁) = 0,39100.

Наконец, с помощью третьей разности найдем

y(23) = 0,39100 + [(D³у₀)/(6h³)](23 –x)(23 –х₁)(23 –х₂)=0,39074.

Совершенно очевидно, что это значение у очень близко к точному, равному 0,39073.

С помощью единожды построенной таблицы разностей можно отыскивать интерполяционные значения, не обращаясь к начальной стадии процедуры.

Задача 1.3. Решить задачу 1 методом Эйткена. Ниже приведена таблица результатов, полученных путем многократного применения линейной интерполяции прих= 23°. Видно, что по мере выполнения вычислений значения у (23°) стремятся к истинному значению, равному 0,39073.

i	хi	yi	yi1	yi2	yi3
0	10°	0,17365	–
1	20°	0,34202	0,39253	–
2	30°	0,50000	0,38578	0,39051	–
3	40°	0,64279	0,37694	0,39019	0,39073
4	50°	0,76604	0,36618	0,38990	0,39072
5	60°	0,86603	0,35367	0,38962	0,39072

Задача 2.1. Пластичные материалы в присутствии трещин обычно становятся ломкими. Это свойство называют трещинной чувствительностью. Такая чувствительность сильно связана с температурой, ее измеряют путем соударения с маятником (тест Шарпи). В тесте Шарпи при соударении измеряют энергию, накопленную стандартным образцом, подвергающимся тестированию. Результаты этого теста для холоднокатаной стали определенной марки представлены в следующей таблице.

Температура, ° С	-100	-75	-50	-25	0	25	50	75	100
Энергия соударения Шарпи, Дж	4,06	6,78	9,49	16,27	40,67	97,62	146,63	151,85	162,7

Предположим, что нам нужно построить такой полином, с помощью которого эти данные можно было бы описать во всей исследуемой области.

Реальный выбор порядка того полинома, который будет использован для приближения по методу наименьших квадратов, зависит от природы экспериментальных данных. Естественно, он должен быть меньше, чем полное число точек, заданных таблицей. Вообще говоря, полином более высокого порядка приведет к результатам лучшим, чем полином меньшего порядка. Цена, которую придется заплатить за это лучшее представление, состоит в том, что теперь потребуется решать систему с большим числом уравнений. Это приведет к программе, которая потребует больше памяти и больше времени на выполнение. Повышать порядок полинома следует с осторожностью, поскольку в тех случаях, когда этот порядок достигает предельно допустимых значений, решение может начать осциллировать между данными и тем самым сильно исказить общее поведение данных. Если это произойдет, имеет смысл попробовать различные порядки полиномов и выбрать тот, который приводит к наиболее разумному результату. B рассматриваемом примере выбран полином четвертого порядка.

Задача 2.2. Данные, используемые в задаче 2.1, приблизить кубическим сплайном, а затем сплайном более высокой степени.

Задача 3.1. Написать программудля приближенного нахождения производной табулированных значений функции y = sin(x), используя третьи, а затем пятые разности.

Задача 3.2.

Была проведена экспериментальная проверка метронома с новым шарниром. Получены следующие результаты зависимости смещения от времени:

Время, мс	Смещение, мм	Время, мс	Смещение, мм
0.00	0.00	22.53	3.76
5.01	0.18	25.33	4.48
10.09	1.05	28.03	5.28
13.98	1.73	30.42	6.12
16.62	2.35	32.06	7.09
18.01	2.96	33.62	8.00

Эти данные получены экспериментально для определенного метронома. Желательно найти приближенное значение скорости ключа в этих экспериментах.

Задача 4.1.

Для нужд автоматизированного процесса производства было разработано специальное устройство для сконцентрированного обдува воздухом обрабатываемой поверхности с целью удаления механической стружки после обработки. Нужно определить энергию, необходимую для хода сжатия в рабочем цикле устройства. Работа компрессорного устройства протекает, как показано на рисунке. Вначале поршень находится в положении 1, соответствующем максимальному объему, и все клапаны закрыты. Когда поршень перемещается в положение 2, соответствующее минимальному объему, давление нарастает. В положении 2 выпускной клапан открывается и возникает струя воздуха. В течение этого процесса снова устанавливается атмосферное давление и поршень движется к первоначальному положению с открытым впускным клапаном. Энергия, необходимая для хода сжатия, соответствует площади под диаграммой цикла, т. е. интегралу от кривой между точками 1 и 2 за вычетом площади под отрезком, соединяющим точки 3 и 1.

Эксперименты дали следующие значения для кривой сжатия:

Объем, см	Давление, Н/м^2	Объем, см	Давление, Н/м^2
15	1442,700	60	207,100
20	964,400	65	185,200
25	705,600	70	166,900
30	546,700	75	151,600
35	440,600	80	138,500
40	365,400	85	127,200
45	309,900	90	117,400
50	267,400	95	108,900
55	234,000	100	101,300

Для интегрирования используем метод Симпсона. Шаг А выберем равным 5 см³, так что количество интервалов разбиения нечетно. Поэтому следует применить формулу Симпсона трех восьмых.

Задача 4.2.

В качестве иллюстрации метода Ромберга рассмотрим интегрирование функции y = sin(x) от 0 до p. Выбор такой задачи связан с тем, что хорошо известен ответ, равный 2,0, поэтому успех метода Ромберга становится наглядным.

Задача 4.3.

Для иллюстрации использования метода квадратур Гаусса предположим, что необходимо вычислить интеграл от функции y = sin(x) на промежутке [0, p]. Содержание задачи то же, что и в задаче 2, и известен точный ответ, равный 2,0.