- •Математика
- •Содержание
- •1. Общие положения
- •2. Методические указания к изучению дисциплины
- •3. Методические указания к выполнению контрольной работы
- •Контрольная работа №2 Указания к заданию 1
- •Тема 1. Предел функции
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 2
- •Тема 2. Основы дифференциального исчисления
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 3
- •Тема 3. Исследование функции и построение графика
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 4
- •Тема 4. Функции двух переменных
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 5 тема 5. Неопределенный интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование
- •Замена переменой в неопределенном интеграле
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 6 тема 6. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •Объем тела вращения
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 7
- •Тема 7. Дифференциальные уравнения
- •Уравнение с разделяющимися переменными
- •Однородное уравнение первого порядка
- •Линейное уравнение первого порядка
- •Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Контрольные задания
- •Указания к заданию 8
- •Тема 8. Ряды
- •Рассмотрим выражение вида
- •Контрольные задания
- •5. Требования к выполнению контрольной работы
- •6. Список литературы
- •Содержание дисциплины
- •Раздел 1. Основы алгебры и анализа
- •Тема 1.3. Введение в анализ функций одной переменной.
- •Тема 1.4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Раздел 2. Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление.
- •Тема 2.1. Функции нескольких переменных.
- •Тема 2.2. Неопределенный интеграл.
- •Тема 2.3. Определенный интеграл.
- •Раздел 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ряды.
- •Тема 3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (оду).
- •Тема 3.2. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •Тема 3.3. Числовые ряды.
- •Тема 3.4. Функциональные ряды.
- •Образец оформления титульного листа
Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим интеграл типа , гдеRобозначает рациональную функцию своих аргументови. Интеграл данного типа сводится к интегралу от рациональной функции с помощью так называемой универсальной постановки.
Действительно, и=.
Тогда, подставляя в данный интеграл вместо ,иполученные выражения, будем иметь под знаком интеграла рациональную функцию.
Пример13.Вычислить интеграл.
Решение. Подстановкадает:
==.
Универсальная подстановка нередко приводит к сложным вычислениям. Поэтому в указанных ниже случаях предпочтительней частные подстановки, также рационализирующие интеграл.
если , то применима подстановка;
если , то применима подстановка;
если , то применима подстановка.
Пример14. Вычислить интеграл.
Решение. Положими найдем:
поэтому:
===.
Рассмотрим интеграл вида , гдеmиn-целые числа. Возможны следующие случаи:
1. Одно из чисел mилиn– нечетное, например, тогда полагая, получим:
==
2. Оба числа mиn– четные. Тогда рекомендуется воспользоваться тригонометрическими формулами понижения степени:
.
Пример15. Вычислить интеграл.
Решение. ==.
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Рассмотрим интеграл следующего вида: ,
где R- рациональная функция,- рациональные числа. Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки, гдеk- общий знаменатель всех дробных показателей.
Пример16.Вычислить интеграл.
Решение. Положив, получим:===.
Контрольные задания
Вычислить неопределенные интегралы.
5.1
5.2 .
5.3 .
5.4 .
5.5 .
5.6 .
5.7 .
5.8 .
5.9 .
5.10 .
5.11 .
5.12 .
5.13 .
5.14 .
5.15 .
5.16 .
5.17 .
5.18 .
5.19 .
5.20 .
Указания к заданию 6 тема 6. Определенный интеграл
Пусть функция определена на отрезке. Разобьем этот промежуток произвольным образом наnчастей точками .
В каждом из полученных частичных промежутков , где, выберем произвольную точку. Вычислим значение функциии умножим его на разность, после этого составим сумму, которая называетсяинтегральной суммой Римана для функциина отрезке.
Пусть , т.е. длина наибольшего частичного промежутка. Если существует конечный предел интегральной суммыпри, не зависящий ни от способа разбиения промежуткана части, ни от выбора точек, то этот предел называетсяопределенным интеграломфункциина промежуткеи обозначается символом. Таким образом,.
Функция в этом случае называетсяинтегрируемойв промежутке. Числаиназываются соответственно нижним и верхним пределами интеграла.
Выясним геометрический смысл суммы Римана , когда функциянепрерывна и неотрицательна в промежутке,. В этом случае произведениеравно площади прямоугольника с основаниеми высотой, а суммаравна сумме площадей прямоугольников с основаниеми высотами(рис. 1).
Рис.1
Таким образом, равна площади ступенчатой фигуры, а определенный интеграл равен пределупри, т.е. площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, прямымиии отрезкомоси.
Свойства определенного интеграла
Пусть все рассматриваемые функции являются непрерывными, так что определенные интегралы от них существуют. Тогда справедливы следующие соотношения:
1.
2.
3.
4.
5.
6. Если .
Если функции непрерывна на отрезкеи- какая-нибудь первообразная дляна этом отрезке, то справедлива формула Ньютона-Лейбница:
.
Правую часть формулы часто обозначают символом (знак двойной подстановки отдо).
Пример1. Вычислить определенный интеграл.
Решение. .
Замена переменной в определенном интеграле
Пусть функция непрерывна на отрезке, а функцияопределена и непрерывна вместе со своей производнойна отрезке, причемдля любогои,
Тогда:
Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле или формулой интегрирования подстановкой.
Пример2.Вычислить определенный интеграл.
Решение.Сделаем замену переменной.
Тогда . Пересчитаем пределы интегрирования: при, а при.
.
Заметим, что при вычислении определенного интеграла к старой переменной не возвращаются.
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Теорема. Если функции идифференцируемы на отрезке, то справедлива следующая формула.
Пример3. Вычислить.
Решение. Обозначим,.
Тогда ,.
.
Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь плоской фигуры
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком, осьюи прямымии(рис.2) вычисляется по следующей формуле:
Если часть кривой находится под осью(рис.3), то площадь заштрихованной фигуры равна:
.
Пусть фигура ограничена двумя кривыми ,
и,(рис. 4). Тогда ее площадь вычисляется по формуле.
Рис.2
Рис. 3
Рис. 4
Пример4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямойи параболой.
Решение.Построим графики прямой и параболы
(рис. 5).
Рис. 5.
Найдем точки пересечения параболы и прямой:
.
Тогда получим:
.