1.2.2. Ангармонический осциллятор

При рассмотрении колебаний мы принимали условие малости отклонений. В этом случае . Однако, в реальных системах это допущение является весьма условным. Разложениев ряд предполагает наличие членов, содержащих:

(1.2.1)

Рассмотрим маятник, который колеблется с амплитудой настолько большой, что мы не можем пренебрегать слагаемым в (1.2.1). Это элементарный пример ангармонического осциллятора. Ангармонические или нелинейные задачи обычно с трудом поддаются точному решению, однако во многих случаях приближенные решения дают достаточно ясное представление о рассматриваемом явлении.

Уравнение движения ангармонического осциллятора имеет вид:

. (1.2.2)

Приближенное решение этого уравнения

(1.2.3)

где - безразмерная постоянная, значительно меньшая единицы при.

Движение осциллятора приближенно может быть представлено как наложение двух движений иПрисутствие слагаемогоможно понять, если воспользоваться тригонометрическим тождеством

. (1.2.4)

Таким образом, в уравнении (1.2.2) приводит к появлению в решении слагаемогоДля того, чтобы удовлетворить (1.2.2), необходимо было кприбавитьДалее можно придти к выводу, что новое слагаемоев частном решении (1.2.3) , будучи возведено в куб, приводит к появлению членаи т.д. Очевидно, нет оснований для прекращения этого процесса, но если, то ряд будет сходиться. Таким образом, (1.2.3) в лучшем случае можно считать только приближенным решением.

При малых амплитудах частота стремится к, а при больших значениях амплитуды она будет иметь другое значение. Для простоты примем при

Такого типа приближенные решения дифференциального уравнения называют решением методом возмущений, т.к. один из членов уравнения «возмущает» движение, описываемое уравнением, его не содержащим.

Таким образом, решение уравнения в виде (1.2.3) основано лишь на предположениях. Однако можно проверить, насколько реальны эти предположения и отбросить те из них, которые окажутся неверными. Из (1.2.3) находим:

, (1.2.5)

здесь отброшены члены, содержащие и, вследствие их малости (). Учитывая тождество (1.2.4) , выражение (1.2.2) перепишем в виде

(1.2.6)

Сложим почленно три уравнения (1.2.6). Согласно (1.2.2), сумма в левой части должна быть равна нулю. Если (1.2.3) является решением уравнения (1.2.2) для любого момента времени, то в правой части (1.2.6) коэффициенты при ив отдельности должны обращаться в нуль. Тогда получаются выражения типа, гдеА иВ – постоянные. Но такое решение не может быть справедливо для любого момента времени, поэтомуА и Вдолжны быть равны нулю. В приведенном выше решении (1.2.3) не рассматриваются члены, содержащие все возможные частоты, а учтены лишь наиболее важные члены. Условие равенства нулю коэффициента прив (1.2.6) дает:

(1.2.7)

или , и

(1.2.8)

Выражение (1.2.8) получено в результате биномиального разложения квадратного корня. Уравнение (1.2.8) зависимость . Величинапредставляет собой предельное значениепри, т.е. при предельно малых амплитудах.

Решение в форме (1.2.3) содержит также член Вклад этого члена в амплитуду по сравнению с вкладом членазависит от, величина которого может быть оценена из условия равенства нулю коэффициента прив выражении (1.2.6):

(1.2.9)

Полагая , из (1.2.9) получаем

(1.2.10)

Величина определяет ту часть, которую составляет членв выражении для. Коэффициент приимеет порядокили, он мал , поэтому в рассматриваемом приближении этим членом можно пренебречь.

В рассматриваемом случае движение не может характеризоваться только единственной частотой. Наибольшее по величине слагаемое , поэтому частотуназывают основной частотой маятника. Член, содержащий, называют третьей гармоникой основной частоты. Из анализа (1.2.3) следует, что точное решение содержит бесконечное число гармоник, большинство из которых оказывается очень малыми. Из (1.2.3) следует также, что амплитуда основной компоненты движения равна, амплитуда третьей гармоники равна.

Рассмотрим движение груза на пружине. Не существует физических причин, в силу которых для реальной пружины зависимость силы от ее деформации не должна содержать членов выше первой степени, т.е. или. Следовательно, потенциальная энергия деформированной пружины соответственно будет содержать члены сили. Функция потенциальной энергии для реальной пружины может и не быть симметричной относительно положения равновесия. Если потенциальная энергия деформированной пружины выражается соотношением

, (1.2.11)

где s - постоянная ангармоничности, то упругая сила

(1.2.12)

При этом сила обращается в ноль как при х=0, так и при. Предполагается, что амплитуда движения мала в сравнении с, так что частица прих=0 остается вблизи минимума потенциальной энергии, выражаемой соотношением (1.2.11). Уравнение движения становится нелинейным

(1.2.13)

Его решение будем искать в виде

(1.2.14)

где q и- постоянные, которые должны быть определены. Выбор функцииопределяется только удобством, вообще же можно использовать любую линейную комбинациюи. Дифференцируя (1.2.14), получаем

, (1.2.15)

используя тождество , имеем

(1.2.16)

В выражении (1.2.16) опущены члены, содержащие хиq, так каквходит в уравнение движения в виде произведения на , при этом считаем , чтоТеперь дифференциальное уравнение (1.2.13) принимает вид

(1.2.17)

Условие, при котором коэффициент при в уравнении (1.2.17) стремится к нулю, выражается соотношением

(1.2.18)

т.е. в этом приближении частота не изменяется.

Условие, при котором коэффициент при в (1.2.17) будет стремиться к нулю, имеет вид

(1.2.19)

Из выражения (1.2.17) получаем смещение

(1.2.20)

Среднее по времени положение найдем их (1.2.14):

. (1.2.21)

Так как и, то в результате получим

(1.2.22)

Из (1.2.12) видно, что восстанавливающая сила, которой в данном случае является сила упругости пружины, больше для отрицательных значений х, чем для положительных, поэтому перемещение, соответствующее (1.2.22) и выражающее среднее положение

Колеблющегося тела, будет соответствовать положительному направлению оси х, в котором восстанавливающая сила слабее.

Смещение (1.2.22) пропорционально постоянной ангармоничности и квадрату амплитуды колебанийА.

Лекция 3