Тема 7. Основы теории массового обслуживания.

Понятие системы массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания. Понятие о марковском процессе. Основные параметры имитационной модели системы массового обслуживания. Поток событий в системе массового обслуживания. Одноканальная однофазовая модель системы массового обслуживания. Одноканальная многофазовая модель системы массового обслуживания. Многоканальная модель системы массового обслуживания. Модель управления запасами.

5.Темы дискуссий

1. Достоинства и недостатки имитационного моделирования.

2. Адекватность имитационной модели.

3. Проблемы практического использования имитационных моделей.

4. Моделирование бизнес-процессов.

5. Области применения методов имитационного моделирования.

6. Лабораторные работы

№№ и названия тем	Цель и содержание лабораторной работы	Результаты лабораторной работы (приобретаемые умения)
Лабораторная работа №1. Программная реализация датчиков случайных величин с различными законами распределения.
Тема 2. Основные принципы имитационного моделирова­ния. Датчики случайных величин.	Получение последовательности квазиравномерной случайной величины	Умение программировать получение последовательности случайных чисел различных распределений
Лабораторная работа №2. Реализация датчиков случайных величин в табличном процессоре Excel.
Тема 2. Основные принципы имитационного моделирова­ния. Датчики случайных величин.	Получение последовательности квазиравномерной случайной величины	Умение получать последовательности случайных чисел различных распределений с помощью Excel
Лабораторная работа №3. Технология создания имитационной модели и работа с ней в среде Excel.
Тема 4. Технология создания имитационной модели и работы с ней в среде Excel.	Технология создания имитационной модели и работы с ней в среде Excel.	Умение реализовать имитационную модель в табличном процессоре.

Лабораторная работа № 1

Тема. Генератор случайных чисел

Теоретическое обоснование. Непрерывная случайная величина ξ имеет равномерное распределение в интервале (a,b), если её функции плотности f(x) и распределения F(x) имеют вид:

или графически

В этом случае числовые характеристики случайной величины ξ, принимающей значения x – математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение соответственно будут:

Если границы интервала a=0, b=1 то функции плотности и распределения имеют вид

а математическое ожидание M|ζ| = 1/2 и дисперсия D|ζ| = 1/12.

Это распределение нужно получить на компьютере. Но получить его на цифровой ЭВМ невозможно, так как машина оперирует с n-разрядными числами. По­этому на ЭВМ вместо непре­рывной совокупности равно­мерных случайных чисел ин­тервала (0, 1) используют дискретную последователь­ность 2ⁿ случайных чисел то­го же интервала. Закон рас­пределения такой дискрет­ной последовательности на­зывают квазиравномерным распределением.

Математическое ожидание и дисперсия квазиравномерной случайной величины имеют вид

Дисперсия отличается от дисперсии равномерно распределенной случайной величины только множителем (2n+1)/(2n-1), который для больших значений n близок к единице.

На ЭВМ невозможно получить идеальную последовательность случайных чисел хотя бы потому, что на ней можно оперировать только с конечным множеством чисел. Кроме того, для получения значений х случайной величины ζ используются формулы (алгорит­мы). Поэтому такие последовательности, являющиеся по своей сути детерминированными, называются псевдослучайными.

Полу­ченные с помощью генератора псевдослучайные после­довательности чисел должны состоять из квазиравномерно рас­пределенных чисел, содержать статистически независимые числа, быть воспроизводимыми, иметь неповторяющиеся числа, получать­ся с минимальными затратами машинного времени, занимать ми­нимальный объем машинной памяти.

Цель работы: получение последовательности квазиравномерной случайной величины и проверка её на равномерность (создание генератора непрерывных случайных равномерно распределенных величин, прини­мающих любые значения на интервале между дву­мя точками а и b (a<b) с равной вероятностью.)

Задание 1. Написать программу, которая:

• получает последовательности из n чисел, равномерно распределенных на интервале (a, b) с помощью специальной функции (random());

• проверяет эти последовательности на равномерность.

Проанализировать влияние на качество получаемой последовательности метода её получения и величины n.

Формула, используемая для создания генератора случайных чисел равномерно распределенных на интервале (a, b), использующая функцию random()), имеет следующий вид:

a + ( b -а)* random()).

Проверка качества последовательностей псевдослучайных чисел {xi} на равномерность может быть выполнена с помощью гистограмм. Интервал (0, 1) разбивается на т равных частей (подынтервалов), тогда при генерации последовательности {xi} каждое из чисел хj с вероятностью pj= 1/m, j= 1,2,…,m, попадает в один из подынтервалов.

Таким образом, гистограмма наглядно представляет распределение значений рассматриваемой величины. Допустим, имеется n измерений некоторой величины х1, х2, ..., хn. Для построения гистограммы выполним следующие действия.

1. Определим размах выборки х₁, х₂, ..., х_n , т.е. R = x_max - x_min

2. Интервал R делим на m равных участков (допустим ), желательно, чтобы 5<= m<=20; тогда ширина одного участка s = r/m.

3. Определяем количество значений x_i , попавших в каждый из m участков. Для этого используем формулу для номера участка, в который попадает значение x_i: k:=[(x[i]-x_min)/s]+1, где k - номер участка в который попадает значение x[i], s - ширина одного участка, учтем, что применение этой формулы для x_max дает k= m + 1.

4. Строим m столбцов равной ширины, высота столбцов пропорциональна количеству значений x_i , попавших в соответствующий участок интервала.

В результате вместо n чисел получим m чисел (m<<n).

Задание 2. Реализовать требования задания 1 для равномерно распределенных дискретных случайных величин, для симметричного треугольного и нормального распределений.

Формулы для создания генераторов случайных целых чисел:

• типа а, а+1, а+2,..., а+n-1, выдаваемых с равной вероятностью, будет иметь сле­дующий вид:

ЦЕЛОЕ(n*СЛЧИСЛ)+а;

• для симметричного треугольного распределения a + ( b - а)*(СЛЧИСЛ+СЛЧИСЛ)/2;

• для нормального распределений имеющего среднее зна­чение μ, (соответствующее максимальной вероятности) и среднеквадратическое отклонение σ, (определяющее ширину или размах распределения) числа an можно получить с помощью алгоритма:

a :=0.0;

for i=0 to 12 do a := a + random()

an:= μ + (a-6.0)* σ);

• псевдослучайную последовательность, распределенную по экспоненциальному закону можно получить с помощью алгоритма:

r := log(random());

me := μ *(-r);