2. Методические указания к изучению дисциплины

Рекомендуется изучение методического пособия в порядке изложения материала. Возможно изучение отдельной темы. В качестве дополнительной литературы рекомендуется использовать издания, указанные в списке литературы.

В методических указаниях приведены краткие теоретические сведения по каждому типу задач с подробными пояснениями к их решению. Методические указания могут быть использованы студентами заочной формы обучения при выполнении контрольных работ, а также при подготовке к экзамену.

Контрольная работа №2 включает задания по следующим темам:

1. предел функции (2 задания);

2. основы дифференциального исчисления (2 задания);

3. исследование функции и построение графика

(1 задание);

4. функции двух переменных (1 задание);

5. неопределенный интеграл (3 задания);

6. определенный интеграл (1 задание);

7. дифференциальные уравнения (3 задания);

8. ряды (2 задания).

Целостное представление о содержании курса дает Приложение 1. Содержание дисциплины (извлечение из рабо-чей программы дисциплины), где показаны принципы и логика построения дисциплины.

Необходимость выпуска настоящего пособия вызвана особенностями заочной формы обучения.

3. Методические указания к выполнению контрольной работы

Выполнение контрольных работ служит решению задачи получения студентами необходимых практических навыков по решению заданий из курса математики. Выполнение контрольных работ нацелено на получение студентами необходимых практических навыков решения задач из курса математического анализа. Прежде чем приступить к их выполнению, необходимо внимательно изучить соответствующие разделы Методических указаний, попробовав самостоятельно решить разобранные примеры.

В случае возникновения затруднений, а также при необходимости более глубокого изучения вопроса, следует обратиться к рекомендованной учебно-методической литературе.

Процесс работы над контрольной работой является важным этапом подготовки к зачету.

Номер выполняемой работы определяется путем деления шифра (номера зачетной книжки) на 20 и равен остатку, получающемуся при делении. Например, для зачетной книжки №1972 это вариант №12.

Контрольная работа №2 Указания к заданию 1

Тема 1. Предел функции

Областью определения функции называют те значения, для которых данное выражение имеет смысл и значенияконечны.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Если для любого> 0 найдется такое число> 0, что при всех, удовлетворяющих неравенству, будет выполнено неравенство

, то число называютпределом функции в точке, то естьA=.

Число называетсялевосторонним пределом функции в точке, если для любого> 0 найдется такое число> 0, что при всех, удовлетворяющих неравенству, будет выполнено неравенство

. Левосторонний предел обозначают следующим образом: =.

Аналогично, число называетсяправосторонним пределом функции в точке, если для любого> 0 существует> 0, такое, что из неравенстваследуети =.

Например, для функции в точкеимеет смысл говорить только о левостороннем пределе, а для функциив точке─ только о правостороннем.

Можно доказать, что для существования предела функции в точкенеобходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны левосторонний и правосторонний пределы в этой точке.

Если для любого существует> 0, такое, что при всехиз─ окрестностибудет выполнено условие, то предел функциив точкеравен бесконечности:.

Если же для любого существует, такое, что при всех, тоявляется пределом функциипри, стремящемся к бесконечности:.

Важным частным случаем последнего определения является предел числовой последовательности. Если функция задана на множестве натуральных чисел, то такую функцию называют числовой последовательностью(=), а ее предел ─ пределом последовательности Таким образом, число являетсяпределом последовательности, если для любогосуществует, такое, что привыполняется неравенство.

Отметим следующие свойства пределов:

1. Если существует, то он единственный.

2. (постоянное число);

3.

4.

5. ().

Дадим несколько определений, важных для дальнейшего.

Функция называетсябесконечно малой в окрестности точки , если. Функция называетсябесконечно большой в окрестности точки , если. Функция называетсяограни-ченной в окрестности точки , еслисуществует число , такое, чтопри всехиз этой окрестности.

Для вычисления пределов важны следующие свойства бесконечно малых величин. Пусть и─ бесконечно малые, а─ ограниченная функция в окрестности точки. Тогда верны утверждения:

1.─ бесконечно малая величина в окрестности точки;

2.─ бесконечно малая величина в окрестности точки;

3. ─ бесконечно малая величина в окрестности точки;

4. Если существует, то это равносильно тому, что в окрестности точки , где─ бесконечно малая величина в окрестности этой точки;

5. Для монотонно возрастающей функции (при) или монотонно убывающей (при) в окрестности точкивсегда существует, который конечен, если ограничена в окрестности точки.

Рассмотрим две бесконечно малые величины ив окрестности точки. Если, то говорят, что ─ величина более высокого порядка

малости, чем . Записывают это следующим образом:

. Если, то иназываютэквивалентными бесконечно малыми величи-нами в окрестности точки , то есть~.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример1. Вычислить предел.

Решение. Очевидно, что числитель дроби при стремится к.Аналогично знаменатель стремится к .Тогда вся дробь будет стремиться к .Таким образом, .

Здесь мы использовали свойства пределов, о которых говорилось выше.

Пример2. Вычислить предел.

Решение. Очевидно, , апри. Таким образом, дробь будет стремиться к бесконечности, так как знаменатель ─ бесконечно малая величина, а обратная ей величина ─ бесконечно большая.

Поскольку числитель в окрестности точки ограничен, получаем:.

Пример3. Вычислить предел.

Решение. Если подставить в рассматриваемую функцию, получим ноль в числителе и знаменателе. Без дополнительных преобразований трудно сказать, к чему будет стремиться подобное выражение. Поэтому такие выражения называют неопределенностью вида. Встречаются также неопределенности вида,,,, для каждой из которых существуют свои способы вычисления пределов, то есть раскрытия неопределенности.

Вернемся к примеру. Разложим числитель на множители:

.

Рассмотрим , где и─ многочлены степении:

Пусть Разделим числитель и знаменатель почленно на

Нетрудно видеть, что при все слагаемые числителя, кроме последнего, стремятся к нулю, а в знаменателе все слагаемые стремятся к нулю. Таким образом, по аналогии с примером 2.

Если , то, а дробь в знаменателе имеет уже степень числителя большую, чем степень знаменателя и, согласно только что рассмотренному случаю, стремится к бесконечности. Тогда имеем:

так как величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая величина.

Рассмотрим теперь случай Поделив числитель и знаменатель почленно на, получим:

Таким образом,

Рассмотрим два предела: и .

С помощью несложных оценок можно показать, что Вычисление второго предела требует бóльших усилий, но можно доказать, что он равен числу (основанию натурального логарифма): Доказательства можно найти в учебниках по математическому анализу.

В силу важности этих пределов их называют замечательными пределами. Используя замечательные пределы, можно получить следующие результаты:

;; ;

; .

Поэтому можно утверждать, что при ~, ~,~,~,~, где знак ~ означает эквивалентность соответствующих бесконечно малых величин. При вычислении пределов можно использовать эти соотношения эквивалентности, заменяя, например, отношения бесконечно малых на отношения эквивалентных им бесконечно малых величин.

Пример4. Вычислить предел:

.

Решение.

Очевидно, что все подкоренные выражения при стремятся к единице, а вторые слагаемые в скобках ─ к нулю. Поэтому последний предел равен следующему:

Пример5. Вычислить предел .

Решение. Подставив в заданную функцию , убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида. Известно, что если─ корень многочлена, то, где─ многочлен степени .

Следовательно, . Проще всего узнать вид многочлена, разделивна. Это можно сделать, выполнив деление «столбиком», как делят числа:

0

Следовательно, . Тогда, разлагая на множители разность кубов в знаменателе, получим:

Пример6. Вычислить предел .

Решение. Это неопределенность вида . Домножим функцию, стоящую под знаком предела, на сопряженную сумму:

Пример7. Вычислить предел .

Решение.В данном случае имеем дело с неопределенностью вида. Преобразуем выражение в скобках, выделив единицу и бесконечно малую функцию:

Тогда

Так как при─ бесконечно малая величина,

то

Поскольку , получаем:

Пример8. Найти предел

Решение.Прирассматриваемая функция имеет неопределенность вида. Введем новую переменную. Когда переменная, переменная. Тогда рассматриваемый предел принимает вид:

так как ~, а.

Пример9. Найти предел

Решение.Неопределенность вида. При~. Поэтому~.

Далее, ~ .

Поэтому

Пример10. Найти предел .

Решение. Неопределенность вида. Введем новую переменнуюТогда получим:

Здесь учтено, что ~при.