- •Математика
- •Содержание
- •1. Общие положения
- •2. Методические указания к изучению дисциплины
- •3. Методические указания к выполнению контрольной работы
- •Контрольная работа №2 Указания к заданию 1
- •Тема 1. Предел функции
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 2
- •Тема 2. Основы дифференциального исчисления
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 3
- •Тема 3. Исследование функции и построение графика
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 4
- •Тема 4. Функции двух переменных
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 5 тема 5. Неопределенный интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование
- •Замена переменой в неопределенном интеграле
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 6 тема 6. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •Объем тела вращения
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 7
- •Тема 7. Дифференциальные уравнения
- •Уравнение с разделяющимися переменными
- •Однородное уравнение первого порядка
- •Линейное уравнение первого порядка
- •Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 8
- •Тема 8. Ряды
- •Рассмотрим выражение вида
- •Контрольные задания
- •5. Требования к выполнению контрольной работы
- •6. Список литературы
- •Содержание дисциплины
- •Раздел 1. Основы алгебры и анализа
- •Тема 1.3. Введение в анализ функций одной переменной.
- •Тема 1.4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Раздел 2. Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление.
- •Тема 2.1. Функции нескольких переменных.
- •Тема 2.2. Неопределенный интеграл.
- •Тема 2.3. Определенный интеграл.
- •Раздел 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ряды.
- •Тема 3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (оду).
- •Тема 3.2. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •Тема 3.3. Числовые ряды.
- •Тема 3.4. Функциональные ряды.
- •Образец оформления титульного листа
Уравнение с разделяющимися переменными
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:
Для его решения следует сначала разделить переменные, то есть разнести их в разные стороны уравнения:
(),
а затем проинтегрировать обе части уравнения:
.
Следует иметь в виду, что полученные неопределенные интегралы могут различаться на произвольную постоянную .
Пример1. Решить задачу Коши: ,.
Решение. Поделим обе части уравнения на
Тогда и.
Вычисляя интегралы, находим: .
Отсюда общее решение.
Подставим в это решение начальное условие: ; Следовательно,иискомое частное решение, то есть решение задачи Коши.
Однородное уравнение первого порядка
Однородным уравнением первого порядка называется уравнение вида:
. (6)
Для его решения введем новую переменную . Тогдаи. Подставляя эти соотношения в (6), получаем:или. Это уравнение с разделяющимися переменными, и оно легко интегрируется. Найдя, получаем искомое решение.
Пример2. Решить уравнение: .
Решение. Полагая и, получим:
, или .
Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:
.
Произвольная постоянная здесь взята в виде для удобства. Тогдаи окончательно общее решение принимает вид:
.
Пример3. Решить уравнение: .
Решение. Пусть . Тогда разделим обе части уравнения на:
.
После замены переменной это уравнение приводится к виду:
, или .
Вычислим интеграл в левой части последнего уравнения:
Тогда , и общее решение уравнения записывается в следующем виде:
.
Линейное уравнение первого порядка
Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка можно с помощью введения двух новых искомых функций и, положив, и дополнительного условия на одну из них, выбираемую произвольно. Рассмотрим применение этого метода на следующем примере.
Пример4. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Будем искать решение в виде: ;
Тогда ; Подставляя выражения для искомой функции и ее производной в рассматриваемое дифференциальное уравнение, получим:
, или
. (7)
Поскольку одну из функций имы вправе выбрать произвольно, выберем ее так, чтобы выполнялось условие:Тогда уравнение (7) запишется в виде:. Это уравнение легко интегрируется:;.
Произвольную постоянную здесь можно положить равной нулю, так как мы выбираем частное решение. Тогда .
После подстановки в исходное уравнение получим (при):
; ;.
Таким образом, искомое общее решение.
Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение следующего вида:
. (8)
Здесь и, так как в этих случаях уравнение (8) превращается в линейное уравнение.
Уравнение Бернулли, как и линейное уравнение, решается с помощью представления этой функции в виде .
Пример5. Решить уравнение:
. (9)
Решение. Это уравнение Бернулли и . Положим. Тогда уравнение (9) запишется в виде:
. (10)
Будем искать функцию как решение уравнения:
.
Тогда и. Вычисляя интегралы, получим:
и
Подставляя полученное выражение в (10), получим:
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим:
.
Выполняя интегрирование, приходим к выражению:
, или .
Окончательно получаем: .
Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:
. (11)
Если уравнение (11) может быть разрешено относительно второй производной, то оно записывается в следующей форме:
.
Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка состоит в нахождении частного решения, удовлетворяющего начальным условиям:
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальные уравнения этого типа представляются в виде:
, (12)
где - постоянные числа.
Будем искать решение уравнения (12) в виде , где постоянное число. После подстановки этого выражения в (12) получим:
.
Поскольку , должно выполняться квадратное уравнение:
. (13)
Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения (12). В зависимости от величины его дискриминанта возможны три случая:
а) .
Можно показать, что общим решением в этом случае является комбинация двух линейно-независимых решений, отвечающих двум различным корням характеристического уравнения:
. (14)
б) .
В этом случае общим решением будет:
. (15)
в) . В этом случае характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня:и
Общее решение записывается в следующем виде:
. (16)
В формулах (14)–(16) ипроизвольные постоянные.
Пример6. Решить дифференциальное уравнение: ;
Решение. Характеристическое уравнение принимает вид: ; Дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня:. Тогда, согласно (14), общее решение дифференциального уравнения записывается в виде:
.
Пример7. Решить дифференциальное уравнение: ;
Решение. Характеристическое уравнение имеет один кратный корень; В соответствии с (15) общее решение дифференциального уравнения записывается в виде:
.
Пример8. Решить дифференциальное уравнение:
.
Решение. Дискриминант характеристического уравнения отрицателен, характеристическое уравнение имеет комплексные корни: В этом случае формула (16) дает следующее общее решение дифференциального уравнения:
.