- •Колебания. Волны. Оптика
- •1.Колебания
- •1.1.Гармонические колебания
- •1.1.1. Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебаний
- •1.1.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Комплексная форма представления гармонических колебаний
- •1.1.3. Примеры колебательных движений различной физической природы
- •1.1.3.1. Колебания груза на пружине
- •Где – коэффициент жёсткости пружины, – координата положения равновесия, х – координата груза (материальной точки) в момент времени ,- смещение от положения равновесия.
- •1.1.3.2. Маятники
- •1.1.4. Сложение колебаний (биения, фигуры Лиссажу). Векторное описание сложения колебаний
- •1.1.5. Энергия колебаний
- •1.2. Ангармонический осциллятор
- •1.2.1. Линейность и принцип суперпозиции. Границы его применимости
- •1.2.2. Ангармонический осциллятор
- •1.3. Свободные затухающие колебания осциллятора с потерями
- •Она пропорциональна числу колебаний за время релаксации.
- •1.4. Вынужденные колебания. Время установления вынужденных колебаний. Его связь с добротностью осциллятора
- •1.5.Электромагнитные процессы в колебательном контуре с током
- •1.5.1. Свободные колебания в контуре
- •1.5.2. Свободные затухающие колебания в контуре
- •1.5.3. Вынужденные электрические колебания. Резонанс в последовательном контуре
- •1.5.4.Резонанс в параллельном контуре
- •1.5.5.Переменный ток
- •1.6.Связанные колебания. Нормальные моды связанных осцилляторов
- •1.6.1.Системы с двумя степенями свободы Нормальные моды колебаний
- •1.6.2.Общее решение для мод
- •2.Волны в упругой среде
- •2. 1. Волновое движение. Продольные и поперечные волны
- •2.2. Волновое уравнение в пространстве. Плоская гармоническая волна. Длина волны, волновое число, фазовая скорость. Одномерное волновое уравнение. Упругие волны в газах, жидкостях и твердых телах
- •2.3.Энергия волны
- •2.4.Принцип суперпозиции волн
- •2.5.Образование стоячих волн
- •2.6.Свободные колебания системы со многими степенями свободы. Волны – колебания непрерывных систем
- •2.7. Стоячие волны как нормальные моды колебаний
- •2.8. Моды поперечных колебаний непрерывной струны
- •2.9. Эффект Доплера
- •2.10. Электромагнитные волны
- •2.10.2. Энергетические характеристики электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга
- •2.10. 2.1.Энергия и импульс электромагнитного поля. Сохранение энергии и импульса в изолированной системе произвольно движущихся зарядов
- •2.10.2.2. Работа, совершаемая полем при перемещении зарядов
- •2.10.2.3.Энергия электромагнитного поля. Плотность и поток энергии. Закон изменения энергии
- •2.10.2.4. Закон сохранения энергии для изолированной системы «поле- заряды»
- •2.10.2.5. Импульс электромагнитного поля. Закон сохранения импульса и момента импульса
- •2.10.3 Излучение диполя
2.3.Энергия волны
Рассмотрим плоскую продольную волну, распространяющуюся в направление оси Х. Пусть волна является бегущей, т.е. ее распространение связанно с распространением в пространстве энергии колебаний. Уравнение волны
(2.8)
Выделим в среде элементарный объем настолько малый, что скорости движения и деформации во всех его точках одинаковы.
Выделенный объем обладает кинетической энергией
где - масса объема,- скорость. Разделив эту энергию на величину объема, получим объемную плотность кинетической энергии
(2.9)
Рассматриваемый элемент объема обладает потенциальной энергией упругой деформации. Чтобы найти эту энергию, представим выделенный объем в виде стержня с площадью поперечного сечения S и длиной . Один конец стержня закреплен, ко второму приложим растягивающую силуи будем медленно увеличивать ее от 0 до. Удлинение стержня будет при этом меняться от 0 дох. По закону Гука где- коэффициент упругости. Работа силы упругости в этом процессе
Эта работа идет на увеличение упругой энергии U . т.е. Плотность этой энергии
(2.10)
где - напряжение,Е – модуль Юнга, - относительная деформация. Так как фазовая скорость волны, то, и объемная плотность потенциальной энергии равна
Под объемной плотностью энергии упругих волн понимают объемную плотность механической энергии среды, обусловленную распространением этих волн:
(2.11)
Продифференцируем уравнение (2.8) сначала по времени, а затем по координате х
Подставив производные по координате и по времени в (2.11) и заменив , имеем
- в каждой точке среды, охваченной волновым движением, объемные плотности кинетической и потенциальной энергий являются одинаковыми функциями времени. Объемная плотность энергии волныизменяется с течением времени, это связанно с процессами распространения волн, так как волновой процесс сопровождается переносом энергии при вовлечении в колебательное движение все новых частиц. Поэтому объемная плотность энергии волн зависит как от координат, так и от времени.
Среднее за период значение объемной плотности энергии . Плотность энергии волны и ее среднее значение пропорциональны плотности среды, квадрату частотыи квадрату амплитуды.
Таким образом, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительной энергией, которая доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной, т.е. волна переносит с собой энергию. Скорость переноса энергии волной равна скорости перемещения в пространстве поверхности, соответствующей максимальному значению объемной плотности энергии волны. Для синусоидальных волн эта скорость равна фазовой скорости (рис 2.3).
Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Если через данную поверхность за время dt переносится энергияdW, то поток энергии Ф равен
Поток энергии в разных точках различен. Для характеристики значения энергии в разных точках пространства вводится вектор плотности потока энергии (вектор Умова). Он численно равен потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению переноса энергии и направлен в сторону переноса энергии:
где - единичный вектор, совпадающий по направлению с распространением волны.
Очевидно, за время через площадкубудет перенесена энергия, заключенная в объеме цилиндра с основаниеми высотой, где- фазовая скорость волны,Тогда плотность потока энергии
здесь - вектор, численно равный фазовой скорости и направленный в сторону переноса энергии волной.
Интенсивностью волны Iназывается модуль среднего значения вектора Умова. Интенсивность волны численно равна энергии, переносимой волной за единицу времени сквозь единицу площади поверхности, нормальной к направлению распространения волны. Для синусоидальной волны
Поток энергии через некоторую поверхность Sравен потоку векторачерез эту поверхность
Среднее значение потока энергии через произвольную волновую поверхность незатухающей сферической волны ( в каждой точке поверхности векторы исовпадают):
где r –радиус волновой поверхности. Энергия волны не поглощается средой, поэтому средний поток энергии через сферу любого радиуса должен иметь одинаковое значение, т.е. выполняется соотношение
- амплитуда незатухающей сферической волны обратно пропорциональна расстояниюrот источника волны. Тогда средняя плотность потока энергии обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.
В случае плоской затухающей волны амплитуда убывает с расстоянием по закону , и средняя плотность потока энергии (т.е. интенсивность) убывает по закону, где- коэффициент поглощения волны.