- •А.С. Березина, л.Н. Гавришина, а.Г. Седых математический анализ: дифференциальное исчисление
- •Оглавление
- •Ведение
- •1 Понятие функции
- •2 Предел функции
- •2.1 Понятие предела функции
- •2.2 Правила вычисления пределов
- •2.3 Непрерывность функции
- •3 Производная функции
- •3.1 Понятие производной и дифференциала
- •3.2 Правила дифференцирования
- •4 Использование производных для исследования функций
- •4.1 Возрастание, убывание функции. Точки экстремума
- •4.2 Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба
- •4.3 Асимптоты графика функции
- •4.4 Общая схема исследования функции
- •5 Применение производной в экономических задачах
- •5.1 Предельные показатели в экономике
- •5.2 Понятие эластичности
- •5.3 Оптимальное значение экономических функций
- •6 Функция двух переменных
- •6.1 Частные производные. Градиент
- •6.2 Экстремум функции двух переменных
- •6.3 Условный экстремум функции двух переменных
- •7 Варианты контрольной работы
- •9 Контрольные вопросы для зачета
- •Что нужно уметь:
- •10 Контрольный тест для самопроверки
- •11 Задачи для самостоятельного решения
- •11.1 Понятие функции
- •11.2 Предел функции
- •11.3 Непрерывность функции Исследовать на непрерывность функцию , найти точки разрыва и указать характер разрыва.
- •11.4 Производная функции
- •11.5 Приложение производной
- •11.6 Применение производной в экономике
- •11.7 Функция многих переменных
- •Список литературы
- •Математический анализ: дифференциальное исчисление
- •650992, Г. Кемерово, пр. Кузнецкий, 39
11 Задачи для самостоятельного решения
11.1 Понятие функции
1. Найти области определения функций:
1.1. |
1.2. |
1.3. | ||
1.4. |
1.5. |
1.6. | ||
1.7. |
1.8. |
1.9. | ||
1.10. |
1.11. |
1.12. | ||
1.13. |
1.14. |
1.15. |
2. По заданным функциям построить сложную функцию
3.1. |
3.2. |
3.3. |
3.4. |
3.5. |
3.6. |
3. Дано: y=sinx; v=lgy; u=.Выразить u как функцию х.
4. Дано: y=1+x; z=cosy; .Выразить v как функцию х.
5.Следующие сложные функции представить с помощью цепочек, составленных из основных элементарных функций:
6.1. y=sin3(2x+1) |
6.2. y= |
6.3. y=sin ln arcctg 2x |
6.4. |
6.5. |
6.6. y=arccos ln tg 4x. |
6. Построить области изменения переменной х, удовлетворяющей неравенствам: а); б); в).
7. Найти корни х1 и х2 функции у=4х-х2 и построить ее график на отрезке [x1-1; x2+1].
8. Исследовать функции на четность, нечетность.
8.1. у=х4-2х2 8.2. y=cosx 8.3.8.4.y=sinx-cosx
8.5. y=tg 8.6. 8.7.; 8.8.;
9. Дана функция , найти.
10. Дано: f(x)=2x3-5x2-23x. Найти все корни уравнения f(x)=f(-2).
11. Найти функцию, обратную данной:
11.1. y=x2-2x; 11.2. ; 11.3..
12. Известно, что , а. Найти.
13. Постоянные издержки, не зависящие от числа единиц произведенной продукции x, составляют 125 тыс. руб. в месяц, а переменные издержки (пропорциональные x) - 700 руб. за каждую единицу продукции. Цена единицы продукции равна 1200 руб. Составить функцию прибыли и найти объем продукции, при котором прибыль будет равна 105 тыс. руб. в месяц.
14. Затраты на производство продукции выражаются функцией , гдеx – число месяцев. Доход от реализации продукции выражается функцией . Начиная с какого месяца производство будет рентабельным?
15. Доход от реализации х единиц продукции выражается функцией . Определить доход от реализации 10 единиц продукции, если известно, что при реализации 2 единиц доход составил 80 руб, а при реализации 4 единиц – 110 руб.
11.2 Предел функции
Найти пределы:
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
21. |
22. |
23. |
24. |
23. |
24. |
25. |
26. |
27. |
28. |
29. |
30. |
31. |
32. |
33. |
34. |
35. |
36. |
37. |
38. |
39. |
40. |
11.3 Непрерывность функции Исследовать на непрерывность функцию , найти точки разрыва и указать характер разрыва.
|
|
|
|
|
|
11.4 Производная функции
Найти производные функций.
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
21. |
22. |
23. . |
24. |
25. |
26. |
27. |
28. |
29. |
30. |
31. |
32. |
33. |
34. |
35. |
36. |
37. |
38. |
39. |
40. |
41. |
42. |
43.
|
44. |
45. |
46. |
47. |
48. |
49. |
50. |
51. |
52. |
53. |
54. |
Найти производные функций, заданных неявно.
|
|
|
|
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
Найти производные параметрических функций
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |