1.6.2.Общее решение для мод

Не рассматривая какую-либо конкретную физическую систему , предположим, что мы нашли два связанных линейных уравнения первого порядка не в нормальных координатах:

(1.6.5)

Рассмотрим колебание, соответствующее одной моде. Это значит, что обеим степеням свободы х и у соответствует гармоническое колебательное движение, совершаемое с одной и той же частотой и фазой. Таким образом, ,

где ω и B/A пока неизвестны. Имеем:

(1.6.6)

Подставляя (1.6.6) в (1.6.5), после элементарных преобразований получим два однородных линейных уравнения:

(1.6.7)

(1.6.8)

или Ясно, что должно выполняться условие:Тогда

Левая часть этого уравнения представляет собой определитель, составленный из коэффициентов линейных однородных уравнений (1.6.7) и (1.6.8):

. (1.6.9)

Уравнение (1.6.9) является квадратным относительно . Оно имеет два решенияи.

Итак, мы нашли, что существуют два способа, которыми могут быть реализованы колебания с единственной модой.

Частота соответствует моде 1, а – моде 2. Геометрическую конфигурацию, или форму моды 1 получим, подставив в уравнение (1.6.9) =:

(1.6.10)

После того, как найдены частоты мод и и отношения амплитуд B₁/A₁ и B₂/A₂, можно записать общие выражения суперпозиции двух мод:

(1.6.11)

(1.6.12)

Выбор постоянных в уравнении (1.6.11) накладывает ограничения на возможные значения постоянных в уравнении (1.6.12), так как должны удовлетворяться уравнения (1.6.10). Наиболее общее решение уравнений (1.6.5) состоит в комбинации двух независимых решений, которые удовлетворяют четырём начальным условиям длях(0); х'(0); у(0) и у'(0). Суперпозиция двух нормальных мод, для которых четыре константы определяются из четырёх начальных условий, представляют собой такое решение. Таким образом, общее решение может быть записано как суперпозиция мод.

Лекция 6

2.Волны в упругой среде

2. 1. Волновое движение. Продольные и поперечные волны

_{При изучении закономерностей распространения механических колебаний в газах, жидкостях и твердых телах, как правило, отвлекаются от молекулярного строения этих тел и рассматривают их как сплошную среду, непрерывно распределенную в пространстве. Под частицей среды, совершающей вынужденные колебания, будем понимать малый элемент ее объема, размеры которого во много раз больше межмолекулярных расстояний, так что в нем содержится очень большое число молекул.}

Деформация называется упругой, если она полностью исчезает после прекращения воздействия. Если в какой – либо среде (твердой, жидкой, газообразной) возникают только упругие деформации, то среда называется упругой. Если в такой среде возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание начнет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью . Процесс распространения колебаний в упругой среде называется механической (или упругой) волной. Частицы среды, в которой распространяется волна, не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Если колебания частиц происходят в направлении распространения волны, то волна называется продольной. Если колебания частиц перпендикулярны к направлению распространения волны, то волна называется поперечной.

Рассмотрим поперечную волну (рис.2.1). Пусть частицы 1,2,3 и так далее отстоят друг от друга на расстоянии , гдеТ– период колебаний частиц. В момент времени=0 волна, распространяясь вдоль осиХ слева направо, достигла частицы 1, вследствие этого частица 1начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигла крайнего верхнего положения, одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2. Спустя еще четверть периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положения, а третья частица начинает смещаться вверх из положения равновесия. В момент времениt=Tпервая частица закончит полный цикл колебаний и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времениt=Tдостигнет точки 5, пройдет путь .

Все время, пока существует волна, частицы среды совершают колебания около своих положений равновесия, причем, как видно из рисунка 2.1, различные частицы колеблются со сдвигом по фазе. Частицы, отстоящие друг от друга на расстояние , колеблются в одинаковой фазе. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длинной волны. Очевидно=, или , где1/Т- частота колебаний.

В действительности колеблются не только частицы, расположенные на оси Х,

а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Геометрическое место

точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом

волны. Это поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в

волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Если волновые поверхности – параллельные плоскости, то волна называется плоской, если волновые поверхности – концентрические сферы с центром в источнике волны, волна называется сферической.