- •А.С. Березина, л.Н. Гавришина, а.Г. Седых математический анализ: дифференциальное исчисление
- •Оглавление
- •Ведение
- •1 Понятие функции
- •2 Предел функции
- •2.1 Понятие предела функции
- •2.2 Правила вычисления пределов
- •2.3 Непрерывность функции
- •3 Производная функции
- •3.1 Понятие производной и дифференциала
- •3.2 Правила дифференцирования
- •4 Использование производных для исследования функций
- •4.1 Возрастание, убывание функции. Точки экстремума
- •4.2 Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба
- •4.3 Асимптоты графика функции
- •4.4 Общая схема исследования функции
- •5 Применение производной в экономических задачах
- •5.1 Предельные показатели в экономике
- •5.2 Понятие эластичности
- •5.3 Оптимальное значение экономических функций
- •6 Функция двух переменных
- •6.1 Частные производные. Градиент
- •6.2 Экстремум функции двух переменных
- •6.3 Условный экстремум функции двух переменных
- •7 Варианты контрольной работы
- •9 Контрольные вопросы для зачета
- •Что нужно уметь:
- •10 Контрольный тест для самопроверки
- •11 Задачи для самостоятельного решения
- •11.1 Понятие функции
- •11.2 Предел функции
- •11.3 Непрерывность функции Исследовать на непрерывность функцию , найти точки разрыва и указать характер разрыва.
- •11.4 Производная функции
- •11.5 Приложение производной
- •11.6 Применение производной в экономике
- •11.7 Функция многих переменных
- •Список литературы
- •Математический анализ: дифференциальное исчисление
- •650992, Г. Кемерово, пр. Кузнецкий, 39
11.5 Приложение производной
1. Найти пределы, используя правило Лопиталя
1.1. |
1.2. |
1.3. |
1.4. |
1.5. |
1.6. |
1.7. |
1.8. |
1.9. |
1.10. |
1.11. |
1.12. |
1.13. |
1.14. |
1.15. |
1.16. |
1.17. |
1.18. |
2. Исследовать функцию и построить график.
2.1. y=x3 – 3x2 – 9x + 5 |
2.2. |
2.3. |
2.4. |
2.5. |
2.6. |
2.7. |
2.8. |
2.9. |
2.10. |
2.11. |
2.12. |
2.13. |
2.14. |
2.15. |
2.16. |
2.17. |
2.18. |
11.6 Применение производной в экономике
Зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции выражается формулой денежных единиц. Определить средние и предельные издержки при объеме продукции стоимостьюден.ед.
Функция полных затрат в зависимости от объема выпускаемой продукции задана соотношением . При каком объеме производства предельные и средние затраты совпадают?
Себестоимость продукции y связана с объемом выпускаемой продукции х уравнением . Определить среднюю и предельные себестоимости выпускаемой продукции при объеме, равном 10 ед.
Зависимость спроса на товар определяется формулой . Найти эластичность спроса при цене на товарден.ед.
Зависимость между себестоимостью продукции и объемомее производства выражается формулой. Определить эластичность себестоимости при выпуске продукцииден.ед.
Функция долговременного спроса и предложенияот ценына мировом рынке нефти имеют, соответственно, вид,. Найти эластичность спроса в точке равновесной цены. Как изменится равновесная цена и эластичность спроса при уменьшении предложения нефти на рынке на 25%?
Функция спроса и предложенияот ценыимеют, соответственно, вид,. Найти эластичность спроса и предложения в точке равновесной цены. Как изменится доход (в процентах) при увеличении цены на 10%?
Зависимость между издержками производства сигарет и процентным содержанием вредных веществ в нихвыражается функцией. Найти средние и предельные издержки производства, если количество вредных веществ составляет 10%.
При подготовке к экзамену студент за дней изучает-ю часть курса, а забывает-ю часть. Сколько дней надо затратить студенту на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса?
Зависимость между спросом и ценойединицы продукции задана соотношением. Найти значение цены, при которой спрос будет нейтральным (с единичной эластичностью).
Доход от производства продукции с использованием единиц ресурсов составляет величину. Стоимость единицы ресурсов – 10 денежных единиц. Какое количество ресурсов следует приобрести, чтобы прибыль была наибольшей?
На начальном этапе производства фирма минимизирует средние издержки, причем функция издержек имеет вид . В дальнейшем цена единицы товара устанавливаетсяи фирма максимизирует свою прибыль. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск? На сколько при этом изменятся средние издержки?
Функция издержек производителя имеет вид , гдеx – объем производимой продукции. Весь товар реализуется по фиксированной цене 6 у.е. Определить функцию прибыли производителя и объем выпуска, при котором прибыль производителя будет максимальной.
Функция прибыли выписывается следующим образом: . Определить оптимальный объем производства.