1.1.5. Энергия колебаний

Смещение колеблющейся точки от положения равновесия, описывается уравнением:

_{ее ускорение равно второй производной от смещения по времени тогда сила, действующая на колеблющуюся точку, по второму закону Ньютона равна}

_{- то есть сила пропорциональна смещению х и направлена против смещения к положению равновесия. Эта сила называется возвращающей силой. В случае груза на пружине возвращающей силой является сила упругости, в случае математического маятника – составляющая силы тяжести.}

_{Возвращающая сила по характеру подчиняется закону Гука F= -kx, где}

_{– коэффициент возвращающей силы. Тогда потенциальная энергия колеблющейся точки равна:}

_{(постоянную интегрирования выбирают равной нулю, чтобы при х=0 энергия Wn=0).}

_{Кинетическая энергия осциллятора:}

_{где , тогда}

_{Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий, и в случае свободных колебаний без трения сохраняется (рис.1.1.15). Когда материальная точка совершает колебания, кинетическая энергия переходит в потенциальную, и наоборот. В крайних точках (х = ±А) скорость , кинетическая энергия равна нулю, и полная энергия равна потенциальной:}

_{Таким образом, полная механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.}

_{В положении равновесия (х=0) потенциальная энергия переходит в кинетическую:}

_{В промежуточных точках полная энергия равна}

_{а скорость}

На рисунке 1.1.16 приведена кривая потенциальной энергии , горизонтальная линия соответствует полной энергии. Расстояние от этой линии до кривой равно кинетической энергии. Движение ограничено значениямих,заключёнными в пределах от–Адо +А.

Средние за период значения кинетической и потенциальной энергии одинаковы и равны , так что средняя полная энергия системы равна полной энергии системы ( средние значения).

Лекция 2

1.2. Ангармонический осциллятор

1.2.1. Линейность и принцип суперпозиции. Границы его применимости

Примеры, рассмотренные выше, соответствуют случаю, когда возвращающая сила пропорциональна х и не зависит, например, от x², x³ и т.д. Дифференциальное уравнение, содержащее не более, чем первые степени производных dx/dt, d²x/dt² и т.д. называется линейным относительно х и её производных по времени. При этом уравнение называется однородным, если оно не содержит членов, не зависящих от х. Если в уравнении появляются степени функции х и её производных, то уравнение называется нелинейным.

Линейные однородные уравнения обладают следующим свойством: сумма двух любых решений уравнения также является его решением. Говорят, что колебания, которые описываются такими уравнениями, подчиняются принципу суперпозиции.

В качестве примера применения принципа суперпозиции рассмотрим малые колебания математического маятника. Рассмотрим два решения уравнения движения :

соответствующие двум разным начальным условиям (смещение и скорость). Предположим, что есть ещё одно начальное условие, которое является суммой соответствующих начальных условий для и . Это значит, что начальное смещение маятника представляет собой алгебраическую сумму начальных смещенийи, а начальная скорость – алгебраическую сумму скоростей, соответствующихи.

Принцип суперпозиции применим для систем с любым числом степеней свободы.