2.10.2. Энергетические характеристики электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга

2.10. 2.1.Энергия и импульс электромагнитного поля. Сохранение энергии и импульса в изолированной системе произвольно движущихся зарядов

Как всякий материальный объект, электромагнитное поле обладает импульсом, энергией и моментом импульса. Эти величины для поля сохраняются, если оно оказывается изолированным. Условие изолированности выполняется в тех случаях, когда в области существования поля нет электрических зарядов и токов. Такое поле называется свободным. Сохранение энергии, импульса и момента импульса изолированного поля является следствием однородности пространства и времени и изотропности пространства. При взаимодействии электромагнитного поля с зарядами и токами сохраняются суммарные величины для поля и заряженных частиц. Так, сохраняется полная сумма импульсов электромагнитного поля и заряженных частиц.

Поскольку поле всегда занимает некоторую область пространства, энергия, импульс и момент импульса всегда характеризуются их удельными значениями, т.е. соответствующей величиной, отнесенной к единице объема в данном месте пространства. Эти величины называются соответственно плотностью энергии w, импульса, и момента импульса. Каждая из этих функций зависит от времениtи радиус-вектораданной точки пространства.

Из уравнений Максвелла-Лоренца можно получить значения этих плотностей и законы их сохранения.

2.10.2.2. Работа, совершаемая полем при перемещении зарядов

Определения кинетической и потенциальной энергии, а также импульса и момента импульса, данные в механике для материальной точки и системы материальных точек, отнюдь не распространяются на поля.

Рассмотрим систему заряженных материальных точек, взаимодействующих между собой. Такая система описывается уравнениями Максвелла-Лоренца. Пользуясь этими уравнениями, распространим понятия энергии и импульса на поля, находя величины, сохраняющиеся для изолированной системы поле - заряды. Макроскопические электрические заряды, так или иначе, связаны с материальными телами, на которых они расположены. Пусть частица массой

несет заряд. Тогда по второму закону Ньютона уравнения движения имеют вид:

. (2.36)

Умножим это выражение на , получим выражение для энергии

В правой части этого выражения стоит работа силы Лоренца. Она совершается только электрической составляющей этой силы, так как магнитная составляющая равна нулю ( векторы иколлинеарны).

Левую часть преобразуем с помощью тождества

.

Действительно, , тогда в левой части

в правой части

Тогда окончательно получаем

• элементарная работа силы Лоренца равна приросту релятивистской кинетической энергии заряженной материальной точки.

Просуммируем теперь элементарные работы по всем точкам системы и разделим на dt:

(2.37)

( здесь на dt разделили левую и правую части).

Формула (2.37) выражает теорему об изменении энергии системы материальных точек в единицу времени за счет работы поля, совершенной над ними. Выведенная формула для точечного заряда обобщается и на случай непрерывно распределенного в пространстве заряда. Для работы поля в единицу времени имеем:

причем - плотность тока,- заряд одного носителя,- число носителей в единице объема. Тогда

. (2.38)

Мощность, заключенная в единице объема ( плотность мощности) равна

Итак, за счет работы поля изменяется кинетическая энергия находящихся в поле заряженных частиц. При этом энергия поля превращается в кинетическую энергию частиц.